Többlépéses fák és visszafelé indukció

Egyetlen felfelé vagy lefelé lépés túl durva ahhoz, hogy hónapokon át leírja egy részvény mozgását. Ez a lecke sok egylépéses modellt fűz fává, és egy opciót úgy áraz, hogy a „Kockázatsemleges valószínűségek” lecke képletét minden csomópontban alkalmazza, a lejárattól visszafelé haladva a mai napig. Felhasználja a „Véletlen bolyongás és Brown-mozgás” lecke $\sqrt{\Delta t}$-s skálázását és a „Kamat, kamatozás és diszkontálás” lecke folytonos diszkontálását is.

A futamidő felosztása

Osszuk fel a $T$ futamidőt $n$ egyenlő lépésre, amelyek hossza

Minden lépésben a részvény árát $u$-val vagy $d$-vel szorozzuk, a korábbi lépésektől függetlenül. A kockázatmentes kötvény most folytonosan kamatozik, így egy lépés alatt $e^{r\Delta t}$-szeresére nő, nem $(1+r)$-szeresére. Minden lépés az egylépéses modell egy példánya, amelyben az $1+r$ szorzó helyén $e^{r\Delta t}$ áll, ezért az arbitrázsmentességi feltétel $d < e^{r\Delta t} < u$, a felfelé lépés kockázatsemleges valószínűsége pedig

A feltevések a korábbiak: nincs osztalék, tört mennyiség is kereskedhető, nincs tranzakciós költség, és $r$ kamaton lehet hitelt felvenni és betétet elhelyezni.

A rekombináló fa

Egy felfelé, majd egy lefelé lépés $S_0ud$-t ad, egy lefelé, majd egy felfelé lépés $S_0du$-t, ami ugyanaz a szám. Az ugyanannyi felfelé lépést tartalmazó utak ugyanabban a csomópontban végződnek. Az ilyen fát rekombináló fának nevezzük. $i$ lépés után csak $i+1$ különböző ár van,

ahol $j$ a felfelé lépések száma. A teljes fának $(n+1)(n+2)/2$ csomópontja van, míg az utak száma $2^n$. $n = 100$ esetén ez 5151 csomópont a nagyjából $1{,}3 \cdot 10^{30}$ út helyett; ettől használható a gyakorlatban a fa.

Az $u$ és $d$ megválasztása

Az $u$ és $d$ szorzókat úgy kell megválasztani, hogy a fában mozgó részvény úgy viselkedjen, mint egy $\sigma$ éves volatilitású részvény. A Cox–Ross–Rubinstein (CRR) választás

Minden lépés $\pm\sigma\sqrt{\Delta t}$-vel változtatja a logaritmikus árat. Ez a „Véletlen bolyongás és Brown-mozgás” lecke skálázott pénzfeldobásos bolyongása: $n$ lépés alatt a logaritmikus árváltozás varianciája közel $n\,\sigma^2\Delta t = \sigma^2 T$, ami megfelel a négyzetgyökös időszabálynak. Mivel $d = 1/u$, egy felfelé és egy lefelé lépés kioltja egymást, így a fa logaritmikus skálán $S_0$ körül szimmetrikus.

Visszafelé indukció

Lejáratkor az opció értéke minden csomópontban a kifizetése; callnál $C_{n,j} = (S_{n,j} - K)^+$. Egy lépéssel korábban minden csomópont a két utódjával együtt egy egylépéses modell, így értéke a két utódérték diszkontált kockázatsemleges átlaga:

Ezt lépésenként a gyökérig ismételve kapjuk a $C_0 = C_{0,0}$ árat. Minden csomópontban létezik „Az egylépéses binomiális modell” lecke replikáló portfóliója, $\Delta_{i,j} = (C_{i+1,j+1} - C_{i+1,j})/(S_{i+1,j+1} - S_{i+1,j})$ részvénnyel, így az ár egy lépésenként újrasúlyozott stratégia költsége.

Visszafelé indukció. Lejáratkor az értékek a kifizetéssel egyeznek; ezután lépésenként visszafelé haladva minden csomópont értéke a két utód $q$-val súlyozott átlagának $e^{-r\Delta t}$-szerese. A gyökérben kapott érték az arbitrázsmentes ár.

Kidolgozott példa

Legyen $S_0 = 100$, $K = 100$, $T = 1$, $\sigma = 20\%$, $r = 5\%$ és $n = 2$, tehát $\Delta t = 0{,}5$.

