Mérhető függvények

Az „A Lebesgue-mérték és a nullmértékű halmazok” című lecke felépítette a hosszt minden Borel-halmazra, a „σ-algebrák és Borel-halmazok” pedig megmagyarázta, mely halmazok mérhetők egyáltalán: egy kiválasztott σ-algebra halmazai, azok az események, amelyekről kérdésekre lehet válaszolni. Eddig halmazokat mértünk. Ami viszont egy térről érdekel minket, azt többnyire függvények írják le: egy pontszám, egy hőmérséklet, egy helyzet. Egy függvénynek nincs hossza. Mérni azt lehet, hogy a tér mekkora részét viszi a függvény egy adott értéktartományba, vagyis a $\{x : f(x) \in B\}$ halmaz hosszát. Ez a lecke azt kérdezi, mely függvényekre lehet ezt a kérdést minden $B$ Borel-halmazra megválaszolni, ezeket nevezi mérhetőnek, és megmutatja, hogy a gyakorlatban előforduló függvények szinte mind azok. Ezután két eszközt vezet be, amelyekre a következő leckék építenek: az egyszerű függvényeket, amelyek alulról közelítenek bármely mérhető függvényt, és a képmértékeket, amelyek azt jegyzik fel, hová jut egy mérték, miután egy függvény elmozgatta a pontjait.

Ősképhalmazok

Vedd az $f(x) = x^2$ függvényt a $[0, 1]$ intervallumon, a hosszal mint mértékkel. A $[0, 1]$ mekkora részét viszi a függvény a $0{,}25$ és $0{,}64$ közötti értékek közé? Mivel $x^2 \ge 0{,}25$ pontosan akkor, ha $x \ge 0{,}5$, és $x^2 \le 0{,}64$ pontosan akkor, ha $x \le 0{,}8$, a válasz a $[0{,}5; 0{,}8]$ intervallum, amelynek hossza $0{,}3$. Azon pontok halmazát, amelyeknek értéke egy adott $B$ halmazba esik, $B$ ősképhalmazának nevezzük:

Itt $\Omega$ az a tér, ahol $f$ él, $B$ pedig értékek halmaza. A jelölés nem azt jelenti, hogy $f$-nek van inverz függvénye: az $x^2$ a $[-1, 1]$-en biztosan nem invertálható, mert $-0{,}5$ és $0{,}5$ értéke is $0{,}25$.

Az ősképhalmaz több darabból állhat. Legyen $g(x) = 4x(1 - x)$, egy domb, amely $x = 0$-nál 0-ról emelkedik $x = 0{,}5$-nél 1-ig, majd $x = 1$-nél visszaesik 0-ra. A $[0{,}75; 1]$-be eső értékű pontok egyetlen $[0{,}25; 0{,}75]$ intervallumot alkotnak, mert $g(0{,}25) = 0{,}75$, és hosszuk $0{,}5$. A $[0{,}25; 0{,}64]$-be eső értékű pontok két intervallumot alkotnak, az egyiket az emelkedő, a másikat az eső oldalon. A $4x(1 - x) = y$ egyenlet megoldása $x = \tfrac12\big(1 \pm \sqrt{1 - y}\big)$. Az $y = 0{,}25$ esetén ez $0{,}0670$ és $0{,}9330$, az $y = 0{,}64$ esetén $0{,}2$ és $0{,}8$, így az ősképhalmaz $[0{,}0670; 0{,}2] \cup [0{,}8; 0{,}9330]$, összhossza $0{,}2660$.

