Valószínűségi mezők és a Kolmogorov-axiómák

A „Halmazok méretének mérése” című lecke az 1 teljes tömegű mértéket valószínűségi mértéknek nevezte, a „σ-algebrák és Borel-halmazok” elmagyarázta, mely halmazokat mérhet egy ilyen mérték, az „A Lebesgue-mérték és a nullmértékű halmazok” pedig felépítette a hosszt a valós számegyenesen, és megmutatta, hogy egy halmaz hossza nulla lehet anélkül, hogy üres volna. Mindaz, ami a véletlenről való beszédhez kell, tehát már megvan, a szókincs kivételével. Ez a lecke azt adja meg. Az 1 teljes tömegű mértékteret egy bizonytalan kimenetelű kísérlet modelljeként olvassa, a mértékelmélet minden szavát lefordítja a valószínűségszámítás nyelvére, és leírja a Kolmogorov-axiómákat. Ezután felépíti azokat a modelleket, amelyekhez a pálya többi része újra meg újra visszatér: két kockát, egy négyzet alakú céltáblára dobott nyilat, egy $[0, 1]$-ből egyenletesen húzott számot és egy végtelenségig dobált érmét.

Kimenetelek, események és valószínűségek

A valószínűségszámítás olyan kísérletből indul, amelynek az eredménye előre nem ismert: két kockát dobunk, nyilat dobunk egy céltáblára, érmét dobunk fel. A valószínűségi mező ilyen kísérlet matematikai leírása. Három összetevője van, és ezek pontosan a mértéktér három összetevői.

Az első a kimenetelek $\Omega$ halmaza. A kimenetel egy lehetséges eredmény teljes leírása, olyan részletes, hogy ismeretében a kísérletről szóló minden kérdésre van válasz. Két kockánál a kimenetel egy rendezett pár, például $(3, 5)$: az első kocka 3-at, a második 5-öt mutat; $6 \cdot 6 = 36$ ilyen van. Egy 1 oldalú négyzet alakú céltáblára dobott nyílnál a kimenetel az a $(x, y)$ pont, ahová a hegye leesik, és $\Omega$ az egységnégyzet. A kísérlet lefuttatásakor pontosan egy kimenetel következik be.

A második az események $\mathcal{F}$ gyűjteménye. Az esemény az eredményről szóló olyan állítás, amely a kimenetel ismeretében igaz vagy hamis, például „a kockák összege 7” vagy „a nyíl a bal félbe esik”. Minden állítást azonosítunk azon kimenetelek halmazával, amelyekre igaz: az „összeg 7” a $\{(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)\}$ halmaz. Ahogy a „σ-algebrák és Borel-halmazok” elmagyarázta, $\mathcal{F}$ σ-algebra. Felsorolja a feltehető kérdéseket, és zárt a kérdéseket összekapcsoló műveletekre: a nemre, a vagyra, az és-re és ezek megszámlálható változataira. Két kockánál $\mathcal{F}$ biztonsággal tartalmazhatja $\Omega$ minden részhalmazát.

A harmadik a valószínűség, $\mathbb{P}$, egy mérték az $(\Omega, \mathcal{F})$ téren, amely minden $A$ eseményhez egy 0 és 1 közötti $\mathbb{P}(A)$ számot rendel, megmondva, mennyire valószínű. Az $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ hármas a valószínűségi mező.

Mivel az események halmazok, a hétköznapi logika szavai átfordulnak a halmazelmélet azon szavaivá, amelyeket a korábbi leckék már használnak. A szótár rövid:

• a kimenetel egy $\omega \in \Omega$ pont;
• az esemény egy $A \in \mathcal{F}$ halmaz, és akkor következik be, ha az $\omega$ kimenetel $A$-ban van;
• „$A$ vagy $B$” az $A \cup B$ unió, az „$A$ és $B$” pedig az $A \cap B$ metszet;
• a „nem $A$” az $A^c = \Omega \setminus A$ komplementer;
• a lehetetlen esemény az üres halmaz, $\emptyset$, a biztos esemény pedig $\Omega$;
• az „$A$ és $B$ nem következhet be együtt” azt jelenti, hogy $A \cap B = \emptyset$, vagyis az események diszjunktak;
• az „ha $A$ bekövetkezik, $B$ is” azt jelenti, hogy $A \subseteq B$.

