Optimális jegyzés: az Avellaneda–Stoikov-modell

10. lecke / 111 perc

A „Készletkockázat és a jegyzések eltolása” lecke amellett érvelt, hogy a túl sok eszközt tartó market maker (árjegyző) mindkét jegyzését lejjebb teszi, és a spreadnek tükröznie kell a vállalt kockázatot. Ez a lecke egyetlen szabállyá fogja össze az érvelést. Avellaneda és Stoikov a „Kockázatkerülés és az optimális teljes portfólió” leckéből ismert hasznossági függvényből indul ki, és maximalizáltatja a market makerrel. Eredményül egy rezervációs árat kapunk, ez adja az eltolást, és egy spreadet, ez adja a szélességet. Az elsőt a nulláról levezetjük, a másodikat kimondjuk, és vázoljuk, honnan jön.

Felépítés

A mid ár a „Véletlen bolyongás és Brown-mozgás” leckében megismert Brown-mozgást követi drift nélkül: $dS_t = \sigma\,dW_t$ . A market makernek $x$ készpénze és $q$ db eszköze van (negatív, ha short), és a $T$ horizontig kereskedik. A végén $x + qS_T$ az értéke, és ezt exponenciális hasznossággal értékeli:

U = -e^{-\gamma\,(x + q S_T)},\qquad \gamma > 0.

A $\gamma$ a market maker kockázatkerülése. A jegyzéseit a mid-től mért távolságként választja meg: a vételi jegyzés $S - \delta^b$ , az eladási $S + \delta^a$ . A $\delta$ távolságra lévő jegyzés teljesülési üteme időegységenként $\lambda(\delta) = A\,e^{-k\delta}$ , ahogy a „Market makerek és a likviditás” leckében: minél közelebb van a jegyzés, annál gyakrabban köt. Nagyobb $k$ azt jelenti, hogy a teljesülések gyorsabban ritkulnak a távolsággal.

A rezervációs ár

Tegyük fel, hogy a market maker $T$ -ig egyáltalán nem kereskedik. Ha $\tau = T - t$ a hátralévő idő, akkor $S_T = S + \sigma\sqrt{\tau}\,Z$ standard normális $Z$ -vel, és mivel $E[e^{cZ}] = e^{c^2/2}$ ,

E\bigl[-e^{-\gamma(x + qS_T)}\bigr] = -e^{-\gamma(x + qS)}\;e^{\gamma^2 q^2\sigma^2\tau/2}.

Az utolsó tényező a pozíció szórásáért fizetett büntetés. Kérdezzük meg, mekkora $r^b$ ár mellett közömbös a market maker eggyel több eszköz megvételére. A vétel után a készpénz $x - r^b$ , a készlet $q+1$ , tehát az egyenlő hasznossághoz egyenlő kitevők kellenek:

-\gamma\,(x - r^b + (q+1)S) + \tfrac12\gamma^2 (q+1)^2\sigma^2\tau = -\gamma\,(x + qS) + \tfrac12\gamma^2 q^2\sigma^2\tau.

Mivel $(q+1)^2 - q^2 = 2q + 1$ , ebből adódik az alábbi közömbösségi vételi ár. Ugyanígy egy eszköz eladására, $x + r^a$ készpénzzel és $q - 1$ készlettel, a közömbösségi eladási ár jön ki:

r^b = S - \frac{(1 + 2q)\,\gamma\sigma^2\tau}{2},\qquad r^a = S + \frac{(1 - 2q)\,\gamma\sigma^2\tau}{2}.

Az átlaguk a rezervációs ár:

r = S - q\,\gamma\,\sigma^2\,(T - t).

Készlet nélkül a rezervációs ár a mid. A long market maker ( $q > 0$ ) a mid alatt értékeli az eszközt, mert minden további darab szórást ad egy amúgy is túl nagy pozícióhoz; a short market maker fölötte. Az eltolás arányos a készlettel, a kockázatkerüléssel, a varianciával és a hátralévő idővel.

Az optimális spread

A rezervációs ár megmondja, hol legyen a jegyzések középpontja. A spread külön döntés, mert most minden oldalon két dolgot kell mérlegelni: a mid-től távoli jegyzés teljesülésenként többet hoz, de ritkábban teljesül. A value function felírása és a dinamikus programozás a feladat Hamilton–Jacobi–Bellman-egyenletét adja. Ezt itt nem vezetjük le. Avellaneda és Stoikov megmutatják, hogy elsőrendben az optimális távolságok az eladási oldalon $\delta^a = r^a - S + \tfrac1\gamma\ln(1 + \gamma/k)$ , a vételin ennek tükörképe, a teljes spread pedig

\delta^a + \delta^b = \gamma\,\sigma^2\,(T - t) + \frac{2}{\gamma}\ln\!\Bigl(1 + \frac{\gamma}{k}\Bigr).