Az ősképhalmazok azért a megfelelő eszközök, mert tiszteletben tartják mindazokat a halmazműveleteket, amelyekből egy σ-algebra felépül:

Mindegyik azonosság egy sor. Egy $\omega$ pont pontosan akkor van $f^{-1}(B^c)$-ben, ha $f(\omega)$ nincs $B$-ben, vagyis pontosan akkor, ha $\omega$ nincs $f^{-1}(B)$-ben. Egy pont pontosan akkor van $f^{-1}(\bigcup_k B_k)$-ban, ha $f(\omega)$ valamelyik $B_k$-ban van, vagyis pontosan akkor, ha $\omega$ valamelyik $f^{-1}(B_k)$-ban van. Az ok az, hogy minden pontnak pontosan egy értéke van, így az „$f(\omega)$ benne van-e $B$-ben?” kérdésre minden $\omega$-ra külön igen vagy nem a válasz. Az $x^2$ függvénynél a $[0, 1]$-en a $B = [0; 0{,}25]$ halmaz ősképhalmaza $[0; 0{,}5]$, a komplementeréé, $(0{,}25; 1]$-é pedig $(0{,}5; 1]$, ami a $[0; 0{,}5]$ komplementere a $[0, 1]$-ben.

A halmazok közvetlen képei nem viselkednek így. Legyen $f(x) = x^2$ a $[-1, 1]$-en, $A = [-1, 0]$ és $B = [0, 1]$. A két halmaz csak a $0$ pontban találkozik, így $f(A \cap B) = \{0\}$, mégis $f(A) \cap f(B) = [0, 1] \cap [0, 1] = [0, 1]$. Különböző pontoknak lehet ugyanaz az értékük, és a közvetlen kép elfelejti, melyik pontból jött az érték. Ezért definiáljuk a mérhetőséget az ősképhalmazokon keresztül.

Mérhető függvények

Legyen $(\Omega, \mathcal{F})$ mérhető tér, mint a „σ-algebrák és Borel-halmazok”-ban. Az $f : \Omega \to \mathbb{R}$ függvény mérhető, ha minden Borel-halmaz ősképhalmaza $\mathcal{F}$-ben van:

Szavakban: minden „$f$ értéke $B$-be esik-e?” alakú kérdésre azon pontok halmaza, ahol a válasz igen, esemény. Ha $\mu$ mérték az $(\Omega, \mathcal{F})$-en, akkor $\mu(f^{-1}(B))$ minden $B$ Borel-halmazra értelmezett, és ez a szám mondja meg, $\Omega$ mekkora részének értéke esik $B$-be.

A definíció minden összetevőjének megvan a dolga. Az $\mathcal{F}$-re vonatkozó feltétel garantálja, hogy az ősképhalmazok egyáltalán mérhetők. Az értékoldali Borel-halmazok azok a $\mathbb{R}$-beli halmazok, amelyekről értelmes kérdezni, és nem helyettesíthetők $\mathbb{R}$ összes részhalmazával: ha $\Omega = [0, 1]$, $\mathcal{F}$ a Borel-halmazok családja és $f(x) = x$ az identitás, akkor Vitali $V$ halmazának ősképhalmaza maga $V$, ami nincs $\mathcal{F}$-ben.

A félegyenes-próba

A Borel-halmazokat nem lehet egyenként végigellenőrizni, sokan vannak. Szerencsére elég a félegyeneseket ellenőrizni. Jelölje $\{f \le c\}$ az $\{\omega : f(\omega) \le c\} = f^{-1}((-\infty, c])$ halmazt. Ha $\{f \le c\} \in \mathcal{F}$ minden valós $c$-re, akkor $f$ mérhető. Az érvelés három lépés, és az ötlete újra meg újra előkerül.

1. Gyűjtsd össze a jó halmazokat: legyen $\mathcal{G}$ azoknak a $B \subseteq \mathbb{R}$ halmazoknak a családja, amelyekre $f^{-1}(B) \in \mathcal{F}$. Ez a család σ-algebra. Tartalmazza $\mathbb{R}$-et, mert $f^{-1}(\mathbb{R}) = \Omega \in \mathcal{F}$. Zárt a komplementerképzésre és a megszámlálható unióra, mert az ősképhalmaz a komplementert komplementerbe, az uniót unióba viszi, és $\mathcal{F}$ mindkettőre zárt.
2. A feltevés szerint $\mathcal{G}$ tartalmazza az összes $(-\infty, c]$ félegyenest.
3. A Borel-halmazok a félegyeneseket tartalmazó legszűkebb σ-algebrát alkotják („σ-algebrák és Borel-halmazok”). Egy σ-algebra, amely tartalmazza a félegyeneseket, tartalmazza a legszűkebbet is, így $\mathcal{G}$ minden Borel-halmazt tartalmaz, vagyis $f$ mérhető.