Vedd két kockát, legyen $A$ az „legalább az egyik kocka hatost mutat”, $B$ pedig az „az összeg 7”. Az $A$ eseménynek 11 kimenetele van: hat, amelyben az első kocka hatos, hat, amelyben a második, és a $(6, 6)$ pár kétszer számolva, így $6 + 6 - 1 = 11$. A $B$ eseménynek a fent felsorolt 6 kimenetele van. Az „$A$ és $B$” csak az $(1, 6)$ és a $(6, 1)$ párra igaz, így $A \cap B$-nek 2 kimenetele van, az „$A$ vagy $B$”-nek pedig $11 + 6 - 2 = 15$. Az „az összeg 7” és az „az összeg 8” események diszjunktak, hiszen egyetlen pár összege sem mindkettő.

A Kolmogorov-axiómák

A valószínűségnek értelmes számokat kell adnia, és Kolmogorov három axiómája megmondja, mit jelent ez. Egy $\mathcal{F}$ σ-algebra eseményein értelmezett $\mathbb{P}$ függvény valószínűségi mérték, ha:

1. Nemnegativitás: $\mathbb{P}(A) \ge 0$ minden $A$ eseményre. Az esély sosem negatív.
2. Normálás: $\mathbb{P}(\Omega) = 1$. Valami biztosan bekövetkezik, és a skála úgy van rögzítve, hogy a bizonyosság 1, nem 100 vagy 6.
3. Megszámlálható additivitás: $\mathbb{P}\big(\bigcup_{k} A_k\big) = \sum_{k} \mathbb{P}(A_k)$ páronként diszjunkt $A_1, A_2, \ldots$ események minden véges vagy végtelen sorozatára. Ha az események nem következhetnek be együtt, annak esélye, hogy valamelyikük bekövetkezik, az esélyeik összege.

Ezek a „Halmazok méretének mérése” mértékszabályai (a méretek nemnegatívak és diszjunkt darabokra összeadódnak, most már megszámlálhatóan sokra is), egyetlen további követelménnyel: az összmassza 1. A valószínűségi mező tehát nem más, mint egy $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ mértéktér, amelyben $\mathbb{P}(\Omega) = 1$. A korábbi leckékben a mértékekről bizonyított minden tény valószínűségekről szóló tény is, a valószínűségszámítás új szókincset és új kérdéseket ad, nem új axiómákat.

Mindegyik axiómának megvan a feladata. Nemnegativitás nélkül az additivitás az egyik esélyt a másikkal ki tudná oltani. Normálás nélkül a számok méretek volnának, nem valószínűségek: számlálómérték mellett egy szabályos kockánál a „hatos” az 1-et kapná, az „1 és 6 közötti szám” pedig a 6-ot. Megszámlálható additivitás nélkül a végtelen kísérletek rosszul viselkednének. A „Halmazok méretének mérése” ezt a pozitív egész számok természetes sűrűségével mutatta meg, amely véges additív méret: minden egyes pozitív egész számnak 0 méretet ad, az összes pozitív egész szám halmazának mégis 1-et. Egy ilyen valószínűség olyan sorsolást írna le, amelynek az egész számok között van nyertese, pedig egyetlen egész számnak sincs esélye nyerni.

Az axiómák Andrej Kolmogorovról kapták a nevüket, aki 1933-ban tette közzé őket „A valószínűségszámítás alapfogalmai” című könyvében. Addigra a valószínűségszámítást már majdnem három évszázada használták szilárd definíció nélkül: az egyformán valószínű esetek megszámlálása csődöt mond végtelen sok esetnél, a gyakoriságok határértékét pedig nehéz volt pontossá tenni. A mértékelmélet, amelyet Borel és Lebesgue a huszadik század első éveiben dolgozott ki, megadta, ami hiányzott. Kolmogorov megfigyelése az volt, hogy a valószínűség egy 1 összmasszájú mérték.

Mit jelentenek a valószínűségek

Az axiómák azt mondják meg, hogyan kombinálódnak a valószínűségek. Azt nem mondják meg, mi a valószínűség, és három értelmezés használatos. Mindegyik teljesíti az axiómákat.