Ez a cikk közelítése, nem pontos megoldás, de abban a tartományban pontos, ahol a modellt használják. Mindkét tagnak megvan a jelentése.

Az első tag, $\gamma\sigma^2(T-t)$ , a készletkockázat ára: nő a kockázatkerüléssel, a varianciával és a pozíció tartásának hátralévő idejével, a horizonton pedig eltűnik.
A második tag, $\tfrac{2}{\gamma}\ln(1 + \gamma/k)$ , a teljesülési ütemből jön. Ha $\gamma \to 0$ , $2/k$ -hoz tart, ami a kockázatsemleges market maker spreadje, aki egyszerűen a $2\delta A e^{-k\delta}$ bevételt maximalizálja: a „Kedvezőtlen kiválasztás és informált kereskedés” leckében szereplő $1/k$ féltávolság, amikor minden ügyfél zajkereskedő.

A jegyzések

A market maker a spreadet a rezervációs ár köré teszi, nem a mid köré:

b = r - \tfrac12(\delta^a + \delta^b),\qquad a = r + \tfrac12(\delta^a + \delta^b).

A long market maker mindkét jegyzése így lejjebb van, mint egy nulla készletűé: az eladási jegyzés olcsó, tehát valószínűleg teljesül, a vételi alacsony, tehát valószínűleg nem, ez az előző lecke eltolása, most már mértékkel. A horizont közeledtével, $T - t \to 0$ , a rezervációs ár készletfüggő tagja és a spread első tagja is zsugorodik: a rezervációs ár visszatér a mid-hez, a spread pedig a teljesülési tagjához.

Kidolgozott példa

Jegyzések a nap közepén

Legyen $\gamma = 0{,}1$ , $\sigma = 2$ , $k = 1{,}5$ , a mid $S = 100$ , $T - t = 0{,}5$ és a készlet $q = 6$ db. A készlet okozta eltolás:
$\displaystyle q\gamma\sigma^2(T-t) = 6 \cdot 0{,}1 \cdot 4 \cdot 0{,}5$ 1,2
A rezervációs ár a mid mínusz az eltolás:
$\displaystyle r = 100 - 1{,}2$ 98,8
A spread készletkockázati tagja:
$\displaystyle \gamma\sigma^2(T-t) = 0{,}1 \cdot 4 \cdot 0{,}5$ 0,2
A spread teljesülési tagja:
$\displaystyle \tfrac{2}{0{,}1}\ln(1 + 0{,}1/1{,}5) = 20 \cdot 0{,}064539$ 1,2908
A teljes spread az összegük:
$\displaystyle 0{,}2 + 1{,}2908$ 1,4908
A vételi jegyzés fél spreaddel van a rezervációs ár alatt:
$\displaystyle b = 98{,}8 - 0{,}7454$ 98,0546
Az eladási jegyzés fél spreaddel fölötte van, jóval lejjebb a 100,75-nél, amit egy nulla készletű market maker jegyezne:
$\displaystyle a = 98{,}8 + 0{,}7454$ 99,5454
A zárásnál, $T - t = 0$ , a spread csak a teljesülési tag. $\gamma = 0{,}5$ mellett:
$\displaystyle \tfrac{2}{0{,}5}\ln(1 + 0{,}5/1{,}5)$ 1,1507

A kockázatkerülés hatása

Kézenfekvő azt gondolni, hogy a kockázatkerülőbb market maker mindig szélesebben jegyez. A két tag mást mutat. A nap elején az első tag dominál, és nő $\gamma$ -val. A zárás közelében eltűnik, és a második tag, $\tfrac{2}{\gamma}\ln(1+\gamma/k)$ , $\gamma$ -ban csökkenő. A fenti zárásnál $\gamma = 0{,}1$ spreadje 1,2908, $\gamma = 0{,}5$ -é 1,1507: a kockázatkerülőbb szűkebb. Aki fél a készlettől, kereskedni akar, és a vége felé már nincs ideje, hogy kárt szenvedjen, ezért a mid közelében jegyez, hogy teljesüljön.