Más félegyenesek ugyanígy megfelelnek, mert mindegyik felépíthető a másikból komplementerrel és megszámlálható műveletekkel: $\{f > c\}$ az $\{f \le c\}$ komplementere, és $\{f < c\} = \bigcup_n \{f \le c - 1/n\}$. A későbbi leckék mindig a legkényelmesebb alakot használják.

Példaként vedd az $f(x) = x^2$ függvényt a $[0, 1]$-en. A $\{f \le c\}$ halmaz $[0, \sqrt{c}\,]$, ha $0 \le c \le 1$, üres, ha $c < 0$, és a teljes $[0, 1]$, ha $c > 1$: mindig intervallum, így $x^2$ mérhető. A $g$ dombra és $c = 0{,}64$-re a $\{g \le 0{,}64\}$ halmaz $[0; 0{,}2] \cup [0{,}8; 1]$, ez is Borel-halmaz.

Példák és egy ellenpélda

A legtöbb függvény, amellyel találkozol, mérhető, és több ismert fajtáról gyorsan látszik is.

• Folytonos függvények. Ha $f : [0, 1] \to \mathbb{R}$ folytonos, akkor nyílt halmaz ősképhalmaza nyílt, a nyílt halmazok pedig Borel-halmazok. A nyílt halmazok generálják a Borel-halmazokat, így a jó halmazok érvelése szerint $f^{-1}(B) \in \mathcal{B}([0, 1])$ minden Borel-halmaz $B$-re.
• Monoton függvények. Ha $f$ növő, akkor $\{f \le c\}$ intervallum: ha $f(y) \le c$ és $x < y$, akkor $f(x) \le f(y) \le c$. A monoton függvények tehát akkor is mérhetők, ha ugrálnak.
• Indikátorok. Az $\mathbf{1}_A$ indikátor $A$-n 1, máshol 0. Egy $\mathbf{1}_A$ alatti ősképhalmaz $\emptyset$, $A$, $A^c$ vagy $\Omega$, aszerint, hogy $B$ a 0 és 1 értékek közül egyiket sem, csak az 1-et, csak a 0-t, vagy mindkettőt tartalmazza. Az $\mathbf{1}_A$ tehát pontosan akkor mérhető, ha $A \in \mathcal{F}$.
• Lépcsős függvények. Egy olyan függvény, amely intervallumokon véges sok értéket vesz fel, mérhető, mert minden ősképhalmaza ezeknek az intervallumoknak véges uniója. Az alábbi ábra lépcsős függvénye $0{,}2$ a $[0; 0{,}3)$-on, $0{,}7$ a $[0{,}3; 0{,}6)$-on és $0{,}4$ a $[0{,}6; 1]$-en; ekkor $\{f \le 0{,}4\} = [0; 0{,}3) \cup [0{,}6; 1]$, hossza $0{,}7$.

A folytonosság nem követelmény. Az $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ függvény, amely a racionális számokon 1, az irracionálisokon 0, a $[0, 1]$ minden pontjában szakadásos, mégis mérhető, mert a racionális számok megszámlálható, tehát Borel-halmazt alkotnak. A mérhetőség csak azt kéri, hogy a szinthalmazok mérhetők legyenek, nem azt, hogy a függvény simán változzon.

Az ellenpélda onnan jön, ahol a mérhetőség egyáltalán elbukhat. Ha $V \subseteq [0, 1)$ Vitali halmaza, és $\mathcal{F}$ a Borel-halmazok családja, akkor az $\mathbf{1}_V$ indikátor nem mérhető, mert $\{\mathbf{1}_V > \tfrac12\} = V$ nem esemény. Egy függvény pontosan akkor nem mérhető, ha elrejt egy nem mérhető halmazt, és minden ilyen példához ugyanazok a különös konstrukciók kellenek, mint magához a Vitali-halmazhoz. Minden függvény mérhető, amelyet képlettel, határértékkel vagy kifejezett szabállyal fel lehet írni.

