Nem párhuzamos hozamgörbe-mozgások és kulcskamat-durációk

A „Duráció és konvexitás” egyetlen számmal mérte egy kötvény árkockázatát, és ehhez egyetlen hozamot mozgatott. Az „Azonnali kamatok, forward kamatok és a hozamgörbe” megmutatta, hogy nincs egyetlen hozam: minden lejárathoz saját zérókamat tartozik. Ez a lecke azt kérdezi, mi történik egy kötvénnyel, ha a görbe nem párhuzamosan mozdul, és hogyan mérhető külön-külön a görbe egyes szakaszaihoz tartozó kitettség.

A lecke végig évente kamatozó zérókamatokkal számol, egyetlen emelkedő görbéről leolvasva: 1 évre 3,0%, 2 évre 3,4%, 5 évre 3,9%, 10 évre 4,3% és 30 évre 4,6%, a pontok között egyenesekkel. A kötvény pénzáramok $CF_t$ halmaza, és mindegyiket a saját lejáratához tartozó zérókamattal diszkontáljuk.

Árazás a görbéről

A kötvény ára a zérógörbén a diszkontált pénzáramok összege, mindegyik a saját $z_t$ kamatán:

Vegyünk egy 5 éves kötvényt 4%-os éves kuponnal és 100-as névértékkel. Pénzáramai az 1–5. év végén 4, 4, 4, 4 és 104; mindegyiket a zérókamatával diszkontálva $P \approx 100{,}57$. A lejáratig számított hozam az öt zérókamat egyetlen átlaga; az ár megállapításához mind az öt kell.

A görbemozgás alakjai

A görbék ritkán mozdulnak párhuzamosan. A mozgások nagy részét három egyszerű alak írja le. A párhuzamos eltolás minden kamatot ugyanannyival mozgat. A meredekedés (steepener) vagy ellaposodás (flattener) a meredekséget változtatja: meredekedéskor a rövid kamatok esnek a hosszúakhoz képest, ellaposodáskor emelkednek. A pillangó a görbületet változtatja: a görbe közepe a két vég ellen mozdul.

Az ábra pontosan a hozamgörbe-labor alakjait használja. Egy $+50$ bázispontos meredekedés az 1 éves kamatot mintegy 38 bázisponttal, az 5 évest körülbelül 16-tal, a 30 évest kevesebb mint 3 bázisponttal csökkenti: a rövid vég mozog.

Kulcskamat-durációk

Egyetlen duráció nem mondja meg, a görbe melyik pontján van a kockázat. A kulcskamat-duráció igen. Válasszunk kulcslejáratokat, itt 2, 5, 10 és 30 évet. Minden kulcskamatot mozdítsunk el egy kis $\Delta y$ értékkel, a szomszédos zérókamatok kövessék lineárisan, a szomszédos kulcslejáratnál nullára csökkenve, és jegyezzük fel a relatív árváltozást:

A súlyokat úgy építjük fel, hogy minden lejáratnál a kulcskamatok részesedései egyet adjanak. Az összes kulcskamat együttes mozgatása így egy párhuzamos eltolás, és a kulcskamat-durációk összege a zérógörbe párhuzamos mozgásával szembeni durációt adja:

Az 5 éves kötvény durációja 4,46 év. Ez így oszlik meg: $\text{KRD}_{2} = 0{,}22$, $\text{KRD}_{5} = 4{,}23$, a 10 és 30 éves kulcsnál nulla. A kockázat szinte teljesen az 5 éves pontra esik, ahogy kell, hiszen a kötvénynek nincs pénzárama az 5. év után. A görbe bármely más szakaszának mozgása alig érinti az árát.

Bullet és barbell

Két portfólió lehet azonos árú és azonos durációjú, mégis másképp viselkedhet. Hasonlítsuk össze az 5 éves kötvényt, a bulletet egy barbellel, vagyis két zérókuponos kötvénnyel, az egyik 2, a másik 30 év múlva jár le, úgy súlyozva, hogy ára és durációja egyezzen a bulletével. A barbell értékének körülbelül 91%-a a rövid, 9%-a a hosszú zéróban van.

Mindkettő durációja 4,46 év, tehát a „Duráció és konvexitás” nem tudja megkülönböztetni őket. A kulcskamat-durációk igen: a bullet 4,23 az 5 éves kulcsnál, a barbell 1,75 a 2 éves és 2,70 a 30 éves kulcsnál, köztük semmi. $+50$ bázispontos párhuzamos mozgásnál a bullet 2,20%-ot, a barbell 2,13%-ot veszít; a kis különbség a barbell nagyobb konvexitása, amit az „Immunizáció és durációillesztés” tárgyalt. $+50$ bázispontos meredekedésnél a bullet 0,74%-ot, a barbell csak 0,59%-ot nyer, ellaposodásnál a bullet 0,74%-ot veszít a barbell 0,58%-ával szemben. A pillangónál, amely a görbe közepét emeli, a bullet 0,59%-ot, a barbell 0,32%-ot veszít. Az egyetlen duráció elrejti ezeket a különbségeket, a kulcskamat-durációk megmagyarázzák őket.

Az ábrán válassz alakot és méretet. A felső grafikon a zérógörbét mutatja a sokk előtt és után, az alsó a bullet és a barbell kulcskamat-durációit. A kijelzők az egyes portfóliók árváltozását és a bullet kulcskamat-durációinak összegét adják.

A számok használata

A kulcskamat-durációk lehetővé teszik, hogy a kockázatkezelő pontosan fogalmazza meg a piaci várakozását. Aki a görbe meredekedésére számít, megválaszthatja, mely kulcskamatoknak legyen kitéve a portfólió. Fedezéskor olyan eszközöket választ, amelyek kulcskamat-durációi minden kulcspontban kioltják a portfólióét, nem csak az összeget illesztik. Ennek az ára, hogy az eredmény a választott kulcspontoktól és a sokk kulcspontok közötti elosztásától függ, így a kulcskamat-durációk a görbe egy bizonyos felbontását írják le, nem természeti törvényt.

Összefoglalás

• A kötvényt a teljes zérógörbéről árazzuk: $P = \sum_t CF_t/(1+z_t)^t$.
• A görbemozgásoknak alakjuk van: párhuzamos eltolás, meredekedés, ellaposodás és pillangó.
• A kulcskamat-durációk az egyes kulcslejáratokhoz tartozó árérzékenységet mérik; összegük a párhuzamos eltolással szembeni duráció.
• Az azonos ár és duráció nem jelent azonos kockázatot: a bullet és a barbell kulcskamat-durációi különböznek, és nem párhuzamos mozgásokra másképp reagálnak.
• A kulcskamat-durációk a választott kulcspontoktól és a sokk kulcspontok közötti elosztásától függnek.

Egy későbbi lecke, a „Kötvényfutures és a legolcsóbban szállítható kötvény”, egy kötvénykosárra szóló szerződést árazza, ahol a görbe szintje és meredeksége dönti el, melyik kötvényt szállítják.