Kockázatkerülés és az optimális teljes portfólió

A „Hatékony front és tőkepiaci egyenes” című lecke egyetlen egyenessel zárult: minden befektetőnek ugyanazt a P kockázatos portfóliót érdemes tartania, és ezt kell kevernie a kockázatmentes eszközzel. Azt viszont nem mondta meg, mennyit tartson P-ből. Ez a befektetőn múlik, nem a piacon. Ez a lecke egyetlen számmal, a kockázatkerülési együtthatóval írja le a befektető kockázathoz való viszonyát, és ennek segítségével megkeresi az egyenes legjobb pontját.

A nyitva maradt döntés

Tegyük a tőke $y$ hányadát P-be, $1 - y$ hányadát pedig az $r_f$ hozamú kockázatmentes eszközbe. Az előző leckéhez hasonlóan az így kapott teljes portfólióra

Minden $y$ érték a tőkeallokációs egyenes egy pontja. Egy óvatos befektető kis $y$-t választ, egy merész nagyot, az $y > 1$ pedig azt jelenti, hogy $r_f$ kamatra hitelt vesz fel, és a saját tőkéjénél többet fektet P-be. A pontok összevetéséhez olyan szabály kell, amely mérlegeli a várható hozamot a kockázattal szemben.

Várható érték–variancia hasznosság

A szokásos szabály minden portfóliónak egy pontszámot ad, a hasznosságát:

ahol a hozamokat tizedes törtként írjuk. Az $A$ kockázatkerülési együttható azt mutatja, mennyire bünteti a befektető a varianciát. $A > 0$ esetén a befektető kockázatkerülő: két azonos $\mu$-jű portfólió közül a kisebb $\sigma$-jú kap nagyobb pontszámot. $A = 0$ esetén csak a várható hozam számít (kockázatsemlegesség). A valódi befektetői viselkedést nagyjából 2 és 6 közötti értékek írják le.

Példa: a kockázatos portfólióra $\mu_P = 11\%$ és $\sigma_P = 20\%$. Egy $A = 4$ együtthatójú befektető számára

Biztos egyenérték

Egy kockázatmentes befektetésre $\sigma = 0$, így a hasznossága egyszerűen a hozama. Bármely portfólió hasznossága tehát hozamként is olvasható: ez a biztos egyenérték, az a biztos hozam, amelyet a befektető pontosan annyira tart vonzónak, mint a kockázatos portfóliót. A példában a befektető P-t egy biztos 3%-kal egyenértékűnek tartja. Ha a kockázatmentes kamat $r_f = 3\%$, akkor ennek a befektetőnek mindegy, hogy csak P-t vagy csak kincstárjegyet tart.

Közömbösségi görbék

Az azonos $U$ hasznosságú portfóliókra

A $(\sigma, \mu)$ síkon ez egy felfelé görbülő parabola, egy közömbösségi görbe: a befektetőnek mindegy, melyik pontját tartja. Minden további kockázati egységért több várható hozammal kell fizetni, és ez az ár $\sigma$-val együtt nő. A feljebb fekvő görbék nagyobb hasznosságot jelentenek. Nagyobb $A$ mellett a görbék meredekebbek, mert a kockázatkerülőbb befektető ugyanakkora kockázatért több kompenzációt kér.

Az optimális teljes portfólió

A teljes portfóliót a hasznosságba helyettesítve csak $y$-tól függő függvényt kapunk:

Ez $y$-ban lefelé nyíló parabola. Az $(\mu_P - r_f) - A\sigma_P^2\, y$ deriváltat nullával egyenlővé téve

ahol $\text{SR}_P = (\mu_P - r_f)/\sigma_P$ a Sharpe-ráta. Geometriailag $y^*$ az a pont, ahol egy közömbösségi görbe éppen érinti a tőkeallokációs egyenest: a magasabb görbék elkerülik az egyenest, az alacsonyabbak két pontban metszik, és mindkét pont rosszabb.