Mérhetőség partíción

A mérhetőséget akkor a legkönnyebb megérteni, ha $\Omega$ véges. Legyen $\mathcal{F}$ egy partíció által generált σ-algebra, mint a „σ-algebrák és Borel-halmazok”-ban, amelynek darabjai az atomok. Minden esemény atomok uniója, és egy $f$ függvény pontosan akkor mérhető, ha minden atomon konstans.

Hogy miért, azt lásd be így: tegyük fel, hogy $f$ egy atomon két különböző értéket vesz fel, az $a$ és $b$ pontban. Az $f(a)$ egyetlen érték ősképhalmaza tartalmazza $a$-t, de $b$-t nem. Esemény, tehát atomok uniója, így ha tartalmazza $a$-t, tartalmaznia kell $b$-t is, mert $a$ és $b$ ugyanabban az atomban van. Ez ellentmondás. Ellenkező irányban: ha $f$ minden atomon konstans, akkor minden ősképhalmaz egész atomok uniója, vagyis esemény.

A kocka futó példája ezt kézzelfoghatóvá teszi. Legyen $\Omega = \{1, \ldots, 6\}$, és az a megfigyelő, aki csak a dobás paritását látja, rendelkezzen a $\{\emptyset, \{1, 3, 5\}, \{2, 4, 6\}, \Omega\}$ σ-algebrával, a két atom $\{1, 3, 5\}$ és $\{2, 4, 6\}$. A „dobás mod 2” függvény, amely páratlan dobáson 1, páros dobáson 0, mindkét atomon konstans, tehát mérhető, ősképhalmazai a 0 értékre $\{2, 4, 6\}$, az 1 értékre $\{1, 3, 5\}$. Az $f(\omega) = \omega$ függvény, maga a dobás, nem mérhető: az $\{1, 3, 5\}$ atomon az 1 és a 3 értéket is felveszi, és a „a dobás 1” esemény nem olyan, amelyre a paritást látó megfigyelő válaszolni tud. Az a megfigyelő, aki csak azt látja, hogy „legfeljebb 2”, a $\{1, 2\}$ és $\{3, 4, 5, 6\}$ atomokkal rendelkezik, és egy függvény számára pontosan akkor mérhető, ha egy számpár, atomonként egy szám.

Szavakban: egy függvény akkor mérhető, ha az értéke kiszámítható abból az információból, amelyet a σ-algebra jelent: a paritást látó megfigyelő ki tudja számolni a „dobás mod 2” értéket, de a dobást nem, aki pedig semmit sem tud, az csak konstansokat tud kiszámolni.

Függvény által generált σ-algebra

Minden függvény hordoz valamennyi információt, mégpedig azt, amelyet az értékének ismerete felfed. Ezt a Borel-halmazok összes ősképhalmazának családja fogja meg:

Mivel az ősképhalmazok megtartják a komplementert és a megszámlálható uniót, $\sigma(f)$ σ-algebra, és ez a legszűkebb, amelyre nézve $f$ mérhető: bármely σ-algebra, amely $f$-et mérhetővé teszi, tartalmazza ezeket az ősképhalmazokat. Azokból az eseményekből áll, amelyek igazságát csupán $f$ megnézésével el lehet dönteni.