1. Szorzók: $u = e^{0{,}2\sqrt{0{,}5}} \approx 1{,}1519$, $d = 1/u \approx 0{,}8681$, $e^{r\Delta t} = e^{0{,}025} \approx 1{,}0253$.
2. Kockázatsemleges valószínűség: $q = \dfrac{1{,}0253 - 0{,}8681}{1{,}1519 - 0{,}8681} \approx 0{,}5539$.
3. Árak lejáratkor: $S_{2,2} = 100u^2 \approx 132{,}69$, $S_{2,1} = 100$, $S_{2,0} = 100d^2 \approx 75{,}36$.
4. Kifizetések: $C_{2,2} \approx 32{,}69$, $C_{2,1} = 0$, $C_{2,0} = 0$.
5. 1. lépés: $C_{1,1} = \dfrac{0{,}5539\cdot 32{,}69 + 0{,}4461\cdot 0}{1{,}0253} \approx 17{,}66$, és $C_{1,0} = 0$, mert mindkét utódja nulla értékű.
6. Gyökér: $C_0 = \dfrac{0{,}5539\cdot 17{,}66}{1{,}0253} \approx 9{,}54$.

Ugyanezekkel a bemenetekkel a Black–Scholes-ár, amelyet egy későbbi lecke vezet le, körülbelül 10,45. Két lépés durva közelítést ad; több lépéssel közelebb kerülünk.

A lejárati ár eloszlása

$\mathbb{Q}$ alatt minden lépés egymástól függetlenül $q$ valószínűséggel felfelé lépés, így a lejáratig megtett felfelé lépések $j$ száma binomiális eloszlású. A $j$ csomópontba érkezés valószínűsége az odavezető utak száma szorozva egy út valószínűségével:

Európai opciónál a visszafelé indukció ezért ugyanazt adja, mint egyetlen diszkontált várható érték a lejárati csomópontokon:

Ahogy $n$ nő, $j$ binomiális eloszlása normális eloszláshoz tart, így $\ln S_T$ normális eloszlásúvá válik. Ez a Black–Scholes mögötti lognormális modell.

Konvergencia a Black–Scholes-árhoz

Az ábra a CRR call árát mutatja a lépésszám függvényében ($n = 1$-től 150-ig), $S_0 = 100$, $r = 5\%$ és $T = 1$ mellett, a Black–Scholes-árat pedig vízszintes egyenesként. $K = 100$ és $\sigma = 20\%$ esetén a fa $n = 1$-re 12,16-ot, $n = 2$-re 9,54-et, $n = 10$-re 10,25-öt, $n = 100$-ra 10,43-at ad, szemben a 10,45-tel. A közeledés nem sima: az ár cikcakkban ugrál páros és páratlan $n$ között, mert $n$ változásával a lejárati csomópontok elcsúsznak a kötési árhoz képest, a kifizetésnek pedig $K$-nál töréspontja van. Mozgasd $K$-t és $\sigma$-t, és figyeld meg, hogy a cikcakk mérete változik, a görbe viszont mindig a referenciavonalra áll be.

Amerikai opciók

Az amerikai opció bármelyik csomópontban lehívható. A visszafelé indukció ezt egyetlen módosítással kezeli: minden csomópontban a lehívási érték és a fenti képlet szerinti továbbtartási érték közül a nagyobbat vesszük. Osztalékot nem fizető részvényre szóló callnál a korai lehívás sosem optimális, így az ára megegyezik az európaiéval. Amerikai putnál viszont lehet optimális, és árazására a fa a szokásos eszköz.

Összefoglalás

• A többlépéses fa $T$-t $n$ darab $\Delta t = T/n$ hosszú lépésre bontja; a kötvény lépésenként $e^{r\Delta t}$-szeresére nő, és $q = (e^{r\Delta t} - d)/(u-d)$.
• A CRR-választás, $u = e^{\sigma\sqrt{\Delta t}}$, $d = 1/u$, rekombináló fát ad, amelynek logaritmikus árvarianciája $T$ alatt körülbelül $\sigma^2 T$.
• A visszafelé indukció minden csomópontban az egylépéses árazási képletet alkalmazza, a lejárattól a mai napig.
• A felfelé lépések száma $\mathbb{Q}$ alatt binomiális eloszlású, és a fa ára $n$ növelésével oszcillálva a Black–Scholes-árhoz tart.