Diverzifikáció és korreláció

A „Hozamok és volatilitás” című lecke egyetlen eszközt két számmal írt le: a $\mu$ várható hozammal és a $\sigma$ volatilitással. Ez a lecke több eszközt rak egy portfólióba. A portfólió várható hozama egyszerű átlag, a volatilitása viszont nem az: attól függ, hogyan mozognak együtt az eszközök, amit a korrelációjuk mér. Ebből fakad a diverzifikáció.

Portfóliósúlyok és portfólióhozam

Egy portfólió egy pénzösszeget oszt szét eszközök között. A $w_i$ súly az $i$-edik eszközbe fektetett pénz aránya, így a súlyok összege egy: $w_1 + \cdots + w_N = 1$. Ebben a leckében minden súly 0 és 1 közé esik, vagyis short eladást (shortolást) nem engedünk meg.

Hozamon itt az előző leckéből ismert egyperiódusos egyszerű hozamot értjük, $R = S_1/S_0 - 1$. Egyszerű hozamokkal a portfólió hozama pontosan az eszközhozamok súlyozott átlaga, hiszen a pénz minden része a saját tényezőjével nő:

A loghozamokra ez nem teljesül pontosan, ezért dolgozik a portfólióelmélet egyszerű hozamokkal. Összeg várható értéke a várható értékek összege, így a portfólió várható hozama ugyanez a súlyozott átlag:

Kovariancia és korreláció

Két hozam együttmozgását a kovariancia írja le:

Pozitív, ha a két hozam jellemzően egyszerre van a várható értéke fölött, és negatív, ha az egyik jellemzően akkor magas, amikor a másik alacsony. Nagysága függ a mértékegységektől és a volatilitásoktól, ezért normáljuk, és így kapjuk a korrelációt:

$\rho = 1$ esetén a két hozam pontosan együtt mozog (az egyik a másik pozitív lineáris függvénye), $\rho = -1$ esetén pontosan ellentétesen, $\rho = 0$ esetén pedig nincs köztük lineáris kapcsolat. Egy eszköz önmagával vett kovarianciája a varianciája: $\sigma_{AA} = \sigma_A^2$.

Kéteszközös portfólió varianciája

Vegyünk két eszközt, A-t és B-t, $w_A = 1 - w$ és $w_B = w$ súlyokkal. Két valószínűségi változó összegének varianciája a varianciák összege plusz a kovariancia kétszerese, a konstans szorzók pedig négyzetesen jönnek ki:

Az első két tag az egyes eszközök saját kockázata. A harmadik tagban jelenik meg a korreláció. Minden mást rögzítve kisebb $\rho$ kisebb portfólióvarianciát ad.

A korreláció három esete

$\rho = 1$ esetén a kifejezés teljes négyzet:

A volatilitás ekkor a két volatilitás súlyozott átlaga, éppúgy, mint a várható hozam. A keverés semmilyen kockázatcsökkenést nem hoz.

$\rho < 1$ esetén a vegyes tag kisebb, mint a teljes négyzetnél, ezért

A portfólió kevésbé kockázatos, mint a részei átlaga, a várható hozama viszont továbbra is az átlag. Ez a különbség a diverzifikáció haszna.

$\rho = -1$ esetén a kifejezés ismét négyzet, $\sigma_p = |w_A\sigma_A - w_B\sigma_B|$, és ez nulla, ha $w_A\sigma_A = w_B\sigma_B$, vagyis $w_B = \sigma_A/(\sigma_A + \sigma_B)$ mellett. Két tökéletesen ellentétes eszközből kockázatmentes portfólió rakható össze. Jó kép erre egy esernyőárus és egy fagylaltos ugyanazon a strandon: bármilyen is az idő, egyiküknek jó napja van.

A minimális varianciájú portfólió

A és B összes keveréke közül van egy, amelynek a legkisebb a varianciája. Írjuk fel $\sigma_p^2$-et $w = w_B$ függvényeként, és tegyük a deriváltját nullával egyenlővé:

A $w$-s tagokat összegyűjtve kapjuk a minimális varianciájú súlyt:

Ha a képlet $[0, 1]$-en kívüli értéket ad, akkor short eladás nélkül a minimum a közelebbi végpontban van, vagyis egyetlen eszközben. Ez történik például $\rho = 1$ mellett, ahol a legkevésbé kockázatos választás csak a kisebb volatilitású eszközt tartani. Az alábbi két eszköznél ez minden $\rho > \sigma_A/\sigma_B = 0{,}5$ esetén így van.