A kockán legyen $f(\omega) = 1$, ha $\omega \le 2$, és $f(\omega) = 0$ egyébként. Az ősképhalmazok $f^{-1}(\{1\}) = \{1, 2\}$ és $f^{-1}(\{0\}) = \{3, 4, 5, 6\}$, így $\sigma(f) = \{\emptyset, \{1, 2\}, \{3, 4, 5, 6\}, \Omega\}$, pontosan a „legfeljebb 2” megfigyelő. Több értékű függvény többet tud. Legyen $f(\omega) = (\omega - 3{,}5)^2$, a dobás középtől mért távolságának négyzete. Értékei $6{,}25$ az $1$ és $6$ dobásra, $2{,}25$ a $2$ és $5$ dobásra, $0{,}25$ a $3$ és $4$ dobásra. $\sigma(f)$ atomjai $\{1, 6\}$, $\{2, 5\}$ és $\{3, 4\}$, és $\sigma(f)$-nek $2^3 = 8$ eseménye van. A négyzetre emelés elveszítette, hogy a dobás a közép melyik oldalán van; $\sigma(f)$-ben nincs olyan esemény, amely az $1$-et a $6$-tól elválasztaná. Ugyanez történik az $x^2$ függvénnyel a $[-1, 1]$-en, ahol $\sigma(f)$ csak a 0-ra szimmetrikus Borel-halmazokat tartalmazza.

Mérhető függvények kombinálása

Régi mérhető függvényekből újak jönnek, és a szabályok megmagyarázzák, miért okoz olyan ritkán gondot a mérhetőség. Legyenek $f$ és $g$ mérhetők. Az $f + g$ összeg mérhető, és a bizonyításból látszik, hol lép be a megszámlálhatóság. Egy pontra pontosan akkor teljesül $f(\omega) + g(\omega) > c$, ha van olyan $q$ racionális szám, amely elválasztja a két részt: $f(\omega) > q$ és $g(\omega) > c - q$:

Ha $f(\omega) + g(\omega) > c$, akkor $c - g(\omega) < f(\omega)$, és a kettő közé szigorúan belefér egy racionális $q$. A jobb oldal események megszámlálható uniója, tehát esemény.

A többi szabály ugyanezt a félegyenes-próbát használja. A maximumra és minimumra $\{\max(f, g) > c\} = \{f > c\} \cup \{g > c\}$ és $\{\min(f, g) > c\} = \{f > c\} \cap \{g > c\}$. Az $f^2$ négyzet mérhető, mert $\{f^2 > c\}$ a $c < 0$ esetén $\Omega$, egyébként $\{f > \sqrt{c}\,\} \cup \{f < -\sqrt{c}\,\}$, a szorzat pedig az $fg = \tfrac14\big((f + g)^2 - (f - g)^2\big)$ azonosságból következik. Ha $h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ Borel-függvény, például $|x|$ vagy egy folytonos függvény, akkor $h \circ f$ mérhető, mert $(h \circ f)^{-1}(B) = f^{-1}\big(h^{-1}(B)\big)$, és $h^{-1}(B)$ Borel-halmaz.

A legerősebb szabályok a sorozatokra vonatkoznak. Ha $f_1, f_2, \ldots$ mérhetők, akkor $\sup_n f_n$ és $\inf_n f_n$ is, mert

A szuprémum pontosan akkor haladja meg $c$-t, ha valamelyik tag meghaladja. Ezek a függvények felvehetik a $+\infty$ vagy $-\infty$ értéket, és a félegyenes-próba változatlanul működik a $[-\infty, \infty]$-beli értékű függvényekre. A szuprémumból és az infimumból következik a $\limsup_n f_n = \inf_n \sup_{k \ge n} f_k$ és a $\liminf_n f_n$, és így a $\lim_n f_n$ pontonkénti határérték is, ott, ahol létezik, vagyis ahol $\limsup$ és $\liminf$ megegyezik.

Folytonos függvények pontonkénti határértéke nem feltétlenül folytonos, de mérhető. Az $f_n(x) = x^n$ függvények a $[0, 1]$-en mind folytonosak. Az $x = 0{,}9$ pontban értékeik $0{,}9;\ 0{,}81;\ 0{,}729;\ \ldots$, amelyek 0-hoz tartanak, az $x = 1$ pontban viszont végig 1-ek. A határérték tehát $0$ a $[0, 1)$-en és $1$ az egyetlen $x = 1$ pontban, vagyis $\mathbf{1}_{\{1\}}$: nem folytonos, de mérhető, és majdnem mindenütt egyenlő a nullfüggvénnyel.

