A Lebesgue-integrál

A „Mérhető függvények” megmutatta, mely függvényeknél lehet megválaszolni azt a kérdést, hogy „a tér mekkora részét viszi a függvény ebbe az értéktartományba”, és bevezette az egyszerű függvényeket, valamint a diadikus lépcsős függvényeket, amelyek bármely mérhető függvényt alulról megközelítenek. „A Lebesgue-mérték és a nullmértékű halmazok” megadta magát a mértéket: a hosszat az egyenesen és a területet a síkon. Még hiányzik egy módszer, amellyel egy függvényt összeadhatunk egy téren: meg kell mondani, mennyi $f$ összege, ha $f$-nek minden pontban van értéke a $[0, 1]$ intervallumon, az egységnégyzeten vagy bármely más mértéktéren. Ez a lecke felépíti ezt az összeget, a Lebesgue-integrált, $\int f\,d\mu$-t tetszőleges $\mu$ mértékre. Kiindul az iskolai analízis oszlopról oszlopra haladó módszeréből, megmutatja, hol romlik el, és helyettesíti egy rétegről rétegre haladó módszerrel, amelynek csak $f$ szinthalmazainak mértékére van szüksége. A következő lecke, a „Konvergenciatételek” azt kérdezi, mi történik az integrálokkal, ha a függvényeket a határértékükkel helyettesítjük.

A Riemann-féle oszlopok

Az iskolai analízis integrálja, a Riemann-integrál, az értelmezési tartományt szeleteli. Az $f$ alatti terület megkereséséhez vágd fel a $[0, 1]$-et $N$ darab $1/N$ szélességű oszlopra, és minden oszlopon jegyezd fel $f$ legkisebb és legnagyobb értékét. A legkisebb magasságú téglalapok a grafikon alá férnek, összterületük az alsó összeg. A legnagyobb magasságú téglalapok kilógnak a grafikon fölé, összterületük a felső összeg. Az integrál az a szám, amely az oszlopok keskenyedésével a két összeg között marad.

Vedd az $f(x) = 4x(1 - x)$ dombot, amely $x = 0$-nál 0-ról indul, $x = \tfrac12$-nél eléri az 1-et, és $x = 1$-nél visszaesik 0-ra. $N = 4$ oszlopnál a legkisebb értékek $0; 0{,}75; 0{,}75; 0$, a legnagyobbak $0{,}75; 1; 1; 0{,}75$, így az alsó összeg $0{,}375$, a felső összeg $0{,}875$. $N = 8$ esetén a két összeg $0{,}5313$ és $0{,}7813$. A köztük levő különbség felére csökken, valahányszor megduplázzuk az oszlopok számát, és mindkét összeg ugyanahhoz a számhoz, $2/3$-hoz közelít.

Ez azért működik, mert egy folytonos függvény keskeny oszlopon alig változik. A módszer csendben feltételezi, hogy $f$ az értelmezési tartomány rövid szakaszain közel állandó, és az olyan függvény, amely minden szakaszon belül ugrál, ezt a feltevést megtöri. Nézd a $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ indikátort a $[0, 1]$-en, amely a racionális számoknál 1, máshol 0. Minden oszlopban, akármilyen keskeny is, van racionális és irracionális szám, mert mindkettő sűrű, így minden felső összeg 1, minden alsó összeg 0: a Riemann-integrál nem létezik.

Pedig „A Lebesgue-mérték és a nullmértékű halmazok” megmutatta, hogy a racionális számok hossza 0. Az a függvény, amely olyan halmazon egyenlő 1-gyel, amely semennyi helyet nem foglal el, semmit sem adhat hozzá az összeghez. Az oszlopok ezt nem látják, mert azt nézik, hol van egy érték; a rétegek azt nézik, a tér mekkora része hordozza az egyes értékeket.

Lebesgue rétegei

Lebesgue az ötletét érmékkel magyarázta. Egy pénztáros előtt vegyes érmék halmaza van, és tudni akarja az összértéküket. Az egyik mód, hogy az érméket egyenként, abban a sorrendben veszi sorra, ahogy a kezébe kerülnek, és folyamatosan összegez: ez az oszlopos módszer, amely az értelmezési tartomány pontjait követi sorrendben. A másik mód, hogy az érméket érték szerint kupacokba rendezi, megszámolja az egyes kupacokat, és összeadja az értéket szorozva a darabszámmal. Ehhez nem kell tudnia, milyen sorrendben feküdtek az érmék; csak az kell, hány érme van az egyes értékekből.