Az ábra egy ároszlopon mutatja a jegyzéseket, és a teljes spreadet a hátralévő idő függvényében három $\gamma$ -értékre. Állítsd a készletet 0-ra, és mozgasd a napi órát: a rezervációs ár a mid-en van, a jegyzések szimmetrikusak. Húzd a készletet $-10$ -re, és a jegyzések följebb tolódnak. Az alapértékeknél (készlet 6, a nap fele, $\gamma = 0{,}1$ ) a rezervációs ár 98,80, a spread 1,49, a vételi jegyzés 98,05, az eladási 99,55. A nap elején a spread $\gamma = 0{,}05$ -nél 1,51, $\gamma = 0{,}2$ -nél 2,05, $\gamma = 0{,}8$ -nál 4,27. A zárásnál a sorrend megfordul: 1,31, 1,25 és 1,07.

Rezervációs ár és optimális jegyzésekMegnyitás: Avellaneda–Stoikov-modell

Készlet q6

-1010

Napi óra t (T = 1)0.50

Kockázatkerülés γ0.10

-20

Teljes spread a hátralévő idő (T − t) függvényében három γ mellett; a függőleges vonal a mostani időpont.

γ = 0.05γ = 0.2γ = 0.8

Rezervációs ár: 98.80
Teljes spread: 1.49
Vételi jegyzés: 98.05
Eladási jegyzés: 99.55

Szimmetrikus és készletvezérelt stratégia

Avellaneda és Stoikov összeveti a fenti készletvezérelt stratégiát egy szimmetrikussal, amely ugyanazt a spreadet mindig a mid köré teszi, a készletet figyelmen kívül hagyva. Szimulációikban a szimmetrikus market maker átlagosan valamivel többet keres, mert egyetlen teljesülésről sem mond le a pozíció kezelése miatt. De a készlete szabadon bolyong, így a végső nyeresége napról napra sokkal jobban ingadozik. A készletvezérelt stratégia egy kis nyereségről lemond a variancia nagy csökkenéséért, és ezt akarja egy ilyen hasznosságú, kockázatkerülő market maker.

A modell állandó $\sigma$ -t, sima exponenciális teljesülési ütemet és informált ügyfelek hiányát tételezi fel. Az utolsó valódi egyszerűsítés: velük a teljesülési tagnak szélesebbnek kellene lennie, ahogy a „Kedvezőtlen kiválasztás és informált kereskedés” leckében.

Összefoglalás

A market maker hasznossága exponenciális, a mid $\sigma$ volatilitású Brown-mozgás, a teljesülések üteme a mid-től mért $\delta$ távolságon $A e^{-k\delta}$ .
A $r = S - q\gamma\sigma^2(T-t)$ rezervációs ár azon árak átlaga, amelyeken a market maker közömbös eggyel több eszköz vételére vagy eladására.
A teljes spread elsőrendben $\gamma\sigma^2(T-t) + \tfrac{2}{\gamma}\ln(1+\gamma/k)$ : készletkockázati és teljesülési tag összege.
A jegyzések $r$ körül fél-fél spreadre vannak: a long market maker mindkettőt a mid alá viszi, és mindkét hatás a zárás felé elhalványul.
A nagyobb kockázatkerülés a nap elején szélesíti, a zárásnál szűkíti a spreadet, és a készletvezérelt stratégia az átlagos nyereség egy részét adja a jóval kisebb varianciáért.

2 kérdés ehhez a leckéhez a sorozat végén

Optimális jegyzés: az Avellaneda–Stoikov-modell

10. lecke / 111 perc

Felépítés

U = -e^{-\gamma\,(x + q S_T)},\qquad \gamma > 0.

A rezervációs ár

E\bigl[-e^{-\gamma(x + qS_T)}\bigr] = -e^{-\gamma(x + qS)}\;e^{\gamma^2 q^2\sigma^2\tau/2}.

-\gamma\,(x - r^b + (q+1)S) + \tfrac12\gamma^2 (q+1)^2\sigma^2\tau = -\gamma\,(x + qS) + \tfrac12\gamma^2 q^2\sigma^2\tau.

r^b = S - \frac{(1 + 2q)\,\gamma\sigma^2\tau}{2},\qquad r^a = S + \frac{(1 - 2q)\,\gamma\sigma^2\tau}{2}.

Az átlaguk a rezervációs ár:

r = S - q\,\gamma\,\sigma^2\,(T - t).

Az optimális spread

\delta^a + \delta^b = \gamma\,\sigma^2\,(T - t) + \frac{2}{\gamma}\ln\!\Bigl(1 + \frac{\gamma}{k}\Bigr).

