A bid–ask spread mérése és felbontása

„A limitáras ajánlati könyv” a spreadet a legjobb ask és a legjobb bid különbségeként definiálta, „A Glosten–Milgrom-modell” pedig megmutatta, miért kell a market makernek (árjegyzőnek, aki folyamatosan vételi és eladási jegyzést tart a könyvben) elég szélesre szabnia, hogy fedezze a jobban informált kereskedőkkel szembeni veszteségeit. A kutatók és a felügyeletek azonban gyakran csak a kötési árak listáját látják, a mögöttük álló jegyzések nélkül. Ez a lecke megmutatja, mennyi nyerhető vissza a spreadből pusztán a kötési árakból, miért torzított ez a becslés informált kereskedés mellett, és hogyan bontható a spread arra, amiért fizetnek érte.

Végig centben számolunk; $m_t$ a hatékony ár (az eszköz értéke mindazt figyelembe véve, amit a piac a $t$-edik kötésig megtudott), $S$ a teljes bid–ask spread, $Q_t$ pedig a $t$-edik kötés iránya: $Q_t = +1$, ha vevő kezdeményezte az ask áron, és $Q_t = -1$, ha eladó a bid áron.

Háromféle spread

A jegyzett spread a legjobb ask ($a$) és a legjobb bid ($b$) különbsége egy adott pillanatban. Azt mutatja, mennyibe kerülne egy oda-vissza kötés annak, aki egyszerre vesz és elad egy darabot.

Az effektív spread azt méri, mennyibe került egy tényleges kötés. Ha a $p_t$ áron létrejött kötés pillanatában a jegyzések középára $m$, akkor

Egy egycentes fél spread mellett az ask áron vett kötés effektív spreadje két cent, ugyanannyi, mint a jegyzett spread; a jegyzéseken belül létrejött kötésé kisebb.

A realizált spread azt kérdezi, mennyit tart meg ebből a market maker, miután az árnak volt ideje reagálni. Egy $h$ időtávval (például öt perccel) a kötési árat a táv végén érvényes középárral veti össze:

Ha a középár a kötés irányába mozdul, ahogy informált vételek után szokott, a realizált spread kisebb az effektívnél. A különbség a kötés árhatása, a spreadnek az a része, amely a jobban informált kereskedőknél marad. Ez a lecke a táv megválasztását a definíciónál hagyja, és az effektív spreaddel, illetve csak kötési árakkal dolgozik.

Bid–ask pattogás

Tegyük fel először, hogy a kötések nem hordoznak információt. A hatékony ár véletlen bolyongás, $m_t = m_{t-1} + \varepsilon_t$, független, $\sigma^2$ szórásnégyzetű $\varepsilon_t$ sokkokkal, és minden kötés az előtte érvényes ár saját oldali jegyzésén jön létre:

Az irányok függetlenek, a vétel és az eladás egyformán valószínű. A kötési ár akkor is a bid és az ask között ugrál, ha $m_t$ alig mozdul: a vétel magasan íródik, a következő kötés az esetek felében eladás, és alacsonyan íródik. Ez a bid–ask pattogás. Egy áremelkedést így jellemzően esés követ, az egymást követő árváltozások negatívan korrelálnak.

A Roll-becslés

Írjuk fel két kötés közti árváltozást $p_t$ és $p_{t-1}$ kifejezésének különbségeként:

Vegyük a kovarianciáját az előző változással, $\Delta p_{t-1} = \varepsilon_{t-2} + \tfrac{S}{2}(Q_{t-1} - Q_{t-2})$-vel. Az $\varepsilon$ sokkok egymástól és minden mástól függetlenek, ahogy az irányok is. A két változás egyetlen közös tagja $Q_{t-1}$, amely az elsőben mínusz, a másodikban plusz előjellel szerepel. $\text{Var}(Q) = 1$ mellett:

A spreadre megoldva kapjuk a Roll-becslést, amelyhez a kötési árak sorozatán kívül semmi sem kell:

Mintában a kovarianciát becsüljük, és a zaj miatt pozitív is lehet. Ekkor a négyzetgyöknek nincs valós értéke: a Roll-becslés erre a mintára nem értelmezett. Ez leggyakrabban rövid vagy volatilis mintákban fordul elő, és már önmagában jelzi, hogy a becslésben nem lehet megbízni.

