A várható hozam és a kovariancia becslése

A „Hatékony front és tőkepiaci egyenes” és a „Portfóliókorlátok és a shortolás nélküli hatékony front” minden optimalizálója adottnak veszi a várható hozamokat, a volatilitásokat és a korrelációkat. A gyakorlatban ezeket néhány évnyi adatból becsüljük, és a becslések zajosak. Ez a lecke megméri, mennyire, megmutatja, hogyan nagyítja fel az optimalizáló a zajt, és bevezeti a zsugorítást mint gyógymódot. A „Hozamok és volatilitás” leckére épít.

Mintamomentumok

$n$ megfigyelt hozamból, $r_1, \dots, r_n$, a szokásos becslések a minta átlaga és a minta varianciája:

Mindkettő torzítatlan: sok minta átlagában az igazi értéket adják. Egyetlen minta viszont egy húzás, és a portfólióra vonatkozó becslés csak olyan jó, mint az a húzás.

Mennyire tévesek a becslések

Ha a hozamok függetlenek és volatilitásuk $\sigma$, a minta átlagának standard hibája

Ha $n$-t években mérjük és $\sigma$ éves, egy 20% volatilitású részvény átlaga 5 évnyi megfigyelés után 8,9 százalékponton belül ismert, 20 év után 4,5 ponton belül, és még 100 év után is 2,0 ponton belül. A részvénypiaci kockázati prémium maga is néhány százalékpont, így egy élet adata is alig választja szét a jó eszközt a közepestől. A gyakoribb megfigyelés az átlagon nem segít: az a minta hosszától függ, nem attól, milyen sűrűn szeleteljük. A volatilitások és a korrelációk ezzel szemben sokkal pontosabban becsülhetők, és a napi mintavétel javít rajtuk.

A hibák maximalizálása

Az optimalizáló a becsléseket igaznak veszi, és a legnagyobb súlyt oda teszi, ahol a becsült hozam a kockázathoz képest a legmagasabb. Az az eszköz, amelyik a mintában szerencsés volt, vonzónak látszik, és az optimalizáló sokat vesz belőle; a szerencsétlent shortolja. A portfólió tehát a hibákra épül, ezért nevezik hibamaximalizálónak.

Az ábra két eszközt mutat 4% és 10% igazi várható hozammal, 10% és 20% volatilitással, korreláció nélkül és 2%-os kockázatmentes kamattal. Az igazi érintési portfólió 50-50%-ot tart. A halvány görbék 20 véletlen, 60 hónapos (5 éves) mintából becsült frontok: szélesen szórnak az igazi körül. Az 1. eszközben a becsült érintési súly középső fele 47% és 97% között van, az igazi 50% ellenében, és a becslésekből épített portfóliók átlagosan 0,160 Sharpe-mutatót veszítenek az igazi optimum 0,447-éhez képest. Vidd a mintát 600 hónapra, és a veszteség 0,020-ra esik.

Zsugorítás

Egy gyógymód, hogy a zajos becsléseket egy értelmes cél felé húzzuk. A várható hozamoknál a legegyszerűbb cél az összes eszköz átlaga, $\bar\mu$:

$k = 0$ esetén semmi sem változik, $k = 1$ esetén minden eszköz ugyanazt a várható hozamot kapja. Másik cél a „CAPM, béta és az értékpapír-piaci egyenes” leckéből következő prior, amelyben a várható hozamok csak a bétán keresztül különböznek. A zsugorítás kis torzítást visz be, de sok varianciát elvesz. 60 hónapnál $k = 0{,}5$ az ábrán az átlagos Sharpe-veszteséget 0,160-ról 0,097-re vágja.

A kovarianciák könnyebbek

A volatilitásbecslés relatív hibája $\mathrm{SE}(\hat\sigma)/\sigma = 1/\sqrt{2n}$: 240 havi megfigyelésnél ez körülbelül 4,6%, szemben egy átlaggal, amelynek bizonytalansága a saját nagyságrendjét is elérheti. A kovarianciáknál a nehézség más, a számuk: $N$ eszköznek $N(N+1)/2$ varianciája és kovarianciája van, így néhány évnyi minta több száz részvénynél nem határozza meg őket megbízhatóan. A faktorszerkezet kikötése, ahogy a „Faktormodellek és szisztematikus kockázat” leckében, a legtöbbjüket néhány paraméterrel helyettesíti, ami a zsugorítás egy másik formája.

Összefoglalás

• A mintamomentumok torzítatlanok, de zajosak: az átlag standard hibája $\sigma/\sqrt n$, és gyakoribb adattal sem javul.
• Az optimalizáló a szerencsés mintájú eszközöket túlsúlyozza, így a becslésből épített front instabil, és a valóságban Sharpe-mutatót veszít.
• Az átlagok közös cél felé zsugorítása kis torzítást visz be, és sok varianciát elvesz.
• A kovarianciák jobban becsülhetők az átlagoknál; náluk a számuk a gond, amit faktorszerkezettel kezelünk.

A sztochasztikus modulban később a Monte Carlo-leckék a standard hiba ugyanezen gondolatát használják a szimulált átlagokra.