SDE-k szimulációja: az Euler–Maruyama-séma

A „Monte Carlo-opcióárazás” című leckében minden végső árat egyetlen lépésben sorsoltunk, mert „Az Itô-lemma” megadta a geometriai Brown-mozgás pontos megoldását. A gyakorlatban használt modellek többségére nincs ilyen képlet. Ez a lecke megmutatja, hogyan szimulálható egy sztochasztikus differenciálegyenlet lépésről lépésre az Euler–Maruyama-sémával, hogyan mérhető az általa elkövetett hiba, és milyen gyorsan csökken ez a hiba a lépések finomításával. Tesztesetként a geometriai Brown-mozgást használjuk, éppen azért, mert ismerjük a pontos megoldását.

Sztochasztikus differenciálegyenletek

Egy sztochasztikus differenciálegyenlet (SDE) azt írja le, hogyan változik egy $X_t$ mennyiség egy rövid $dt$ idő alatt:

Az $a$ drift a várható változási ütem, a $b$ diffúziós együttható pedig egy Brown-mozgás $dW_t$ véletlen sokkját skálázza. A geometriai Brown-mozgás az $a = \mu X$, $b = \sigma X$ eset. Egy átlaghoz visszahúzó kamatlábnak vagy a „Sztochasztikus volatilitás és a Heston-modell” varianciájának más együtthatói vannak, és sokukra nincs zárt alakú megoldás.

Az Euler–Maruyama-lépés

Osszuk fel a $[0, T]$ intervallumot $n$ darab $\Delta t = T/n$ hosszú lépésre, és minden lépés elején fagyasszuk be az együtthatókat. Egy lépés alatti Brown-növekmény normális eloszlású $\Delta t$ szórásnégyzettel, így felírható $\Delta W_k = \sqrt{\Delta t}\,Z_k$ alakban, ahol $Z_k$ standard normális. Az Euler–Maruyama-séma:

Ez a természetes első közelítés: pontosan azt a két tagot tartja meg, amely egy lépés változásának Itô-féle kifejtésében dominál, a $dt$-s és a $dW$-s tagot, a kisebbeket pedig elhagyja. Jó kép erre, ha egy kanyargós úton egyenes lépésekkel haladunk abba az irányba, amerre éppen nézünk: minél rövidebbek a lépések, annál közelebb maradunk az úthoz.

A geometriai Brown-mozgásra egy lépés $S_{k+1} = S_k\,(1 + \mu\,\Delta t + \sigma\,\Delta W_k)$, míg a pontos megoldás ugyanazon a lépésen

Példa: $S_0 = 100$, $\mu = 8\%$, $\sigma = 40\%$, $\Delta t = 0{,}25$ és $Z = 1$, tehát $\Delta W = 0{,}5$. Az Euler-lépés $100\,(1 + 0{,}02 + 0{,}2) = 122{,}00$-t ad. A pontos érték $100\,e^{(0{,}08 - 0{,}08) \cdot 0{,}25 + 0{,}2} = 100\,e^{0{,}2} = 122{,}14$. $Z = -1$ mellett az Euler-érték $82{,}00$, a pontos $81{,}87$. A lépés mindkét irányban nagyjából $0{,}13$-mal téved, mert figyelmen kívül hagyja az exponenciális görbületét.

Erős és gyenge hiba

Egy szimulációs sémát kétféleképpen ítélhetünk meg, attól függően, mire használjuk.

• Az erős hiba $\mathbb{E}\big[\,|X_T - \hat X_T|\,\big]$ a szimulált $\hat X$ pályát ugyanazon Brown-mozgás által hajtott valódi pályával veti össze. Akkor számít, ha maga a pálya számít, például ha mentén fedezünk.
• A gyenge hiba $\big|\,\mathbb{E}[f(X_T)] - \mathbb{E}[f(\hat X_T)]\,\big|$ csak átlagokat hasonlít össze. Ez számít a Monte Carlo-árazásnál, amelynek $X_T$ eloszlására van szüksége, nem az egyes pályákra.

Sima együtthatók esetén az Euler–Maruyama-séma erős rendje $\tfrac12$, gyenge rendje 1: az erős hiba $\sqrt{\Delta t}$-vel, a gyenge hiba $\Delta t$-vel arányosan csökken. Négyszer annyi lépés felezi az erős hibát, a gyenge hibát viszont negyedére csökkenti.