Cseréld a halmot az $\Omega$ térre, az érméket pontokra, a darabszámot pedig a mértékre. A réteges módszer az $\Omega$ pontjait $f$ értéke szerint csoportosítja, megméri az egyes csoportokat, és összeadja az értéket szorozva a mértékkel, akár közel vannak egymáshoz egy csoport pontjai, akár az egész téren szétszórtak.

Csináljuk ezt végig az $f(x) = 4x(1 - x)$ függvénnyel és a „Mérhető függvények” $\varphi_2$ lépcsős függvényével, amely minden értéket lefelé kerekít $\tfrac14$ többszörösére. A $0$ értéket egy $0{,}1340$ hosszú halmazon veszi fel, a $\tfrac14$ értéket egy $0{,}1589$ hosszún, a $\tfrac12$ értéket egy $0{,}2071$ hosszún, a $\tfrac34$ értéket egy $0{,}5$ hosszún, és a négy hossz összege 1. A lépcsős függvény összege

Ez alulbecsli a $2/3$ területet, mert minden értéket lefelé kerekítettünk; finomabb sávokkal javul. A $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ esetén az egyetlen számító réteg az 1 érték egy 0 hosszú halmazon, ami $1 \cdot 0 = 0$-t ad, így az összeg 0, ahogy kell. A rétegekhez az $\{a \le f < b\}$ halmazok mértéke kell, és a mérhetőség, a „Mérhető függvények” tárgya, éppen azt biztosítja, hogy ezek a halmazok mérhetők.

Egyszerű függvények integrálja

A réteges módszer pontos az olyan függvényekre, amelyek véges sok értéket vesznek fel. Legyen $\varphi$ egyszerű függvény. Írd fel standard alakban, az $a_1, \ldots, a_m$ különböző értékekkel, amelyeket az $A_1, \ldots, A_m$ páronként diszjunkt mérhető halmazokon vesz fel. Az integrálja a $\mu$ mérték szerint

a $0 \cdot \infty = 0$ megállapodással, hogy a 0 érték soha ne adjon hozzá semmit, végtelen mértékű halmazon sem. Szavakban: minden érték szorozva azzal a térrésszel, amelyen felvesszük.

Ugyanezt a számot kapjuk, ha a $\varphi$-t az indikátorok bármely más kombinációjaként írjuk fel, akkor is, ha a halmazok átfednek. Vedd a $\varphi = 2\cdot\mathbf{1}_{[0; 0{,}5]} + 3\cdot\mathbf{1}_{[0{,}25; 1]}$ függvényt a $[0, 1]$-en, a hosszal mint mértékkel, a „Mérhető függvények” példáját. Ha a képletet az átfedő alakról olvassuk le, $2 \cdot 0{,}5 + 3 \cdot 0{,}75 = 3{,}25$ adódik. A $2\cdot\mathbf{1}_{[0; 0{,}25)} + 5\cdot\mathbf{1}_{[0{,}25; 0{,}5]} + 3\cdot\mathbf{1}_{(0{,}5; 1]}$ standard alak $2 \cdot 0{,}25 + 5 \cdot 0{,}25 + 3 \cdot 0{,}5 = 3{,}25$-öt ad. Az ok az additivitás. Vágd fel a teret olyan darabokra, amelyeken egyik indikátor sem változik; ezek az atomjai annak a σ-algebrának, amelyet ezek a halmazok generálnak, ahogy a „σ-algebrák és Borel-halmazok” leckében. Minden $A_k$ halmaz atomok diszjunkt uniója, így $\mu(A_k)$ az atomjai mértékének összege, és a $\varphi$ mindkét felírása ugyanazokat a tagokat adja össze.

Két szabály következik az egyszerű $\varphi$ és $\psi$ függvényekre: az integrál lineáris, $\int (a\varphi + b\psi)\,d\mu = a\int \varphi\,d\mu + b\int \psi\,d\mu$, mert a kombináció ismét indikátorok listája; és monoton, mert $\varphi \le \psi$ azt jelenti, hogy minden atomon $\varphi$ értéke legfeljebb $\psi$ értéke, így $\int \varphi\,d\mu \le \int \psi\,d\mu$. Egy indikátorra $\int \mathbf{1}_A\,d\mu = \mu(A)$.