Egy utolsó szabály a nullmértékű halmazokra vonatkozik. Tegyük fel, hogy $g$ egy $N$ nullmértékű halmaz kivételével megegyezik az $f$ mérhető függvénnyel. Ekkor $\{g > c\}$ és $\{f > c\}$ legfeljebb $N$-ben különbözik, így $g$ mérhető az „A Lebesgue-mérték és a nullmértékű halmazok” teljessé tett σ-algebrájára nézve. Borel-mérhető viszont nem feltétlenül: ha $S$ a Cantor-halmaz egy nem Borel-részhalmaza, akkor $\mathbf{1}_S$ majdnem mindenütt egyenlő a nullfüggvénnyel, mégis $\{\mathbf{1}_S > \tfrac12\} = S$ nem Borel-halmaz.

Egyszerű függvények

A legegyszerűbb nem konstans mérhető függvények csak véges sok értéket vesznek fel. Egyszerű függvény minden véges kombináció

Mérhető, mert minden indikátor mérhető, az összegek és konstansszorosok pedig megőrzik a mérhetőséget. Az $A_k$ halmazok átfedhetnek. Például a $[0, 1]$-en a $\varphi = 2\cdot\mathbf{1}_{[0; 0{,}5]} + 3\cdot\mathbf{1}_{[0{,}25; 1]}$ függvény értéke $2$ a $[0; 0{,}25)$-on, ahol csak az első indikátor aktív, $2 + 3 = 5$ a $[0{,}25; 0{,}5]$-on, ahol mindkettő aktív, és $3$ a $(0{,}5; 1]$-en. A szokásos alakja a különböző értékeket és a diszjunkt halmazokat használja, amelyeken felveszi őket: $\varphi = 2\cdot\mathbf{1}_{[0; 0{,}25)} + 5\cdot\mathbf{1}_{[0{,}25; 0{,}5]} + 3\cdot\mathbf{1}_{(0{,}5; 1]}$. A $\{\varphi = a_k\}$ halmazok ekkor partíciót alkotnak $\Omega$-n, hosszuk $0{,}25$, $0{,}25$ és $0{,}5$. Az egyszerű függvény értékek véges listája, mindegyik mellett az esemény, ahol felveszi.

Az egyszerű függvényeket azért vezetjük be, mert minden nemnegatív mérhető függvény határértékük. Adott $f \ge 0$ és $n$ részletességi szint mellett kerekítsd minden értékét lefelé a $2^{-n}$ többszörösére (dyadikus rács), és az eredményt vágd le $n$-nél:

A vágás véges számú értéken tartja a függvényt akkor is, ha $f$ nem korlátos: az $f(x) = 1/x$ függvényre az $x = 0{,}1$ pontban, ahol $f = 10$, a $\varphi_3$ értéke $3$. A $\varphi_n$ egyszerű. Értékei $k/2^n$, $k = 0, 1, \ldots, n 2^n$, és az a halmaz, ahol a $k/2^n$ értéket veszi fel, $\{k/2^n \le f < (k+1)/2^n\}$, a legnagyobb értékre pedig $\{f \ge n\}$. Ezek események, mert $f$ mérhető. Továbbá $\varphi_n \le f$ és $\varphi_n \le \varphi_{n+1}$, hiszen a finomabb rács a lefelé kerekített értéket csak felfelé mozdíthatja, a vágás $n$ pedig csak nő. Végül $\varphi_n \to f$ pontonként: ha $n > f(\omega)$, a vágás már nem számít, és $f(\omega) - \varphi_n(\omega) < 2^{-n}$.

Az $f(x) = x^2$ függvényre az $x = 0{,}7$ pontban, ahol $f = 0{,}49$, a közelítések $\varphi_1 = 0$, $\varphi_2 = 0{,}25$, $\varphi_3 = 0{,}375$, $\varphi_4 = 0{,}4375$ és $\varphi_5 = 0{,}46875$. Felfelé tartanak $0{,}49$ felé, és végig alatta maradnak; $n = 5$-nél a $0{,}02125$ hiba kisebb, mint $2^{-5} = 0{,}03125$.