A geometriai Brown-mozgásnál a gyenge hiba könnyen kiszámolható. Minden Euler-lépés $1 + \mu\,\Delta t$-vel szorozza a várható értéket, így $\mathbb{E}[\hat S_T] = S_0\,(1 + \mu T/n)^n$, szemben a pontos $S_0\,e^{\mu T}$ értékkel. A fenti számokkal $100\,e^{0{,}08} = 108{,}3287$, az eltérés pedig $n = 4$, $16$ és $64$ esetén $0{,}0855$, $0{,}0216$ és $0{,}0054$: minden alkalommal a negyedére csökken.

Ugyanaz a pálya finomabb rácson

Az erős hiba csak úgy látható, ha a szimulációt az ugyanazzal a véletlennel hajtott pontos pályával vetjük össze. Az ábra egy Brown-pályát rajzol egy 256 lépéses finom rácson egy évre, $S_0 = 100$, $\mu = 8\%$ és $\sigma = 40\%$ mellett; a nagy volatilitás teszi láthatóvá a hibát. A pontos megoldás ebből a pályából adódik, az Euler-közelítés pedig ugyanezt a pályát használja egy durvább rácson: minden durva növekmény az általa lefedett finom növekmények összege.

Válasszunk $n = 4$, $16$, $64$ vagy $256$ lépést, és figyeljük, ahogy az Euler-pálya rásimul a pontosra; az „Új pálya” másik Brown-pályát sorsol. Vigyük az egeret a grafikon fölé, vagy fókuszáljunk rá és használjuk a nyílbillentyűket, hogy egy rácsidőpontban összevessük a két értéket. Alatta az 500 pálya átlagaként mért erős hiba látható $T$-ben, $\Delta t$ függvényében, log–log tengelyeken, egy $\tfrac12$ meredekségű referenciavonal mellett. A hiba $n = 4$ esetén nagyjából $4{,}82$, majd $2{,}34$, $1{,}23$ és $n = 256$-nál $0{,}63$: minden négyszeres finomítással nagyjából feleződik, ahogy a $\tfrac12$-es rend előre jelzi. Az első pályán $n = 16$ mellett a végső érték pontosan $177{,}23$, Euler-sémával $183{,}44$.

A logaritmus szimulálása

A geometriai Brown-mozgásnál van jobb megoldás annál, mint magát $S$-et diszkretizálni. „Az Itô-lemma” szerint $\ln S_t$ dinamikája

amelynek együtthatói állandók. A $\ln S$-re alkalmazott Euler-lépések ezért tetszőleges $\Delta t$ mellett pontosak, és az árak automatikusan pozitívak maradnak. Az $S$-re alkalmazott Euler-séma akár negatív árat is adhat, ha $1 + \mu\,\Delta t + \sigma\,\Delta W$ nulla alá esik. Bevett fogás, hogy egy modellt a diszkretizálás előtt egyszerűbb együtthatójú változókra írunk át; ha ilyen átalakítás nincs, mint sok átlaghoz visszahúzó vagy sztochasztikus volatilitású modellnél, a kis lépésekre és a fenti hibarendekre támaszkodhatunk.

Összefoglalás

• Egy $dX = a\,dt + b\,dW$ SDE-t lépésről lépésre szimulálunk az Euler–Maruyama-sémával: $X_{k+1} = X_k + a\,\Delta t + b\sqrt{\Delta t}\,Z_k$.
• Az erős hiba (pályák) rendje $\tfrac12$, a gyenge hibáé (átlagok) 1; a Monte Carlo-árazáshoz csak a gyenge kell.
• A durva és a finom rács csak ugyanazon a Brown-pályán hasonlítható össze: a durva növekmények a finomak összegei.
• Ha egy átalakítás állandó együtthatókat ad, ahogy $\ln S$ a geometriai Brown-mozgásnál, azt a változót szimuláljuk: a lépések pontossá válnak.

A következő lecke, az „Átlaghoz való visszahúzás: Ornstein–Uhlenbeck és Vasicek”, egy olyan folyamatot vizsgál, amelynek driftje egy hosszú távú szint felé húzza vissza, és pontosan ilyen lépésekkel szimulálja.