Kolmogorov-egyenletek és a Feynman–Kac-formula

Egy ár felírható diszkontált várható értékként, ahogy a „Mértékcsere és a Girsanov-tétel” című leckében, vagy egy parciális differenciálegyenlet megoldásaként. Ez a lecke bebizonyítja, hogy a két leírás ugyanazt adja. Felhasználja „Az Itô-lemma” Itô-formuláját, „Az Itô-integrál” martingáltulajdonságát és a „Feltételes várható érték és martingálok” feltételes várható értékeit.

Diffúziók és generátoruk

Legyen $X$ a következő sztochasztikus differenciálegyenlet megoldása:

ahol $W$ Brown-mozgás, a $\mu, \sigma : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ együtthatók pedig Lipschitz-folytonosak. Ekkor az egyenletnek minden kezdőpontból egyértelmű megoldása van, és $X$ Markov-folyamat: $X_t$ ismeretében $X$ jövője nem függ a korábbi pályától. Jelölje $\mathbb{E}_{t,x}[\,\cdot\,] = \mathbb{E}[\,\cdot \mid X_t = x]$.

$X$ generátora az az operátor, amely megadja $f(X)$ várható változási ütemét egy pontban. Kétszer folytonosan differenciálható, kompakt tartójú $f$-re

Az Itô-lemma kiszámítja. A $df(X_s)$ differenciált a $[0, h]$ intervallumon integrálva

A $\sigma f'$ integrandus korlátos $f$ tartóján, így az Itô-integrál várható értéke nulla. Várható értéket véve, $h$-val osztva és $h \to 0$ határátmenettel (a $ds$-integrandus folytonos)

A drift elsőrendű, a diffúzió másodrendű deriválttagot ad; a $\tfrac12\sigma^2$ az Itô-korrekció. Példák: a $\sigma$ volatilitású Brown-mozgásra $\mathcal{L} = \tfrac12\sigma^2\,\partial_{xx}$; a geometriai Brown-mozgásra $\mathbb{Q}$ alatt $\mathcal{L}f = rx\,f' + \tfrac12\sigma^2 x^2 f''$. Ugyanez a számolás határátmenet nélkül a Dynkin-formulát adja: $\mathbb{E}_{0,x}[f(X_t)] = f(x) + \mathbb{E}_{0,x}\big[\int_0^t \mathcal{L}f(X_s)\,ds\big]$.

A Kolmogorov-féle visszafelé egyenlet

Rögzítsünk egy $T$ időhorizontot és egy $g$ kifizetésfüggvényt, és legyen $v(t, x) = \mathbb{E}_{t,x}[g(X_T)]$. A Markov-tulajdonság miatt $t \le s \le T$ esetén $v(s, X_s) = \mathbb{E}[g(X_T) \mid \mathcal{F}_s]$, tehát $s \mapsto v(s, X_s)$ martingál. Ha $v$ $t$-ben egyszer, $x$-ben kétszer differenciálható, az Itô-lemma szerint

Nem létezhet olyan folytonos martingál, amelynek $ds$-része nem azonosan nulla, mert egy korlátos változású folyamat, amely egyben folytonos martingál, konstans. A $ds$-tagnak tehát el kell tűnnie, és ez a Kolmogorov-féle visszafelé egyenlet:

Az egyenlet visszafelé halad: a végfeltétel $T$-ben adott, és $t = 0$ felé oldjuk meg. Ha $X$-nek van $p(t, x; T, y)$ átmenetisűrűsége, az $(t, x)$-ben a visszafelé egyenletet teljesíti, a $(T, y)$ előre mutató változókban pedig a Kolmogorov-féle előre (Fokker–Planck-) egyenletet:

A visszafelé egyenlet azt írja le, hogyan függ egy várható kifizetés a kezdőponttól; az előre egyenlet azt, hogyan terül szét a valószínűségi tömeg egy rögzített kezdőpontból.

A Feynman–Kac-tétel

Vegyünk hozzá egy folytonos $r(x) \ge 0$ diszkontrátát. Tétel (Feynman–Kac). Legyenek $\mu, \sigma$ Lipschitz-folytonosak, és $u(t, x)$, amely $t$-ben egyszer, $x$-ben kétszer folytonosan differenciálható, oldja meg a

feladatot. Tegyük fel továbbá, hogy $\mathbb{E}_{t,x}\big[\int_t^T \big(\sigma(X_s)\,\partial_x u(s, X_s)\big)^2 ds\big] < \infty$, ami teljesül például akkor, ha $\sigma\,\partial_x u$ korlátos. Ekkor