A kockázatos portfólió optimális súlya $y^{*} = (\mu_P - r_f)/(A\sigma_P^2)$: arányos a többlethozamával, és fordítottan arányos a varianciájával és a befektető kockázatkerülésével.

Számpélda

Legyen $\mu_P = 11\%$, $\sigma_P = 20\%$, $r_f = 3\%$ és $A = 4$. Ekkor

és $U^{*} = 0{,}07 - \tfrac{1}{2}\times 4 \times 0{,}01 = 5\%$. Csak kincstárjegyet vagy csak P-t tartva a biztos egyenérték egyaránt 3%, így a fele-fele keverék mindkét végpontnál egyértelműen jobb. Egy kockázatkerülőbb, $A = 8$ együtthatójú befektető $y^* = 0{,}25$-öt tart (várható hozam 5%, szórás 5%), egy $A = 2$ együtthatójú pedig pontosan P-t ($y^* = 1$).

Egy második befektető más piacon van, $\mu_P = 10\%$, $\sigma_P = 25\%$ és $r_f = 2\%$, kockázatkerülése pedig $A = 3$.

Hitelfelvétel

Az optimális súly akkor nagyobb egynél, ha $A < (\mu_P - r_f)/\sigma_P^2$, itt ha $A < 2$. $A = 1{,}6$ mellett a befektető $y^* = 0{,}08/(1{,}6 \times 0{,}04) = 1{,}25$-öt szeretne: a saját tőkéje negyedét kölcsönveszi $r_f$ kamatra, és 125%-ot fektet P-be, 13%-os várható hozammal és 25%-os szórással. A gyakorlatban a befektetők drágábban vesznek fel hitelt, mint amennyiért kölcsönadnak, ezért az egyenes P után lefelé törik, és az optimális hitelfelvétel kisebb.

Az ábra a példa tőkeallokációs egyenesét mutatja. Húzd a pontot az egyenes mentén $y$ kiválasztásához; a ponton átmenő görbe az a közömbösségi görbe, amelyen éppen vagy, a szaggatott görbe pedig az optimumhoz tartozik. Indulj P-ből, ahol a két görbe messze van egymástól, és húzd a kockázatmentes vég felé: a hasznosság nő, amíg a pont rá nem ugrik az optimumra $y = 0{,}5$-nél, utána ismét csökken. Válts $A$-t, és figyeld meg, hogy az optimum elmozdul, az egyenes viszont a helyén marad.

A két döntés szétválása

Az eredmény két részre bontja a befektetési problémát. Hogy melyik kockázatos portfóliót tartsuk, csak a piacon múlik (várható hozamok, szórások, korrelációk): minden várható érték–variancia alapon döntő befektető az érintési portfóliót választja. Hogy mennyit tartsunk belőle, csak a befektető $A$ együtthatóján múlik. Ez a két alap tétele: bármely optimális portfólió ugyanannak a két alapnak, a kockázatmentes eszköznek és P-nek a keveréke.

Összefoglalás

• Az $U = \mu - \tfrac{1}{2}A\sigma^2$ várható érték–variancia hasznosság pontozza a portfóliókat; $A$ a kockázatkerülés mértéke.
• Egy portfólió hasznossága a biztos egyenértéke: az a biztos hozam, amelyet a befektető ugyanannyira vonzónak tart.
• A $\mu = U + \tfrac{1}{2}A\sigma^2$ közömbösségi görbék parabolák, nagyobb $A$ mellett meredekebbek.
• A legjobb teljes portfólió $y^* = (\mu_P - r_f)/(A\sigma_P^2)$ súlyt tart P-ben; $y^* > 1$ hitelfelvételt jelent.
• Mindenki ugyanazt a kockázatos portfóliót tartja; csak az ez és a kockázatmentes eszköz közötti arány különbözik.

A következő lecke, a „CAPM, béta és az értékpapír-piaci egyenes”, azt vizsgálja, mi történik az árakkal, ha minden befektető ugyanazt a kockázatos portfóliót tartja.