Az informált kereskedés torzítja a Roll-becslést

Most legyen minden fél spread $\alpha$ része információ. Egy vétel után a piac megtudja, hogy az eszköz valószínűleg többet ér, és a hatékony ár $\alpha\,S/2$-vel feljebb lép; eladás után lejjebb:

A kötések továbbra is $m_{t-1} \pm S/2$ áron jönnek létre, így az effektív spread továbbra is pontosan $S$. Az árváltozás viszont

mert az előző kötés ugrásából csak az $(1-\alpha)S/2$ rész fordul vissza; az $\alpha S/2$ rész az árban marad. A kovarianciaszámítást megismételve a közös tag $Q_{t-1}$, $-(1-\alpha)S/2$ és $S/2$ együtthatóval:

A Roll-becslés tehát $S\sqrt{1-\alpha}$-hoz tart, a valódi spread alá, miközben az effektív spread nem változik. Minél informáltabb a megbízásáramlás, annál nagyobb része a spreadnek tartós árváltozás, nem pattogás, és annál kevesebbet lát belőle a Roll-becslés.

A spread felbontása

Ha minden kötés iránya ismert (a jegyzésekből vagy a kötések vételre és eladásra sorolásával), a két rész szétválasztható. Írjuk át az árváltozást $\Delta Q_t = Q_t - Q_{t-1}$ segítségével:

Ez a kétváltozós Huang–Stoll-regresszió: $\Delta p_t = \beta_1\,\Delta Q_t + \beta_2\,Q_{t-1} + e_t$. A legkisebb négyzetek módszere $\beta_1 = S/2$-t, a fél spreadet, és $\beta_2 = \alpha S/2$-t, a fél spread tartóssá váló részét becsüli. Hányadosuk a kedvezőtlen kiválasztás aránya:

A fennmaradó $1 - \alpha$ rész a megbízáskezelést és a készlettartás kockázatát fizeti meg. Ez a modell a kettőt nem választja szét; gazdagabb, háromtagú változatai külön tagot vesznek fel arra, ahogy a market maker készlete a jegyzéseket módosítja.

Mintanagyság

A fenti becslések mind mintaátlagok, így a nagy számok törvénye miatt konvergálnak, „A nagy számok törvénye és a centrális határeloszlás-tétel” pedig azt is megmondja, milyen gyorsan: a hibájuk a kötések számával $1/\sqrt{n}$ ütemben csökken. A hatékony ár volatilitása zajt ad hozzá, de a spreadről nem hordoz információt, ugyanúgy, ahogy a volatilitás a „Hozamok és volatilitás” leckében nehezen becsülhetővé teszi az átlagos hozamot. Egy 120 kötéses nap durva választ ad, több ezer kötés stabilat.

Az ábra ezt a piacot szimulálja 120, 1000 vagy 10 000 kötéssel, felrajzolja az első 120 kötést rejtett hatékony árral, és minden árváltozást az előző függvényében ábrázol a legkisebb négyzetes egyenessel. Indulj az alapbeállításból: 10 centes spread, $\alpha = 0{,}35$ és kötésenként 2{,}5 cent hatékonyár-volatilitás. 120 kötésnél a Roll-becslés 9{,}66 cent, ami a véletlen folytán, nem a módszer érdeméből van közel a 10 centhez, a Huang–Stoll-féle $\hat\alpha$ pedig 27{,}9%. Válts 10 000 kötésre: a Roll-becslés 8{,}28 centre áll be, közel a 8{,}06 centes határértékhez és 17{,}2%-kal a valódi spread alatt, $\hat\alpha$ 34{,}6%-ra mozdul, az effektív spread pedig végig 10 cent. Ezután állítsd $\alpha$-t 0-ra, és figyeld, ahogy a rés bezárul, majd növeld a volatilitást, és nézd, mennyit ugrál a 120 kötéses becslés.

A Roll-becsléshez elég az ár, de csak a spread átmeneti részét látja. Az effektív spreadhez kellenek a jegyzések, és a teljes spreadet látja. A kettő közti rés az informált kereskedés mértéke.

Összefoglalás

• A jegyzett spread $a - b$, egy kötés effektív spreadje $2|p_t - m|$, a realizált spread, $2Q_t(p_t - m_{t+h})$, pedig az, amit a market maker egy $h$ táv után megtart.
• A kötések a bid és az ask között pattognak, így az egymást követő árváltozások kovarianciája $-S^2/4$, és a Roll-becslés $S = 2\sqrt{-\text{cov}}$; pozitív mintabeli kovariancia esetén nem értelmezett.
• Ha minden fél spread $\alpha$ része információ, a kovariancia $-(1-\alpha)S^2/4$-re zsugorodik, és a Roll-becslés $S\sqrt{1-\alpha}$-hoz tart, miközben az effektív spread $S$ marad.
• Ismert kötési irányokkal a Huang–Stoll-regresszió a $\beta_1$ fél spreadet és a $\beta_2/\beta_1$ kedvezőtlenkiválasztás-arányt becsüli.
• A néhány száz kötésből számolt becslések zajosak; a hibájuk $1/\sqrt{n}$ ütemben csökken.