• Szimmetria. Ha a kimenetelek felcserélhetők, egyenlő részt kapnak. Egy szabályos kockának nincs kitüntetett lapja, ezért minden lap $1/6$-ot kap, és egy esemény valószínűsége a benne lévő kimenetelek részaránya.
• Hosszú távú gyakoriság. Ismételd a kísérletet sokszor: azoknak az ismétléseknek az aránya, amelyekben $A$ bekövetkezik, $\mathbb{P}(A)$ körül áll be. Ha egy szabályos kockával 6 000-szer dobsz, nagyjából 1 000 hatos jön.
• Hiedelemfok. A $\mathbb{P}(A)$ azt méri, mennyire vagyunk meggyőződve arról, hogy $A$ igaz. Ez az értelmezés az ismételhetetlen kísérleteket is lefedi, például azt, hogy holnap esős lesz-e az idő.

Az értelmezések a szabályokban megegyeznek, és ez a pálya csak a szabályokat használja. A hiedelmeknél az axiómák következetességi próbák. Tegyük fel, hogy valaki 60 %-ig biztos benne, hogy egy kocka párosat mutat, és 60 %-ig biztos benne, hogy 1-est. Ezek az események diszjunktak, így az esélyeiknek $120\ \%$-ra kellene összeadódniuk egy olyan eseménynél, amely nem lehet többé, mint biztos. Egyetlen valószínűségi mérték sem hoz létre ilyen hiedelmeket, tehát ezek következetlenek.

Az axiómákból következő szabályok

A „Halmazok méretének mérése” minden mértéktulajdonsága igaz $\mathbb{P}$-re, az 1 összmassza pedig többet egyszerűbbé tesz. Mindegyik szabály mellett ott a rövid indoklás.

Komplementer. Az $A$ és az $A^c$ esemény diszjunkt, az uniójuk $\Omega$, így $\mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(A^c) = \mathbb{P}(\Omega) = 1$:

Annak esélye, hogy valami nem történik meg, egy mínusz annak esélye, hogy megtörténik. Ez a fő eszköz az „legalább egy …” alakú eseményekhez, amelyek komplementere a „egy sem”, ezt pedig gyakran könnyebb megszámolni. Két következmény: $\mathbb{P}(\emptyset) = 1 - \mathbb{P}(\Omega) = 0$, és minden valószínűség legfeljebb 1.

Monotonitás. Ha $A \subseteq B$, akkor $B$ az $A$ és a $B \setminus A$ diszjunkt uniója, így

Szita-formula. A $\mathbb{P}(A)$ és a $\mathbb{P}(B)$ összeadása kétszer számolja az $A \cap B$ átfedést, ezért az egyik példányt el kell venni:

Uniókorlát. Tetszőleges, akár diszjunkt, akár nem diszjunkt események esetén annak esélye, hogy legalább egy bekövetkezik, legfeljebb az esélyeik összege:

Folytonosság. Ha az $A_1 \subseteq A_2 \subseteq \cdots$ események az $A = \bigcup_n A_n$-hez nőnek, akkor $\mathbb{P}(A_n) \to \mathbb{P}(A)$. Ha a $B_1 \supseteq B_2 \supseteq \cdots$ események a $B = \bigcap_n B_n$-hez zsugorodnak, akkor $\mathbb{P}(B_n) \to \mathbb{P}(B)$. A második állítás a felülről való folytonosság, és itt azért igaz, mert az összmassza véges. Mindkettőt használjuk lentebb, a végtelen érmedobásnál.

Így működnek a szabályok két kockán. A „legalább egy hatos” esélye a komplementeren át a legkönnyebb: a „nincs hatos” a 36 kimenetel közül $5 \cdot 5 = 25$-nél áll fenn, így

A szita-formula ugyanezt a számot adja. Legyen $A_1$ az „az első kocka hatos”, $A_2$ az „a második kocka hatos”; ekkor $\mathbb{P}(A_1 \cup A_2) = \frac16 + \frac16 - \frac1{36} = \frac{11}{36}$. Az uniókorlát csak $\frac16 + \frac16 = \frac13 \approx 0{,}3333$-at adna. Ez $\frac1{36}$-tal tér el felfelé, pontosan az $A_1 \cap A_2$ valószínűségével, a $(6, 6)$ párral, amelyet az összeg kétszer számol.

