Azonnali kamatok, forward kamatok és a hozamgörbe

A „Kötvényárak és hozamok” leckében a kötvény minden pénzáramlását egyetlen rátával, a lejáratig számított hozammal diszkontáltuk. A valódi piacon az egy évre és a tíz évre kölcsönadott pénz eltérő kamatot hoz. Ez a lecke minden lejáratnak saját rátát ad, az azonnali kamatlábat (spot rátát), megmutatja, hogyan olvasható ki a kötvényárakból, és levezeti a belőle következő forward kamatlábakat. A „Kamat, kamatozás és diszkontálás” és a „Duráció és konvexitás” leckékre épül.

A hozam mint a ráták átlaga

Két azonos lejáratú, de eltérő kuponú kötvény lejáratig számított hozama általában különbözik, még ugyanattól a kibocsátótól is. Ennek oka, hogy a hozam átlag: az adott kötvény összes kifizetési időpontjához tartozó rátákat keveri össze, a pénzáramlásaival súlyozva. Egy első évben esedékes kuponfizetés ugyanannyit kell érnie, bármelyik kötvényből származik, ezért tisztább, ha a rátát a kifizetés időpontjához rendeljük, nem a kötvényhez.

Azonnali kamatlábak és diszkontfaktorok

Az $r(t)$ azonnali kamatláb (zérókamat) a $t$-ben lejáró zérókuponos kötvény hozama: a mától $t$-ig tartó, egyetlen visszafizetéssel járó hitelezés kamata. Ebben a leckében az azonnali és a forward kamatlábak folytonos kamatozásúak, így a $t$-ben fizetett 1 mai ára, a diszkontfaktor:

A $t \mapsto r(t)$ függvény a hozamgörbe (a kamatlábak lejárati szerkezete). A diszkontfaktorok ugyanezt az információt hordozzák; a rátákat csak könnyebb lejáratok között összehasonlítani.

Kuponos kötvény árazása azonnali kamatlábakkal

A kuponos kötvény zérókuponos kötvények csomagja, minden kifizetésre egy. Ha $CF_t$ a $t$-edik évben esedékes, minden pénzáramlást a saját időpontjához tartozó azonnali kamatlábbal diszkontálunk:

Ha a görbe vízszintes, vagyis minden $t$-re $r(t) = r$, ez egyetlen rátával való diszkontálásra egyszerűsödik, és minden kötvény hozama ugyanaz. Egyébként a kötvény lejáratig számított hozama az az egy ráta, amely ezt az árat adja vissza: az azonnali kamatlábak pénzáramlásokkal súlyozott keveréke.

Rátakinyerés (bootstrapping)

Zérókuponos kötvény nem minden lejáratra létezik, ezért az azonnali kamatlábakat általában kuponos kötvények árából nyerjük ki, lejáratról lejáratra, a rövid végtől kezdve. Ennek neve bootstrapping. Éves kuponokkal ($F = 100$) dolgozunk, a diszkontfaktorokat oldjuk meg, amelyek nem függenek a kamatozási konvenciótól, és csak ezután váltjuk át őket folytonos kamatozású azonnali rátákra.

Tegyük fel, hogy a piacon egy egyéves zérókuponos kötvény ára 97,00, egy kétéves, 5%-os éves kuponú kötvényé pedig 101,00.

1. Az egyéves zérókuponos kötvényből $P(0,1) = 97{,}00/100 = 0{,}9700$, így $r(1) = -\ln 0{,}97 \approx 3{,}05\%$.
2. A kétéves kötvény az első évben 5-öt, a másodikban 105-öt fizet. Az első kifizetést az 1. lépés már beárazta: $101{,}00 = 5 \cdot 0{,}9700 + 105\,P(0,2)$, így $P(0,2) = 96{,}15/105 \approx 0{,}9157$ és $r(2) = -\tfrac{1}{2}\ln 0{,}9157 \approx 4{,}40\%$.

Több kötvénnyel az eljárás ugyanígy folytatódik: minden lejáratnál csak egy diszkontfaktor ismeretlen. E két azonnali kamatlábbal egy 6%-os kuponú kétéves kötvény ára csak $6 \cdot 0{,}9700 + 106 \cdot 0{,}9157 \approx 102{,}89$ lehet; bármely más árnál olcsóbban össze lehetne rakni a két jegyzett kötvényből. Lejáratig számított hozama (éves kamatozással) kb. 4,46%, a két azonnali kamatláb keveréke.