A céltábla egy sokrétegű egyszerű függvényt mutat. Vedd az egységnégyzetet, a közepén egy céltáblával. A középponthoz $0{,}1$-nél közelebbi pontok 10 pontot érnek, a $0{,}1$ és $0{,}25$ közötti távolságúak 5-öt, a $0{,}25$ és $0{,}4$ közöttiek 2-t, a $0{,}4$ és $0{,}5$ közöttiek 1-et, a $0{,}5$-nél messzebbi négy sarok pedig 0-t. A pontszám az $s$ függvény a négyzeten, öt értékkel, amelyek mindegyikét egy gyűrűn vagy a sarkokon veszi fel. A mérték a terület, a kétdimenziós Lebesgue-mérték „A Lebesgue-mérték és a nullmértékű halmazok” leckéből, amely szerint egy $r$ sugarú körlap területe $\pi r^2$. Az $\int s \, d\lambda$ a tábla területtel súlyozott pontszáma: minden gyűrű a pontszámát szorozva a területével adja hozzá.

Nemnegatív függvények integrálja

Egy általános függvény végtelen sok értéket vesz fel, így az érték és a mérték szorzatainak összegéhez nincs véges lista. A megoldás, hogy az egyszerű függvényeket alsó becslésként használjuk. Legyen $f \ge 0$ mérhető. Minden olyan egyszerű $\varphi$ függvény, amelyre $0 \le \varphi \le f$, alulbecsli $f$ összegét, és a legjobb alulbecslés maga az összeg:

Az érték a $[0, \infty]$ halmazban van, és lehet $\infty$ is. Ha $f$ maga egyszerű, a definíció a régi képletet adja vissza, hiszen $f$ az egyik megengedett $\varphi$, a monotonitás pedig az összes többit korlátozza.

Az összes $f$ alatti egyszerű függvény szuprémuma kezelhetetlennek látszik, de egyetlen sorozat is elég. A „Mérhető függvények” diadikus lépcsős függvényei, $\varphi_n = \min\big(n, \lfloor 2^n f \rfloor / 2^n\big)$, minden pontban $f$-hez nőnek, és az integráljaik $\int f\,d\mu$-höz nőnek. Ez az utolsó lépés a monoton konvergencia tétele, a következő lecke első eredménye, ezért itt ismertnek vesszük. Az $f(x) = 4x(1 - x)$ függvényre az $\{f \ge y\}$ halmaz egy $\sqrt{1 - y}$ hosszú intervallum, ahogy a „Mérhető függvények” kiszámolta, és a $\varphi_n$ rétegeinek összeadása ezt adja:

• $n = 1$: $0{,}3536$, a $2/3 = 0{,}6667$ pontos értéktől $0{,}3131$ távolságra.
• $n = 2$: $0{,}5183$, ahogy fent kiszámoltuk, a távolság $0{,}1484$.
• $n = 3$: $0{,}5956$, a távolság $0{,}0710$.
• $n = 4$: $0{,}6323$, a távolság $0{,}0343$; $n = 6$-nál az érték $0{,}6585$.

A távolság minden finomításnál nagyjából felére csökken, és a lépcsős függvények integráljai alulról kúsznak fel $2/3$-hoz.

Az ábra a görbe alatt rajzolja a $\varphi_n$ lépcsős függvényt, összehasonlításként pedig ugyanannyi darabbal a Riemann-konstrukciót. Válaszd „Az értékkészlet szeletelése” vagy „Az értelmezési tartomány szeletelése” módot, és mozgasd $n$-et. Az alapértékekkel az értékkészlet szeletelése $n = 3$-nál $8$ szintet használ, és a $0{,}5956$ Lebesgue-összeget mutatja a $0{,}6667$ pontos érték mellett. Az értelmezési tartomány szeletelésére váltva $8$ középponti oszlop látszik és a $0{,}6719$ középponti Riemann-összeg.