Diszkrét modellek

A legegyszerűbb valószínűségi mezőknek megszámlálhatóan sok kimenetelük van, véges sok vagy egy $\omega_1, \omega_2, \ldots$ sorozatba felsorolható. Egy ilyen modellt egy tömegfüggvény rögzít: egy $p(\omega) \ge 0$ függvény, amely minden kimenetelnek részt ad, a részek összege pedig 1:

Itt $\mathcal{F}$ az $\Omega$ összes részhalmazának gyűjteménye, hiszen egy megszámlálható halmaz minden részhalmaza egyelemű halmazok megszámlálható uniója. A három axióma teljesül. Nemnegatív számok összege nemnegatív, a $\mathbb{P}(\Omega) = 1$ az első egyenlet, a megszámlálható diszjunkt unió feletti összeg pedig felbontható a darabok összegeire, mert a tagok nemnegatívak, így az összeadás sorrendje közömbös.

Két szabályos kockánál mind a 36 kimenetel $p = 1/36$-ot kap. Az összeg hat kimenetelnél 7, így $\mathbb{P}(\text{összeg} = 7) = 6/36 = 1/6 \approx 0{,}1667$. Az összeg 18 kimenetelnél páros, így a valószínűsége $1/2$.

Egy végtelen példa: dobjunk fel egy szabályos érmét az első fejig, és jegyezzük fel a dobás sorszámát. A kimenetelek $1, 2, 3, \ldots$. Az első fej akkor van a $k$-adik dobásnál, ha az első $k - 1$ dobás írás, a $k$-adik pedig fej. Minden dobásnak két egyformán valószínű eredménye van, így a $k$ dobásból álló minta valószínűsége $(1/2)^k$, és $p(k) = 2^{-k}$. A részek összege $\frac12 + \frac14 + \frac18 + \cdots = 1$, ahogy egy tömegfüggvénytől elvárjuk. A modellben nincs „sosem lesz fej” kimenetel, és nincs is rá szükség: a részek már elhasználják az összmasszát, így egy ilyen kimenetel 0 valószínűséget kapna.

A megszámlálható additivitás most számít. Mennyire valószínű, hogy az első fej páros sorszámú dobásnál jön? Az esemény a $\{2, 4, 6, \ldots\}$, egyelemű kimenetelek megszámlálható diszjunkt uniója, ezért a valószínűsége egy végtelen összeg:

A véges additivitás ezt a valószínűséget fel sem tudná írni. A kidolgozott példa kiszámolja.

Folytonos modellek

Nem minden kísérletnek van megszámlálhatóan sok kimenetele. Ha az eredmény egy skálán lévő szám vagy egy táblán lévő pozíció, $\Omega$ nem megszámlálható, és a valószínűséget úgy kell szétteríteni, mint a homokot, nem pedig csomókban elhelyezni.

Az első folytonos modell egy $[0, 1]$-ből egyenletesen választott $U$ szám. Itt $\Omega = [0, 1]$, $\mathcal{F}$ a Borel-féle σ-algebra, $\mathbb{P} = \lambda$ pedig a Lebesgue-mérték, amely valószínűségi mérték, mert $\lambda([0, 1]) = 1$. Egy esemény valószínűsége a hossza, így az egyenlő hosszú intervallumok egyformán valószínűek, bárhol vannak:

Az, hogy egy végpontot beleveszünk-e, nem számít, mert egyetlen pont hossza 0.

A második modell egy nyíl, amely az egységnégyzet egyenletesen választott pontjába esik. Itt $\Omega = [0, 1]^2$, $\mathbb{P}$ pedig a terület, az „A Lebesgue-mérték és a nullmértékű halmazok” kétdimenziós Lebesgue-mértéke. A nyíl $0{,}5$ valószínűséggel esik a bal félbe. A tábla középpontjától $0{,}1$-nél közelebb azzal a valószínűséggel esik, amely egy $0{,}1$ sugarú körlap területe, ez belefér a négyzetbe, így $\pi \cdot 0{,}1^2 \approx 0{,}0314$. A legnagyobb körlap, amely még belefér, $0{,}5$ sugarú, területe $\pi/4 \approx 0{,}7854$. Mindkét modellben egy tartomány valószínűsége csak a méretétől függ, és az „egyenletes” éppen ezt jelenti.