Forward kamatlábak

Az $f(t_1, t_2)$ forward kamatláb az a ma rögzített kamat, amelyen két jövőbeli időpont, $t_1 < t_2$ között lehet hitelt felvenni vagy nyújtani. Az arbitrázsmentesség az azonnali görbéből meghatározza. Vessünk össze két módot arra, hogy 1-et mától $t_2$-ig befektessünk:

• közvetlenül az $r_2 = r(t_2)$ azonnali kamatlábon, ami $e^{r_2 t_2}$-re nő;
• $t_1$-ig $r_1 = r(t_1)$-en, és ma megállapodunk, hogy $t_1$-től $t_2$-ig $f(t_1,t_2)$-n fektetjük újra, ami $e^{r_1 t_1}\,e^{f(t_1,t_2)(t_2 - t_1)}$-re nő.

Mindkét stratégia kockázatmentes és ma 1-be kerül, így az „Arbitrázs és a határidős ár” lecke érvelése szerint ugyanannyit kell hozniuk. A kitevőket egyenlővé téve

A $t_1$ és $t_2$ közötti forward kamatláb az a ráta, amellyel a $t_1$-beli újrabefektetés egyenértékű azzal, hogy egyből $t_2$-ig fektetünk be: $f(t_1,t_2) = (r_2t_2 - r_1t_1)/(t_2 - t_1)$.

A bootstrapping példájában $f(1,2) = 2 \cdot 4{,}40\% - 3{,}05\% \approx 5{,}76\%$. Ellenőrzés: $e^{0{,}0305}e^{0{,}0576} \approx e^{2 \cdot 0{,}0440} \approx 1{,}092$.

A pillanatnyi forward görbe

Közelítsen $t_2$ a $t_1 = t$ időponthoz. A számláló $r(t)\,t$ megváltozása, így a határérték derivált, a pillanatnyi forward kamatláb:

Ebből látszik, hogyan helyezkedik el egymáshoz képest a két görbe. Ahol az azonnali görbe emelkedik ($r'(t) > 0$), ott a forward görbe fölötte halad; ahol csökken, ott alatta; ahol vízszintes, ott egybeesnek. Jó kép erre egy futó átlag: az $r(t)$ azonnali kamatláb a 0 és $t$ közötti forward kamatlábak átlaga, ezért csak akkor nő, ha az újonnan hozzávett ráta az addigi átlag fölött van.

A hozamgörbe alakjai

• Emelkedő (normál): a hosszú kamatok a rövidek fölött vannak. Ez a leggyakoribb alak.
• Vízszintes: minden lejáratra nagyjából ugyanaz a kamat; ez a „Kötvényárak és hozamok” lecke egyhozamú világa.
• Inverz: a rövid kamatok a hosszúak fölött vannak, gyakran akkor, ha a piac kamatcsökkentést vár.
• Púpos: a kamatok az első néhány évben emelkednek, aztán visszaesnek.

Az ábra egy sima, háromparaméteres (folytonos kamatozású) azonnali görbét rajzol 0-tól 30 évig, a belőle következő pillanatnyi forward görbével együtt. A szint az a hosszú távú kamat, amelyhez a görbe beáll, a meredekség azt adja meg, mennyivel van a rövid vég e szint alatt (negatív) vagy fölött (pozitív), a púp pedig a középső lejáratoknál ad egy kidudorodást. A kijelzők a 2, 10 és 30 éves azonnali kamatlábat és a 10 éves mínusz 2 éves különbözetet mutatják. Alapbeállításban a görbe emelkedő: 2 évre kb. 3,00%, 10 évre 3,79%, 30 évre 3,93%, a különbözet kb. 79 bázispont, és a forward görbe az azonnali fölött fut. Tedd pozitívvá a meredekséget, hogy a görbe inverz legyen, és figyeld meg, hogy a forward görbe az azonnali alá kerül; a meredekséget és a púpot 0-ra állítva a két görbe egybeesik.

Összefoglalás

• Az $r(t)$ azonnali kamatláb a $t$-ig tartó zérókuponos hitel kamata; folytonos kamatozással a diszkontfaktor $e^{-r(t)t}$.
• A kuponos kötvényt úgy árazzuk, hogy minden pénzáramlását a saját időpontjához tartozó azonnali kamatlábbal diszkontáljuk; lejáratig számított hozama ezek keveréke.
• A bootstrapping a kuponos kötvények árából lejáratról lejáratra nyeri ki a diszkontfaktorokat.
• Az arbitrázsmentességből $f(t_1,t_2) = (r_2t_2 - r_1t_1)/(t_2 - t_1)$; a forward görbe ott van az azonnali fölött, ahol az emelkedik, és ott alatta, ahol csökken.