A legfontosabb az, hogyan szeleteli fel a $\varphi_n$ a feladatot. $f$ értéktartományát $2^{-n}$ magas sávokra vágja, és minden sávhoz feljegyzi azon pontok halmazát, amelyeknek értéke abba esik. Nem az értelmezési tartományt vágja egyenlő szélességű darabokra. Az $f(x) = x^2$ és $n = 2$ esetben a sávok $[0, \tfrac14)$, $[\tfrac14, \tfrac12)$, $[\tfrac12, \tfrac34)$ és $[\tfrac34, 1)$, az ősképhalmazaik $[0; 0{,}5)$, $[0{,}5; 0{,}7071)$, $[0{,}7071; 0{,}8660)$ és $[0{,}8660; 1)$, hosszuk $0{,}5$, $0{,}2071$, $0{,}1589$ és $0{,}1340$, amelyek összege 1. Mindegyik ősképhalmaz Borel-halmaz, és pontosan itt van szükség a mérhetőségre. A következő lecke, „A Lebesgue-integrál”, a $\varphi_n$ minden értékét megszorozza a hozzá tartozó halmaz hosszával, és összeadja őket.

Képmértékek

Egy mérhető függvény átviszi a mértéket abból a térből, ahol él, a számegyenesre. Legyen $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ mértéktér és $f$ mérhető. A $\mu$ képmértéke $f$ alatt, más néven pushforward:

A kép a homok. Gondolj a $\mu$-re úgy, mint $\Omega$-n szétszórt homokmennyiségre, és az $f$ vigye át minden szemet az $\omega$ helyről a számegyenes $f(\omega)$ helyére. Ekkor $(\mu \circ f^{-1})(B)$ az a homokmennyiség, amely $B$-be kerül. Minden Borel-halmazra értelmezett, éppen mert $f$ mérhető, hiszen az ősképhalmazoknak olyan halmazoknak kell lenniük, amelyeket $\mu$ mérni tud.

Ez mérték a $\mathcal{B}(\mathbb{R})$-en. Az üres halmaz ősképhalmaza üres, így 0-t kap. Ha $B_1, B_2, \ldots$ diszjunktak, ősképhalmazaik is azok, mert egy pontnak csak egy értéke van, és az unió ősképhalmaza az ősképhalmazok uniója, így $\mu$ megszámlálható additivitása átöröklődik:

A szemeket elmozgatjuk, de nem hozunk létre és nem semmisítünk meg, így az összmennyiség nem változik: $(\mu \circ f^{-1})(\mathbb{R}) = \mu(\Omega)$. A valószínűségi mértékből valószínűségi mérték lesz.

Vedd a $\lambda$-t a $[0, 1]$-en és az ábra lépcsős függvényét. A $[0; 0{,}3)$ intervallumot a $0{,}2$ helyre, a $[0{,}3; 0{,}6)$ intervallumot a $0{,}7$ helyre, a $[0{,}6; 1]$ intervallumot a $0{,}4$ helyre viszi, így az összes homok három helyen köt ki: $\lambda \circ f^{-1} = 0{,}3\,\delta_{0{,}2} + 0{,}4\,\delta_{0{,}4} + 0{,}3\,\delta_{0{,}7}$, pontmasszák kombinációja, mint a „Halmazok méretének mérése”-ben. A $B = [0{,}3; 0{,}75]$ sáv tartalmazza a $0{,}4$ és $0{,}7$ helyet, így $0{,}4 + 0{,}3 = 0{,}7$-et kap, ami az ősképhalmazának hossza is.