Ennél a sima dombnál a középponti Riemann-összegek gyorsabban konvergálnak, mint a lépcsős összegek: $n = 3$-nál $0{,}6719$ a $0{,}5956$-tal szemben. A Lebesgue-konstrukció lényege nem a gyorsaság sima függvényeken, hanem az, hogy csak a szinthalmazok mértékére van szüksége, ezért minden mérhető függvényre és minden mértékre működik.

A rétegtorta-formula

A lépcsős függvény vékony, lapos rétegekre szedhető szét. Egy olyan pontban, ahol $\varphi_n$ értéke $j/2^n$, pontosan a $k = 1, \ldots, j$ esetén az $\mathbf{1}\{f \ge k/2^n\}$ indikátorok vannak bekapcsolva, és mindegyik $2^{-n}$-t ad hozzá. Tehát

$2^{-n}$ magasságú lapok egymás fölött, a $k$-adik lap azon a halmazon fekszik, ahol $f$ eléri a $k/2^n$ magasságot. Egyszerű függvények összegét tagonként integrálva

A jobb oldal $2^{-n}$ szélességű téglalapok összege, amelyek magassága a $t \mapsto \mu(f > t)$ farokfüggvény értéke, vagyis a tér azon részének mértéke, ahol $f$ meghaladja $t$-t. Ez a függvény $t$ növekedésével csökken, és az összeg a grafikonja alatti terület közelítése. Ha $n$-et növeljük, és felhasználjuk, hogy $\int \varphi_n\,d\mu \to \int f\,d\mu$, megkapjuk a rétegtorta-formulát:

Az $f$ integrálja a téren egyenlő a farokfüggvény alatti hétköznapi területtel. A kép egy torta: a $t$ magasságú réteg akkora, mint a tér azon része, amely eléri ezt a magasságot, a torta pedig a rétegei összege. A levezetés vázlat; a határátmenet a monoton konvergenciát használja.

A dombra $\mu(f > t) = \sqrt{1 - t}$, ha $0 \le t < 1$, és $0$ azon túl, így

ugyanaz a $2/3$, mint az oszlopos $\int_0^1 4x(1 - x)\,dx = 2 - \tfrac43$ integrál. Az $f(x) = 1/x$ függvényre a $(0, 1]$-en, amely nem korlátos, az $\{f > t\}$ halmaz $t < 1$ esetén a teljes $(0, 1]$, $t \ge 1$ esetén a $(0, 1/t)$ intervallum, így $\mu(f > t) = \min(1, 1/t)$, és a terület $1 + \int_1^\infty dt/t = \infty$: az integrál létezik, és értéke $\infty$, mert a rétegek túl lassan zsugorodnak ahhoz, hogy véges legyen a területük.

A céltáblán jól látszanak a rétegek. A pontszám legalább 1 a $0{,}5$ sugarú körlapon, legalább 2 a $0{,}4$ sugarún, legalább 5 a $0{,}25$ sugarún és legalább 10 a $0{,}1$ sugarún. Ezek területe a farokértékek: $0{,}7854$, $0{,}5027$, $0{,}1963$ és $0{,}0314$. A pontszám 0-ról 1-re, 2-re, 5-re és 10-re lép, így a rétegek magassága $1; 1; 3; 5$, és ha minden farokterületet a rétegmagasságával súlyozunk, pontosan a gyűrűnként kapott integrált kell visszakapnunk, ahogy a következő kidolgozott példa megerősíti.

Mindkét előjelű függvények

A fenti konstrukcióhoz $f \ge 0$ kell. A mindkét előjelű függvényt két nemnegatív részre bontjuk: a pozitív rész $f^+ = \max(f, 0)$, a negatív rész $f^- = \max(-f, 0)$. Ekkor $f = f^+ - f^-$ és $|f| = f^+ + f^-$. A pozitív rész megtartja azokat a helyeket, ahol $f$ a tengely felett van, a negatív rész pedig azok tükörképe, ahol alatta.

Az $f$ függvény integrálható, ha $\int |f|\,d\mu < \infty$, vagyis ha $\int f^+\,d\mu$ és $\int f^-\,d\mu$ is véges, és ekkor

Az integrálható függvények halmazának jele $L^1(\mu)$. Példa: az $f(x) = \sin(2\pi x)$ a $[0, 1]$-en pozitív a $(0, \tfrac12)$-en és negatív a $(\tfrac12, 1)$-en. Szimmetria miatt $\int f^+ \,d\lambda = \int f^- \,d\lambda = 1/\pi = 0{,}3183$, így $\int f\,d\lambda = 0$ és $\int |f|\,d\lambda = 2/\pi = 0{,}6366$.