Bizonyítás. Rögzítsük $(t, x)$-et, és legyen $s \in [t, T]$ esetén $D_s = e^{-\int_t^s r(X_v)\,dv}$ és $Y_s = D_s\,u(s, X_s)$. A $D$ tényező korlátos változású, $dD_s = -r(X_s)\,D_s\,ds$, így a szorzatszabályban nincs vegyes tag. Az $u(s, X_s)$-re alkalmazott Itô-lemmával

A $ds$-tag nulla, mert $u$ megoldja az egyenletet. Mivel $0 < D_s \le 1$, az integrálhatósági feltétel miatt $Y$ egy $\mathcal{L}^2$-beli integrandus Itô-integrálja, tehát martingál. Így $u(t, x) = Y_t = \mathbb{E}_{t,x}[Y_T] = \mathbb{E}_{t,x}\big[D_T\,g(X_T)\big]$, felhasználva, hogy $u(T, \cdot) = g$. $\square$

A bizonyítás az egyértelműséget is megadja: az integrálhatósági osztályba eső két megoldás ugyanazzal a várható értékkel egyenlő. A fordított irányhoz, hogy a várható érték elég sima ahhoz, hogy megoldja az egyenletet, több kell, például sima együtthatók és nullától elválasztott $\sigma$; ilyen feltételek mellett a várható érték a megoldás. Gondoljunk $u(s, X_s)$-re úgy, mint a pálya mentén vitt igazságos értékre: diszkontálva sem fel, sem le nem sodródik, ezért mai értéke a lejáratkori diszkontált érték várható értéke.

Feynman–Kac: a $\partial_t u + \mathcal{L}u - ru = 0$, $u(T, \cdot) = g$ feladat megoldása $u(t, x) = \mathbb{E}_{t,x}\big[e^{-\int_t^T r(X_s)ds} g(X_T)\big]$. A bizonyítás az Itô-lemma, plusz az, hogy egy $dW$ szerinti integrál martingál.

A hővezetési egyenlet

Legyen $\mu = 0$, $\sigma$ konstans és $r = 0$. Ekkor $X_T = x + \sigma(W_T - W_t)$, és a $\tau = T - t$ hátralévő futamidővel a tétel így szól:

Ez a hővezetési egyenlet, a megoldás pedig a kifizetés $\sigma^2\tau$ varianciájú Gauss-maggal simított változata. A mag deriválásával ellenőrizhető, hogy megoldja az egyenletet. Három kifizetésnek zárt alakja van, $s = \sigma\sqrt{\tau}$ és $d = (x - 1)/s$ jelöléssel:

• Négyzet, $g(x) = x^2$: $u = x^2 + \sigma^2\tau$. Ellenőrzés: $\partial_\tau u = \sigma^2$ és $\tfrac12\sigma^2\,\partial_{xx}u = \tfrac12\sigma^2 \cdot 2 = \sigma^2$.
• Digitális, $g(x) = \mathbf{1}\{x > 1\}$: $u = \Phi(d)$, annak valószínűsége, hogy $x + \sigma W_\tau$ 1 fölött végez.
• Call, $g(x) = (x - 1)^+$: $u = (x - 1)\,\Phi(d) + s\,\varphi(d)$, a nulla kamatú Bachelier-ár.

Számpélda $x = 1$-ben, $\tau = 0{,}5$ és $\sigma = 1$ mellett, így $s = \sqrt{0{,}5} \approx 0{,}7071$ és $d = 0$: a call értéke $s\,\varphi(0) = 0{,}7071 \times 0{,}3989 \approx 0{,}2821$, a digitálisé $\Phi(0) = 0{,}5$, a négyzeté $1 + 0{,}5 = 1{,}5$. A $W_\tau$ 2000 húzásából számolt Monte Carlo-becslés standard hibája a kifizetés szórása osztva $\sqrt{2000}$-rel: a callnál kb. $0{,}4128/44{,}72 \approx 0{,}0092$, a digitálisnál $0{,}5/44{,}72 \approx 0{,}0112$, a négyzetnél $\sqrt{2{,}5}/44{,}72 \approx 0{,}0354$.

Az ábra ezt a hővezetési egyenletet oldja meg a választott kifizetésre: call $(x - 1)^+$, digitális $\mathbf{1}\{x > 1\}$ vagy négyzet $x^2$. Az $x$ függvényében, $-2$-től $4$-ig mutatja a $g$ kifizetést (szaggatott), a Gauss-integrálból adódó pontos $u(\tau, x)$ megoldást (vonal) és 13 $x$ pontban egy-egy 2000 húzásos Monte Carlo-becslést (pontok). Növeld $\tau$-t vagy $\sigma$-t, és figyeld meg, hogy a call töréspontja és a digitális ugrása egyre jobban kisimul, a négyzet pedig $\sigma^2\tau$-val feljebb tolódik. A pontok mintavételi zajon belül a vonalon maradnak. Az $x = 1$-beli kijelzők a pontos $u$-t, a Monte Carlo-becslést és annak standard hibáját mutatják.