Az $f(x) = x^2$ függvényre az eredmény simább. Az $f^{-1}([0, c]) = [0, \sqrt{c}\,]$ halmaz hossza $\sqrt{c}$, így $(\lambda \circ f^{-1})([0, c]) = \sqrt{c}$. A számegyenes $[0; 0{,}25]$ negyede $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5$-et kap, az összes homok felét, míg $(0{,}75; 1]$ csak $1 - \sqrt{0{,}75} = 0{,}1340$-et. A négyzetre emelés az értékeket a 0 felé zsúfolja. Egy $(a, b]$ intervallumra a mennyiség $\sqrt{b} - \sqrt{a}$, ami az $y \mapsto 1/(2\sqrt{y})$ görbe alatti terület $a$ és $b$ között, mert $\sqrt{y}$ deriváltja $1/(2\sqrt{y})$. A képmérték sűrűségfüggvénye tehát $1/(2\sqrt{y})$ a $(0, 1]$-en, amely a 0 közelében nagy, ott torlódik a homok.

A domb másképp viselkedik. A csúcs alatti minden magasságot kétszer éri el, így a $\{g \ge y\}$ az $\tfrac12(1 - \sqrt{1 - y})$-tól $\tfrac12(1 + \sqrt{1 - y})$-ig terjedő intervallum, hossza $\sqrt{1 - y}$: $y = 0{,}75$-re $0{,}5$, $y = 0{,}36$-ra $0{,}8$.

Az ábra mindezt megmutatja. Válassz egy függvényt, és mozgasd a $B = [c, d]$ sáv $c$ és $d$ végét a függőleges tengelyen. A vízszintes tengelyen a vastag darabok alkotják az $f^{-1}(B)$ ősképhalmazt, a hosszával együtt kiírva, az utolsó kijelzett érték pedig ugyanezt a számot mutatja azon homokmennyiségként, amelyet a képmérték $B$-be tesz. Az alapértelmezett $x^2$ és $B = [0{,}25; 0{,}64]$ esetén az ősképhalmaz $[0{,}500; 0{,}800]$, hossza $0{,}3$. A dombnál $B = [0{,}75; 1]$-re $[0{,}250; 0{,}750]$, hossza $0{,}5$, $B = [0{,}25; 0{,}64]$-re két darab, összhosszuk $0{,}2660$. A lépcsős függvénynél és $B = [0{,}3; 0{,}75]$-nél a darabok érintkeznek, ezért egyetlen $[0{,}300; 1{,}000]$ intervallumként jelennek meg, hossza $0{,}7$.

A pálya valószínűségi része ezeket az objektumokat új néven nevezi: egy valószínűségi mezőn értelmezett mérhető függvény neve valószínűségi változó, a képmértéké pedig eloszlás. A konstrukción semmi sem változik. Ennek a résznek minden állítása az itt leírt képmértékre épül.

Összefoglalás

• Az $f^{-1}(B)$ ősképhalmaz azokat a pontokat gyűjti össze, amelyeknek értéke $B$-be esik; a közvetlen képekkel ellentétben az ősképhalmazok megtartják a komplementert, az uniót és a metszetet.
• Egy függvény mérhető, ha minden Borel-halmaz ősképhalmaza esemény; elég az $\{f \le c\}$ halmazokat ellenőrizni, mert a jó halmazok olyan σ-algebrát alkotnak, amely tartalmazza a félegyeneseket.
• A folytonos, a monoton, a lépcsős függvények és az események indikátorai mérhetők, ahogy az összegek, szorzatok, maximumok, minimumok, szuprémumok, infimumok és a sorozatok pontonkénti határértékei is; az egyetlen kudarcot a nem mérhető halmazok, például a Vitali-halmaz okozzák.
• Véges σ-algebrán egy függvény pontosan akkor mérhető, ha minden atomon konstans, és $\sigma(f)$ az az információ, amelyet $f$ ismerete felfed.
• Az egyszerű függvények eseményeken véges sok értéket vesznek fel, és a $\varphi_n$ dyadikus függvények az értéktartomány szeletelésével felkúsznak bármely nemnegatív mérhető $f$-hez.
• A $\mu \circ f^{-1}$ képmérték az értékoldali mérték, amely feljegyzi, hogy $\mu$ mekkora része kerül egy-egy Borel-halmazba; összmennyisége megegyezik $\mu$-ével.