A végességi követelmény nem puszta díszítés. Nélküle az $\int f^+ - \int f^-$ különbség $\infty - \infty$ lehet. Legyen $\mathbb{R}$-en a hosszal $f = \mathbf{1}_{[0, \infty)} - \mathbf{1}_{(-\infty, 0)}$, amely 0-tól jobbra $1$, balra $-1$. Az $\int f^+$ és az $\int f^-$ is $\infty$. Ha $f$-et a $[-N, N]$-en adjuk össze, az $0$, de a $[-N, 2N]$-en $N$. Az egyenes kimerítésének különböző módjai különböző eredményt adnak, így nincs okunk egyiket előnyben részesíteni, és az integrál nincs értelmezve. Az integrálhatóság éppen ezt zárja ki: ha $\int |f| < \infty$, a tér kimerítésének minden értelmes módja ugyanazt az összeget adja.

Az integrál tulajdonságai

Az integrál négy szabálynak engedelmeskedik. Mindegyiket először egyszerű függvényekre bizonyítjuk, aztán nemnegatív függvényekre a lépcsős függvényeken keresztül, végül integrálható függvényekre a pozitív és negatív részre bontással; itt csak az értelmüket és az okaikat adjuk meg.

• Linearitás. Integrálható $f, g$ és valós $a, b$ esetén: $\int (af + bg)\,d\mu = a\int f\,d\mu + b\int g\,d\mu$. A $[0, 1]$-en $\int x\,d\lambda = \tfrac12$ és $\int 4x(1 - x)\,d\lambda = \tfrac23$, így $\int \big(x + 4x(1 - x)\big)\,d\lambda = \tfrac76$.
• Monotonitás. Ha $f \le g$, akkor $\int f\,d\mu \le \int g\,d\mu$. A $-|f| \le f \le |f|$ egyenlőtlenségre alkalmazva ez a $\big|\int f\,d\mu\big| \le \int |f|\,d\mu$ egyenlőtlenséget adja: a pozitív és negatív részek kiegyenlítődése az összeget csak csökkentheti.
• A nullmértékű halmazok nem számítanak. Ha $f = g$ majdnem mindenütt, akkor $\int f\,d\mu = \int g\,d\mu$. Legyen $N$ az a nullmértékű halmaz, ahol eltérnek. Minden $|f - g|$ alatti egyszerű függvény $N$-en kívül eltűnik, így minden $a_k \mu(A_k \cap N)$ tagja 0, és $\int |f - g|\,d\mu = 0$. Ha a $4x(1 - x)$ dombot minden racionális pontban 5-re változtatjuk, az integrálja $2/3$ marad, és $\int \mathbf{1}_{\mathbb{Q}}\,d\lambda = 0$.
• Nulla integrál. $f \ge 0$ esetén $\int f\,d\mu = 0$ pontosan akkor, ha $f = 0$ majdnem mindenütt. Ha $f > 1/n$ egy $m$ mértékű halmazon, akkor $f \ge \tfrac1n\mathbf{1}_{\{f > 1/n\}}$, és a monotonitás miatt $\int f\,d\mu \ge m/n$. Tehát $\int f\,d\mu = 0$ kikényszeríti, hogy minden $\{f > 1/n\}$ nullmértékű legyen, az $\{f > 0\}$ pedig ezek megszámlálható uniója, ami „A Lebesgue-mérték és a nullmértékű halmazok” szerint nullmértékű. A másik irány az előző szabály.

Az utolsó szabály mögötti gondolatmenet általános egyenlőtlenséget ad: $c > 0$ esetén $c\cdot\mathbf{1}_{\{|f| > c\}} \le |f|$, tehát

Az a függvény, amelynek kicsi az integrálja, csak kis halmazon lehet nagy. A céltáblán az $\int s\,d\lambda = 2{,}0342$ és a $c = 5$ a $0{,}4068$ korlátot adja arra a területre, ahol a pontszám meghaladja az 5-öt, miközben a valódi terület, a $0{,}1$ sugarú középső körlapé, $0{,}0314$. A korlát olcsó, és minden mértéktéren érvényes. A pálya valószínűségi része Markov-egyenlőtlenség néven találkozik vele újra.