A Black–Scholes-egyenlet

A „Mértékcsere és a Girsanov-tétel” szerint $\mathbb{Q}$ alatt a részvény a $dS_s = rS_s\,ds + \sigma S_s\,d\tilde W_s$ egyenletet követi konstans $r$ és $\sigma$ mellett, egy $g(S_T)$ kifizetés ára pedig $V(t, S) = \mathbb{E}^{\mathbb{Q}}_{t,S}\big[e^{-r(T - t)} g(S_T)\big]$. Ez egy Feynman–Kac-típusú várható érték $\mu(S) = rS$, $\sigma(S) = \sigma S$ együtthatókkal és konstans $r$ diszkontrátával, ezért $V$ megoldja a Black–Scholes-egyenletet:

Callra $g(S) = (S - K)^+$, és a várható érték „A Black–Scholes-képlet” című lecke képlete. A valós $\mu$ drift sehol sem jelenik meg, mert a generátort $\mathbb{Q}$ alatt vesszük. Az $x = \ln S$ helyettesítés a generátort az $(r - \tfrac12\sigma^2)\,\partial_x + \tfrac12\sigma^2\,\partial_{xx}$ konstans együtthatós alakra hozza; a drift és a diszkontálás eltávolítása után az egyenlet a hővezetési egyenlet lesz, ezért épül a Black–Scholes-képlet az $N(\cdot)$ normális eloszlásfüggvényre.

Numerikus ellenőrzés $S = K = 100$, $r = 5\%$, $\sigma = 20\%$, $T = 1$ mellett: a call ára $C = 10{,}4506$, $\Delta = N(d_1) = 0{,}6368$, $\Gamma = 0{,}018762$ és $\partial C/\partial t = -6{,}4140$. Az egyenlet tagjai: $-6{,}4140 + 3{,}1842 + 3{,}7524 - 0{,}5225 = 0{,}0001$, ami kerekítéstől eltekintve nulla.

Egy szám két kiszámítási módja

A Feynman–Kac-tétel két utat ad ugyanahhoz az árhoz. A Monte Carlo-út sok $X$-pályát szimulál $\mathbb{Q}$ alatt, átlagolja a diszkontált kifizetéseket, és olyan standard hibát ad, amely a pályák $N$ számában $1/\sqrt{N}$ ütemben csökken, $X$ dimenziójától függetlenül. A PDE-út rácsra bontja $x$-et és $t$-t, és véges differenciákkal $u(T, \cdot) = g$-ből visszafelé lépteti az egyenletet; egyetlen megoldás minden rácspontban megadja $u$-t, a görögök pedig a szomszédos értékek különbségeiből jönnek, a rács viszont $X$ dimenziójával exponenciálisan nő. A gyakorlatban egy-három állapotváltozóig a PDE-módszerek, fölötte a Monte Carlo dominál. A két válasz közötti bármilyen eltérés numerikus hiba, az egyik oldalon mintavételi, a másikon rácshiba, nem a modell különbsége.

Összefoglalás

• A $dX = \mu(X)\,ds + \sigma(X)\,dW$ diffúzió generátora $\mathcal{L}f = \mu f' + \tfrac12\sigma^2 f''$, amely az Itô-lemmából számolható.
• $v(t, x) = \mathbb{E}_{t,x}[g(X_T)]$ megoldja a $\partial_t v + \mathcal{L}v = 0$, $v(T, \cdot) = g$ Kolmogorov-féle visszafelé egyenletet; az átmenetisűrűségek $(T, y)$-ban az előre egyenletet teljesítik.
• Feynman–Kac: a $\partial_t u + \mathcal{L}u - ru = 0$, $u(T, \cdot) = g$ feladat megoldása $g(X_T)$ diszkontált várható értéke. Bizonyítás: az $e^{-\int r}u(s, X_s)$ diszkontált értéknek nincs driftje, tehát martingál.
• $\mu = 0$, konstans $\sigma$ és $r = 0$ mellett ez a hővezetési egyenlet, amelyet a kifizetés Gauss-simítása old meg. $\mathbb{Q}$ alatt, GBM-mel a Black–Scholes-egyenlet.
• A Monte Carlo- és a véges differenciás árazás a tétel két oldaláról ugyanazt a számot számolja ki.

A következő lecke, a „Monte Carlo-opcióárazás”, a várható értékes oldalt veszi: $\mathbb{Q}$ alatt szimulál lejáratkori árakat, és az átlag standard hibáját vizsgálja.