Két vonásban különbözik a diszkrét esettől. Először: nincs tömegfüggvény, mert minden egyes kimenetel valószínűsége nulla. $\mathbb{P}(U = 0{,}5) = \lambda(\{0{,}5\}) = 0$, és ugyanez igaz a tábla minden pontjára, valamint, a megszámlálható halmazok nullmértékűségének szabálya miatt, pontok minden megszámlálható halmazára, például a $[0, 1]$ összes racionális számára. Másodszor: $\mathcal{F}$ nem lehet az összes részhalmaz gyűjteménye. A „σ-algebrák és Borel-halmazok” Vitali-halmazának nincs hossza, ezért az események a Borel-halmazok, és minden esemény, amelyet valóban le lehet írni, közéjük tartozik.

Ez paradoxonnak látszik. Minden kimenetel valószínűsége 0, a kísérlet mégis kimenetelt ad, tehát egy 0 valószínűségű esemény bekövetkezett. A feloldás az, hogy a megszámlálható additivitás megszámlálhatóan sok valószínűséget ad össze, a nem megszámlálhatóan sokról pedig nem mond semmit. A $[0, 1]$ nem megszámlálhatóan sok pont uniója, mindegyik valószínűsége 0, és nem megszámlálhatóan sok nulla összege nincs értelmezve, és nem kell 0-nak lennie. A valószínűség úgy viselkedik, mint a tömeg egy tömör rúdban: a rúd egyetlen pontja semmit sem nyom, a rúd mégis nyom valamennyit.

Végtelen sok érmedobás

Sok kísérletet korlát nélkül ismétlünk: dobjuk fel az érmét újra meg újra, a végtelenségig. Ehhez olyan valószínűségi mező kell, amelynek kimenetele fejek és írások egész végtelen sorozatát rögzíti, és amelynek valószínűsége mellett a dobások szabályosak és külön-külön történnek. A követelmény konkrét: az első $k$ dobás bármely adott eredményének, mondjuk fej, írás, fejnek, $(1/2)^k$ a valószínűsége, itt $1/8$. Van egy rövid út, hogy ilyen teret építsünk az előző szakasz egyenletes számából, anélkül, hogy bármi újat kellene szerkeszteni.

Minden $\omega \in [0, 1)$ számnak van kettes számrendszerbeli alakja, $\omega = 0.b_1 b_2 b_3 \ldots_2$, ami azt jelenti, hogy

Például $0{,}6875 = \tfrac12 + \tfrac18 + \tfrac1{16} = 0{,}1011_2$, és $\tfrac13 = 0{,}010101\ldots_2$. A $b_1$ jegy megmondja, hogy a szám a $[0, 1)$ melyik felében van, 0 a bal, 1 a jobb félben, és minden további jegy azt, hogy a megmaradt darab melyik felében. Az érmemodell a jegyeket dobásokként olvassa: húzzunk egy $\omega$-t egyenletesen a $[0, 1)$-ből, és a $k$-adik dobás fej, ha $\omega$ $k$-adik kettes jegye 1, és írás, ha 0. Az $\omega = 0{,}6875$ így fej, írás, fej, fej dobást ad, azután örökre írásokat, az $\omega = 1/3$ pedig írás, fej, írás, fej, és így tovább, váltakozva.

Hogy lássuk, ezek a dobások szabályosak, nézzük meg, mit mond az első $k$ dobás egy mintája $\omega$-ról. Az első fej azt jelenti, hogy $\omega \in [\tfrac12, 1)$, ez $\tfrac12$ hosszú halmaz. Ha a második dobást is rögzítjük, a félintervallum kettéválik: fej, majd írás a $[\tfrac12, \tfrac34)$, fej, majd fej a $[\tfrac34, 1)$, mindkettő $\tfrac14$ hosszú. Minden további dobás újra megfelezi a darabokat. $k$ dobás után az egységintervallum $2^k$ darab $2^{-k}$ hosszú kettedes intervallumra oszlik, mintánként egyre, és az $m$ kettes értékű minta a $[m/2^k, (m+1)/2^k)$ intervallumnak felel meg. A fej, írás, fej mintára $m = 101_2 = 5$, az intervallum $[\tfrac58, \tfrac68) = [0{,}625; 0{,}75)$, a hossza, tehát a valószínűsége $\tfrac18$, ahogy kell:

Az ábra a szerkesztést mutatja. Mozgasd az $\omega$ számot, és nézd, hogyan változik az első tizenkét dobása; azután nyomj a minta dobásaira, hogy megfordítsd őket, és változtasd a minta $k$ dobásszámát. A kiemelt intervallum mindig azon számok halmaza, amelyek első dobásai a mintával egyeznek, és a hossza mindig $2^{-k}$. Az alapértékekkel az $\omega = 0{,}6875$ F Í F F dobással kezdődik, utána írások jönnek, az F Í F minta a $[0{,}625; 0{,}75)$ intervallumot foglalja el $0{,}125$ valószínűséggel, és $\omega$ benne van.