Integrálás más mértékek szerint

A konstrukció sehol sem használta a hosszt. Az integrált egy mértékből, egyszerű függvényekből és egy szuprémumból építettük, így minden $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ mértéktéren létezik. A „Halmazok méretének mérése” mértékei ismerős mennyiségeket adnak, és mindegyikhez egysoros képlet tartozik.

• Számlálómérték $\mathbb{N}$-en. Az $A$ halmaz mértéke az elemeinek száma, így $\int \mathbf{1}_A\,d\mu = \sum_n \mathbf{1}_A(n)$, és az egyszerű függvényeken és lépcsős függvényeken át kiterjesztve $\int f\,d\mu = \sum_{n=1}^{\infty} f(n)$. Az $f(n) = 2^{-n}$ függvényre az integrál $1$, az $f(n) = 1/n^2$ függvényre $\pi^2/6 = 1{,}6449$. A dobókocka hat lapján, számlálómértékkel $\int (\text{lap})\,d\mu = 1 + 2 + \cdots + 6 = 21$.
• A $\delta_x$ Dirac-mérték. Az egész tömeg egy pontban van, így $\int f\,d\delta_x = f(x)$: a $\delta_x$ szerinti integrálás az $x$-beli kiértékelést jelenti.
• Súlyozott ponttömegek, $\sum_i w_i \delta_{x_i}$. Az integrál a súlyozott összeg, $\sum_i w_i f(x_i)$. A $0{,}2$-ben levő $0{,}5$, a $0{,}45$-ben levő $0{,}3$ és a $0{,}9$-ben levő $0{,}2$ tömegre és az $f(x) = x$ függvényre ez $0{,}5 \cdot 0{,}2 + 0{,}3 \cdot 0{,}45 + 0{,}2 \cdot 0{,}9 = 0{,}415$.
• Egy $\rho$ sűrűségű mérték. Ha $\mu(A) = \int_A \rho\,d\lambda$, akkor $\int f\,d\mu = \int f\rho\,d\lambda$. Indikátorra ez $\mu$ definíciója, a linearitás egyszerű függvényekre viszi át, a lépcsős függvények pedig minden nemnegatív $f$-re. A „Halmazok méretének mérése” rúdján, $\rho(x) = 2x$ mellett, a helyzet integrálja $\int x\,d\mu = \int_0^1 x \cdot 2x\,dx = \tfrac23$.

Az utolsó integrálnak fizikai jelentése van. A rúd teljes tömege 1, és a hely szorozva a tömeggel, a rúd összes darabján összeadva, a súlypontja: $2/3$, a középtől jobbra, mert a rúd a jobb vége felé nehezebb. A rúd tömege helyett a hosszal ugyanez az integrál $\int x\,d\lambda = \tfrac12$.

Egy feltételre vigyázni kell. $\mathbb{N}$-en számlálómértékkel $f$ pontosan akkor integrálható, ha $\sum_n |f(n)| < \infty$, vagyis ha a sor abszolút konvergens. Az $1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \tfrac14 + \cdots$ alternáló harmonikus sor konvergens, $\ln 2 = 0{,}6931$-hez, de $\sum 1/n = \infty$, így az $f(n) = (-1)^{n+1}/n$ nem integrálható. Ez nem véletlen. A mértéktér pontjai között nincs sorrend, ezért az integrál nem függhet attól, milyen sorrendben járjuk be őket, miközben egy nem abszolút konvergens sor összege megváltozik, ha a tagjait átrendezzük: Riemann tétele szerint bármely számhoz konvergálóvá tehető. Az abszolút integrálhatóság teszi a végösszeget a sorrendtől függetlenné.

Riemann és Lebesgue összehasonlítása

Ha egy intervallumon korlátos függvénynek van Riemann-integrálja, akkor Lebesgue-integrálja is van, ugyanazzal az értékkel. Az ok rövid. Egy Riemann-felosztás alsó és felső összege lépcsős függvények integrálja, a lépcsős függvények pedig egyszerű függvények. Az alsó lépcsős függvény $f$ alatt van, a felső fölötte, így $f$ Lebesgue-integrálja az alsó és felső összeg között van, a Riemann-integrál pedig pontosan akkor létezik, ha ezek összepréselhetők.