Ez a cikk közelítése, nem pontos megoldás, de abban a tartományban pontos, ahol a modellt használják. Mindkét tagnak megvan a jelentése.

Az első tag, $\gamma\sigma^2(T-t)$ , a készletkockázat ára: nő a kockázatkerüléssel, a varianciával és a pozíció tartásának hátralévő idejével, a horizonton pedig eltűnik.
A második tag, $\tfrac{2}{\gamma}\ln(1 + \gamma/k)$ , a teljesülési ütemből jön. Ha $\gamma \to 0$ , $2/k$ -hoz tart, ami a kockázatsemleges market maker spreadje, aki egyszerűen a $2\delta A e^{-k\delta}$ bevételt maximalizálja: a „Kedvezőtlen kiválasztás és informált kereskedés” leckében szereplő $1/k$ féltávolság, amikor minden ügyfél zajkereskedő.

A jegyzések

A market maker a spreadet a rezervációs ár köré teszi, nem a mid köré:

b = r - \tfrac12(\delta^a + \delta^b),\qquad a = r + \tfrac12(\delta^a + \delta^b).

Kidolgozott példa

Jegyzések a nap közepén

Legyen $\gamma = 0{,}1$ , $\sigma = 2$ , $k = 1{,}5$ , a mid $S = 100$ , $T - t = 0{,}5$ és a készlet $q = 6$ db. A készlet okozta eltolás:
$\displaystyle q\gamma\sigma^2(T-t) = 6 \cdot 0{,}1 \cdot 4 \cdot 0{,}5$ 1,2
A rezervációs ár a mid mínusz az eltolás:
$\displaystyle r = 100 - 1{,}2$ 98,8
A spread készletkockázati tagja:
$\displaystyle \gamma\sigma^2(T-t) = 0{,}1 \cdot 4 \cdot 0{,}5$ 0,2
A spread teljesülési tagja:
$\displaystyle \tfrac{2}{0{,}1}\ln(1 + 0{,}1/1{,}5) = 20 \cdot 0{,}064539$ 1,2908
A teljes spread az összegük:
$\displaystyle 0{,}2 + 1{,}2908$ 1,4908
A vételi jegyzés fél spreaddel van a rezervációs ár alatt:
$\displaystyle b = 98{,}8 - 0{,}7454$ 98,0546
Az eladási jegyzés fél spreaddel fölötte van, jóval lejjebb a 100,75-nél, amit egy nulla készletű market maker jegyezne:
$\displaystyle a = 98{,}8 + 0{,}7454$ 99,5454
A zárásnál, $T - t = 0$ , a spread csak a teljesülési tag. $\gamma = 0{,}5$ mellett:
$\displaystyle \tfrac{2}{0{,}5}\ln(1 + 0{,}5/1{,}5)$ 1,1507

A kockázatkerülés hatása

Rezervációs ár és optimális jegyzésekMegnyitás: Avellaneda–Stoikov-modell

Készlet q6

-1010

Napi óra t (T = 1)0.50

Kockázatkerülés γ0.10

-20

Teljes spread a hátralévő idő (T − t) függvényében három γ mellett; a függőleges vonal a mostani időpont.

γ = 0.05γ = 0.2γ = 0.8

Rezervációs ár: 98.80
Teljes spread: 1.49
Vételi jegyzés: 98.05
Eladási jegyzés: 99.55

Szimmetrikus és készletvezérelt stratégia

Összefoglalás

A market maker hasznossága exponenciális, a mid $\sigma$ volatilitású Brown-mozgás, a teljesülések üteme a mid-től mért $\delta$ távolságon $A e^{-k\delta}$ .
A $r = S - q\gamma\sigma^2(T-t)$ rezervációs ár azon árak átlaga, amelyeken a market maker közömbös eggyel több eszköz vételére vagy eladására.
A teljes spread elsőrendben $\gamma\sigma^2(T-t) + \tfrac{2}{\gamma}\ln(1+\gamma/k)$ : készletkockázati és teljesülési tag összege.
A jegyzések $r$ körül fél-fél spreadre vannak: a long market maker mindkettőt a mid alá viszi, és mindkét hatás a zárás felé elhalványul.
A nagyobb kockázatkerülés a nap elején szélesíti, a zárásnál szűkíti a spreadet, és a készletvezérelt stratégia az átlagos nyereség egy részét adja a jóval kisebb varianciáért.

2 kérdés ehhez a leckéhez a sorozat végén