Egy technikai pont. Egyes számoknak két kettes alakjuk van: $0{,}5 = 0{,}1000\ldots_2 = 0{,}0111\ldots_2$. Ezek az $m/2^n$ alakú számok, megszámlálható halmaz, amely nullmértékű, így a választás nem érint pozitív valószínűségű eseményt. A megállapodás szerint azt az alakot használjuk, amely nem végződik végtelen sok 1-esre, az ábra és a pálya többi része is ezt teszi.

A tér most az egész végtelen sorozatról egyszerre válaszol kérdésekre. Vedd az „előbb-utóbb jön fej” eseményt. A komplementere, a „csupa írás” minden jegy 0 voltát követeli meg, amit csak az $\omega = 0$ szám teljesít. A valószínűség tehát $1 - 0 = 1$. A folytonosság ugyanezt adja a másik oldalról. A „az első $n$ dobásban nincs fej” esemény a $[0, 2^{-n})$ intervallum, valószínűsége $2^{-n}$, és ezek az események $n$ növekedtével a $\{0\}$ halmazhoz zsugorodnak. $n = 10$-re a valószínűség $1/1024 \approx 0{,}0009766$, $n = 20$-ra körülbelül $9{,}537 \cdot 10^{-7}$, a határérték pedig 0. A „minden dobás írás” az $\omega = 0$ egyetlen kimenetele: lehetséges, mégis nulla valószínűségű.

Az előző szakasz első fejes modellje ebben a modellben benne van. Az első fej pontosan akkor a $k$-adik dobásnál van, ha a jegyek $k - 1$ nulla, majd egy 1-es, vagyis $\omega \in [2^{-k}, 2^{1-k})$, egy $2^{-k} = p(k)$ hosszú intervallum. Az első fej páros dobásnál a $[\tfrac14, \tfrac12)$, $[\tfrac1{16}, \tfrac18)$, $[\tfrac1{64}, \tfrac1{32})$ és további intervallumok uniója, hosszuk $\tfrac14, \tfrac1{16}, \tfrac1{64}, \ldots$, ami a kidolgozott példa szerint $\tfrac13$-ra adódik össze. A két modell ugyanazt a választ adja. Azt, hogy a dobások „egymástól függetlenek”, eddig csak szemléletesen használtuk; a pálya egy későbbi leckéje pontossá teszi, és megmutatja, hogy egy egyenletes szám kettes jegyei egymástól független, szabályos érmékként viselkednek.

Majdnem biztos események

Az $A$ esemény, amelyre $\mathbb{P}(A) = 1$, majdnem biztosan (m.b.) következik be. Ez a valószínűségszámítás neve annak, amit az „A Lebesgue-mérték és a nullmértékű halmazok” „majdnem mindenütt”-nek nevezett: egy tulajdonság, amely csak egy nullmértékű halmazon nem teljesül, ami a valószínűségi mezőben egy 0 valószínűségű esemény. Egy $[0, 1]$-ből egyenletesen húzott szám majdnem biztosan irracionális, majdnem biztosan kívül van a Cantor-halmazon, és majdnem biztosan van valahol 7-es a tizedes tört alakjában. Az érmemodellben majdnem biztosan jön fej.

Egy 0 valószínűségű esemény mégis bekövetkezhet. Bármilyen számot ad is a kísérlet, az „$U$ egyenlő ezzel a számmal” esemény valószínűsége a húzás előtt 0 volt, és mégis bekövetkezett. A nulla valószínűség azt írja le, mennyire vékony egy esemény: hosszú ismétlési sorozatban nulla gyakorisággal találnánk el, nem azt, hogy nincsenek kimenetelei.

Három különböző állítás: egy esemény lehetetlen, ha az üres halmaz; nulla valószínűségű, ha nullmértékű, ami megenged kimeneteleket (a $[0, 1]$ bármely pontját); majdnem biztosan következik be, ha a komplementere nullmértékű. A lehetetlenből következik a nulla valószínűség, a nulla valószínűségből nem következik a lehetetlen.

