Határidős ügyletek, call és put opciók

Ez a lecke a három alapvető származtatott terméket mutatja be: a határidős ügyletet, a vételi és az eladási opciót. Mindegyiket azzal írjuk le, mit fizet lejáratkor, mert minden későbbi árazási érvelés ebből indul. A kockázatmentes kamatlábat és a diszkontfaktort a „Kamat, kamatozás és diszkontálás” leckéből használjuk.

Alaptermék és származtatott termék

Az alaptermék olyan eszköz, amellyel önmagában is kereskednek, például egy részvény. Mai árát $S_0$, egy későbbi $T$ időpontbeli (években mért) árát $S_T$ jelöli. Ma $S_0$ ismert, $S_T$ viszont nem.

A származtatott termék (derivatíva) olyan szerződés, amelynek kifizetését az alaptermék ára határozza meg. A szerződés rögzít egy $T$ lejáratot és egy szabályt, amely $S_T$-ből pénzösszeget csinál. Ez az összeg a kifizetés:

Az $f$ függvényt a szerződés rögzíti; a lecke három terméke csak ebben különbözik. Végig feltesszük, hogy a részvény nem fizet osztalékot, nincsenek tranzakciós költségek, és az elszámolás pénzben történik: a felek az $X$ kifizetést cserélik ki, nem részvényeket.

Hosszú és rövid pozíció

Minden szerződésnek két oldala van. Aki az $X$ kifizetést kapja, az hosszú (long) pozícióban van; aki fizeti, az rövid (short) pozícióban. Amit lejáratkor az egyik fél nyer, azt a másik elveszíti, így a rövid pozíció kifizetése $-X$. Ezért elég a hosszú oldalt leírni.

A határidős ügylet

A határidős ügylet (forward) olyan ma kötött megállapodás, hogy $T$-ben a ma rögzített $K$ áron megvesszük az alapterméket; $K$ neve szállítási ár. Mindkét fél köteles teljesíteni. A vevő (hosszú fél) $K$-t fizet, és $S_T$ értékű eszközt kap, így a kifizetése

A kifizetés $S_T$-ben egy 1 meredekségű egyenes: pozitív, ha a részvény $K$ fölött zár, és negatív, ha alatta. Mivel a hosszú fél veszíthet is, a szokásos határidős ügyletbe senki sem fizet a belépésért: $K$-t úgy választják, hogy a szerződés ma semmibe se kerüljön. Hogy ez melyik $K$, azt az „Arbitrázs és a határidős ár” lecke tárgyalja.

A vételi opció

Az opció jogot ad a tulajdonosának, nem kötelezettséget. A $K$ kötési árú és $T$ lejáratú vételi opció (call) feljogosít arra, hogy $T$-ben $K$-ért megvegyük az alapterméket. A tulajdonos csak akkor él a jogával (hívja le az opciót), ha megéri: ha $S_T > K$, akkor $K$-ért vesz valamit, ami $S_T$-t ér; ha $S_T \le K$, hagyja lejárni. A call kifizetése tehát

Az $x^+ = \max(x, 0)$ jelölést a továbbiakban végig használjuk. A határidős ügylethez képest a call levágja a kifizetés negatív részét: a tulajdonos megtartja a felfelé mozgás hasznát, lejáratkor pedig sosem fizet.

Az eladási opció

Az eladási opció (put) arra jogosít fel, hogy $T$-ben $K$ kötési áron eladjuk az alapterméket. A tulajdonos akkor hívja le, ha a részvény a kötési ár alatt zár, hiszen ekkor $K$-ért adhat el valamit, ami csak $S_T$-t ér:

A put olyan, mint egy biztosítás a részvényre: ha az árfolyam $K$ alá esik, a put kifizeti a különbözetet. A kifizetés akkor a legnagyobb, $K$, ha a részvény értéktelenné válik, és nulla minden $S_T \ge K$ esetén.

Az itt leírt opciók európaiak: csak $T$-ben hívhatók le. Az amerikai opciók $T$-ig bármikor lehívhatók; ezekre a „Többlépéses fák és visszafelé indukció” leckében térünk vissza.

Az ábra a lejáratkori kifizetést mutatja $S_T$ függvényében. Válts a call, a put és a határidős ügylet között, és mozgasd a $K$ kötési árat. Figyeld meg, hogy a határidős egyenes pontosan $K$-ban metszi a nullát, míg mindkét opció kifizetésének $K$-ban töréspontja van, és az egyik oldalon nullán marad.

Határidős kifizetés $S_T - K$, call kifizetés $(S_T - K)^+$, put kifizetés $(K - S_T)^+$. A határidős ügylet kötelezettség, az opció jog, ezért az opciónak ma ára van.

Kifizetés és nyereség

Mivel az opció kifizetése sosem negatív, a jognak értéke van: a vevő a szerződéskötéskor opciós díjat (prémiumot) fizet az eladónak. A call mai árát $C_0$, a putét $P_0$ jelöli. A kifizetés ezt a költséget nem tartalmazza; a hosszú pozíció nyeresége levonja:

A díjat a 0 időpontban fizetjük, a kifizetés $T$-ben érkezik, ezért a díjat $e^{rT}$-vel felkamatoljuk, hogy azonos időpontbeli összegeket hasonlítsunk össze. Rövid lejáratnál és alacsony kamatnál ez a szorzó közel 1, ezért az alábbi példák egyszerűen levonják a díjat.

Példa: egy $K = 100$ kötési árú call 6-ba kerül. Ha $S_T = 115$, a kifizetés 15, a nyereség $15 - 6 = 9$. Ha $S_T = 103$, a kifizetés 3, a nyereség $-3$: az opciót lehívták, de nem hozta vissza az árát. Ha $S_T = 95$, a kifizetés 0, a veszteség a teljes 6-os díj. A fedezeti pont $K + C_0 = 106$.

Egy $K = 100$ kötési árú, 4-es díjú put kifizetése $S_T = 90$ mellett 10, a nyereség 6. A fedezeti pont $K - P_0 = 96$.

A rövid oldal nyeresége a kapott díj mínusz a kifizetés. A call eladója legfeljebb a díjat keresheti meg, vesztesége viszont korlátlan lehet; a put eladója legfeljebb $K - P_0$-t veszíthet.

A határidős ügyletnek nincs díja, így ott a kifizetés és a nyereség megegyezik. $K = 100$ és $S_T = 112$ mellett a hosszú fél 12-t nyer, a rövid fél 12-t veszít.

Összefoglalás

• A származtatott termék a $T$ lejáratkor $X = f(S_T)$ összeget fizet; az $f$ függvényt a szerződés rögzíti.
• A hosszú fél kapja, a rövid fél fizeti $X$-et; a két kifizetés összege nulla.
• Határidős ügylet: kötelezettség, kifizetése $S_T - K$, a belépés ingyenes.
• Call: vételi jog, kifizetése $(S_T - K)^+$. Put: eladási jog, kifizetése $(K - S_T)^+$. Az opcióért díjat kell fizetni.
• A nyereség a kifizetés mínusz a belépés $T$-re felkamatolt költsége.

A következő lecke összeadja ezeket a kifizetéseket. Mivel a kifizetések egyszerűen $S_T$ függvényei, egy szerződésekből álló portfólió az egyes kifizetések összegét fizeti.