A Lebesgue-integrál több függvényre létezik. A $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ indikátornak nincs Riemann-integrálja, de a Lebesgue-integrálja $1 \cdot \lambda(\mathbb{Q} \cap [0, 1]) = 0$. A két integrál a nem korlátos tartományokat is másképp kezeli. Az $\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx$ improprius Riemann-integrál az $\int_0^b \frac{\sin x}{x}\,dx$ határértéke $b \to \infty$ esetén, és ez a határérték létezik, és $\pi/2 = 1{,}5708$: a tengely feletti első púp területe $1{,}8519$, a következő púpok pedig váltakozó előjelűek és zsugorodnak, így szabályozott módon kiegyenlítik egymást. A Lebesgue-integrál nem hajlandó integrálhatónak tekinteni. A $[j\pi, (j+1)\pi]$ feletti púpon $\int |\sin x|\,dx = 2$ és $1/x \ge 1/((j+1)\pi)$, így az $|\sin x|/x$ ezen púpjának területe legalább $2/((j+1)\pi)$. Ezek a korlátok harmonikus sort alkotnak, amely korlátlanul nő: $10$ púp legalább $1{,}8646$-ot ad, és nagyjából $3{,}7$ millió púp kell ahhoz, hogy $10$-et átlépjük. Tehát $\int_0^\infty |\sin x|/x\,dx = \infty$, és a $\sin x / x$ nem integrálható. Ez ugyanaz az $\infty - \infty$ probléma, mint korábban: az improprius Riemann-integrál attól függ, hogy rögzített sorrendben egyenlítünk ki.

Az utolsó különbség a következő leckénél a legfontosabb. A Riemann-integrálok nem élik túl a határértékeket. Sorold fel a racionális számokat $q_1, q_2, \ldots$ alakban, és legyen $f_n$ az első $n$ közülük indikátora. Minden $f_n$ véges sok pont kivételével nulla, így van Riemann-integrálja, $0$. A pontonkénti határértékük mégis $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$, amelynek egyáltalán nincs Riemann-integrálja. A Lebesgue-integrálnál a határérték ismét integrálható, és értéke $0$. Hogy milyen feltételekkel cserélhető fel a határérték és az integrál, azt a „Konvergenciatételek” tárgyalja.

Összefoglalás

• A Riemann-integrál az értelmezési tartományt oszlopokra szeleteli, és azt kívánja, hogy $f$ rövid szakaszokon közel állandó legyen; a Lebesgue-integrál az értékkészletet szeleteli rétegekre, és csak a szinthalmazok mértékét kívánja, mint amikor az érméket érték szerint rendezzük, mielőtt megszámoljuk őket.
• Egyszerű függvényre $\int \varphi\,d\mu = \sum a_k \mu(A_k)$; $f \ge 0$ esetén $\int f\,d\mu$ az $f$ alatti egyszerű függvények integráljainak szuprémuma, amelyet a diadikus lépcsős függvények közelítenek.
• A $\int f\,d\mu = \int_0^\infty \mu(f > t)\,dt$ rétegtorta-formula a tér feletti integrált a farokfüggvény alatti területté alakítja; a céltáblán mindkét út $2{,}0342$-t ad.
• Egy függvény integrálható, ha $\int |f|\,d\mu < \infty$, és ekkor $\int f = \int f^+ - \int f^-$; az integrál lineáris és monoton, nem érzékeli a nullmértékű halmazokat, és $|f|$ integrálja csak akkor nulla, ha $f = 0$ majdnem mindenütt.
• A számlálómérték szerint az integrál egy sor, a $\delta_x$ szerint kiértékelés, a ponttömegek szerint súlyozott összeg, a $\rho$ sűrűség szerint az $f\rho$ integrálja; sorokra az integrálhatóság az abszolút konvergenciát jelenti.
• A Lebesgue-integrál mindenhol megegyezik a Riemann-integrállal, ahol az létezik, a $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$-t és bármely mértékteret lefedi, és az az integrál, amely jól viselkedik határértékek mellett.