A majdnem biztos események jól kombinálódnak. Ha az $A_1, A_2, \ldots$ események mind majdnem biztosan bekövetkeznek, a metszetük is: a komplementerek nullmértékűek, nullmértékű események megszámlálható uniója az uniókorlát miatt nullmértékű, $\mathbb{P}\big(\bigcup_n A_n^c\big) \le \sum_n 0 = 0$, és ennek az uniónak a komplementere a metszet. Az érmemodellben rögzíts egy $n$-et, és nézd az „az $n$-edik dobás után jön fej” eseményt. A komplementere azt mondja, hogy az $n$-edik után minden jegy 0, tehát $\omega$ a $2^n$ darab $m/2^n$ szám egyike, ez véges, így nullmértékű halmaz. Az esemény tehát minden $n$-re majdnem biztos, és az összes $n$ feletti metszet is az: majdnem biztosan végtelen sok fej van.

Egy utolsó állítás, bizonyítás nélkül: az első $n$ dobás közül a fejek aránya majdnem biztosan $1/2$-hez tart. A pálya egy későbbi leckéje bizonyítja.

A modell megválasztása

Ugyanahhoz a kísérlethez több valószínűségi mező is tartozhat. Egyetlen szabályos kockát leírhatunk az $\Omega = \{1, \ldots, 6\}$ halmazzal, minden lapra $p = 1/6$-tal. Leírhatjuk az $\Omega = [0, 1)$ halmazzal és a Lebesgue-mértékkel is, a $k$ lapot úgy olvasva, ha $\tfrac{k-1}{6} \le \omega < \tfrac{k}{6}$. Mindkettő a 4-es lapnak $1/6$, a páros lapoknak $3/6 = 1/2$ valószínűséget ad, és a kockáról szóló minden más kérdésre is ugyanazt a választ adja. Az számít, hogy az érdekes események a helyes valószínűséget kapják, és gyakran a kisebb tér a könnyebb.

A modellt gondosan kell megválasztani, mert a „válassz egy számot véletlenszerűen” nem teljes leírás. Ha $U$ egyenletes a $[0, 1]$-en, akkor az $U^2$ szám nem az. A „Mérhető függvények” szerint $\lambda(x^2 \le c) = \sqrt{c}$, így $\mathbb{P}(U^2 \le 0{,}25) = \mathbb{P}(U \le 0{,}5) = 0{,}5$, miközben egy $[0, 1]$-en egyenletes szám $0{,}25$ valószínűséggel esne $0{,}25$ alá. A négyzetre emelés a valószínűséget a 0 felé tolja. Ha egy kísérletet szavakkal írunk le, az első feladat megmondani, melyik $\mathbb{P}$-t értjük. A következő lecke, a „Valószínűségi változók és eloszlásaik”, éppen ezt tanulmányozza: hogyan kap a kimenetelből számolt mennyiség, például $U^2$ vagy két kocka összege, saját valószínűségi mértéket.

Összefoglalás

• Az $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ valószínűségi mező egy 1 összmasszájú mértéktér: $\Omega$ a kimeneteleket tartalmazza, az $\mathcal{F}$-beli események a megválaszolható kérdések, $\mathbb{P}(A)$ pedig az $A$ esemény esélye.
• A Kolmogorov-axiómák a nemnegativitás, a $\mathbb{P}(\Omega) = 1$ és a megszámlálható additivitás. Egyformán illenek a szimmetriához, a gyakoriságokhoz és a hiedelemfokokhoz, és adják a komplementerszabályt, a szita-formulát, az uniókorlátot és a folytonosságot.
• A diszkrét modell egy megszámlálható halmazon értelmezett, 1 összegű tömegfüggvény; a folytonos modell, mint a Lebesgue-mérték, szétteríti a valószínűséget, így minden egyes kimenetel valószínűsége nulla.
• A végtelen sok szabályos érmedobás egyetlen egyenletes szám kettes jegye: a $k$ dobásból álló minta egy $2^{-k}$ hosszú kettedes intervallum.
• Az 1 valószínűségű esemény majdnem biztosan következik be, ez a majdnem mindenütt valószínűségszámítási neve; a nulla valószínűség nem jelent lehetetlent, és megszámlálhatóan sok majdnem biztos esemény együtt is fennáll.
• Egy kísérletnek több valószínűségi mezője is lehet, és a „véletlenszerűen” hiányos, amíg a $\mathbb{P}$ nincs megadva.