Számpélda

Az A eszközre $\mu_A = 6\%$ és $\sigma_A = 15\%$, a B eszközre $\mu_B = 12\%$ és $\sigma_B = 30\%$, a korreláció $\rho = 0{,}2$. A kovariancia $\sigma_{AB} = 0{,}2 \times 0{,}15 \times 0{,}30 = 0{,}009$.

Az 50/50-es portfólióra $\mu_p = 9\%$ és

A volatilitások súlyozott átlaga $22{,}5\%$, vagyis a diverzifikáció kb. 4,4 százalékpontnyi volatilitást tüntet el anélkül, hogy a várható hozamból bármit feladnánk.

A minimális varianciájú súly

Ennek a portfóliónak $\mu_p \approx 6{,}86\%$ és $\sigma_p \approx 14{,}34\%$. Ha az A-hoz egy kevés kockázatosabb B-t keverünk, a volatilitás az A önmagában vett volatilitása alá csökken, miközben a várható hozam nő.

Az ábra A és B összes, 0 és 1 közötti súlyú keverékét mutatja a várható hozam és a volatilitás síkján, a választott korreláció mellett (vastag görbe). A szaggatott egyenes a $\rho = 1$, a pontozott V alak a $\rho = -1$ esete; jelölők mutatják A-t és B-t. Mozgasd a korreláció csúszkáját, és figyeld meg, hogy $\rho$ csökkenésével a görbe egyre jobban balra hajlik, $\rho = -1$-nél pedig eléri a függőleges tengelyt. A kijelzők a minimális varianciájú súlyt B-ben, a minimális volatilitást, az 50/50-es portfólió volatilitását és várható hozamát, valamint összehasonlításként a két volatilitás 22,5%-os átlagát mutatják. $\rho = 0{,}5$ fölött a súly kijelzője negatívba fordul, a kijelzett minimális volatilitás pedig ilyenkor az A eszközé önmagában.

Sok eszköz és a szisztematikus kockázat

Vegyünk most $N$ eszközt egyenlő, $w_i = 1/N$ súllyal. A portfólió varianciája az összes páron vett összeg:

$N$ darab variancia- és $N(N-1)$ darab kovarianciatag van. Jelölje $\overline{\sigma^2}$ az átlagos varianciát, $\overline{\sigma}_{ij}$ pedig a különböző eszközök közötti átlagos kovarianciát. Ekkor

Az egyedi varianciák kidiverzifikálódnak, az átlagos kovariancia viszont megmarad. Példa: minden eszközre $\sigma = 30\%$, minden párra $\rho = 0{,}3$, így $\overline{\sigma}_{ij} = 0{,}3 \times 0{,}09 = 0{,}027$. Egy eszköz volatilitása 30%, tíz eszközé kb. 18,2%, száz eszközé kb. 16,6%, a határérték pedig $\sqrt{0{,}027} \approx 16{,}4\%$.

Az egyes eszközökre jellemző egyedi kockázat egy nagy portfólióban eltűnik. A közös mozgásokból eredő, az átlagos kovarianciával mért kockázat megmarad. Ezt a megmaradó részt szisztematikus (piaci) kockázatnak nevezzük.

A két eszköz mozgatása

Az alábbi ábrán te helyezed el a két eszközt. Húzd az A vagy a B pontot a kockázat–hozam sík bármely pontjára, és válassz korrelációt. $\rho = 0{,}9$ mellett a keverékek a két pontot összekötő egyenes közelében maradnak, a keverés alig csökkenti a kockázatot. $\rho = -0{,}5$ mellett a görbe mindkét eszköztől messze balra hajlik. Húzd B-t egyenesen felfelé: a minimális varianciájú súly nem változik, mert csak a volatilitásoktól és a korrelációtól függ, a várható hozamoktól nem.

Összefoglalás

• A portfólió hozama az eszközhozamok súlyozott átlaga: $\mu_p = \sum_i w_i\mu_i$.
• A portfólió varianciája a kovarianciáktól függ: $\sigma_p^2 = w_A^2\sigma_A^2 + w_B^2\sigma_B^2 + 2w_Aw_B\rho\sigma_A\sigma_B$.
• $\rho = 1$ mellett a volatilitás a súlyozott átlag, $\rho < 1$ mellett kisebb annál, $\rho = -1$ mellett akár nulla is lehet.
• A minimális varianciájú súly $w_B^{*} = (\sigma_A^2 - \sigma_{AB})/(\sigma_A^2 + \sigma_B^2 - 2\sigma_{AB})$.
• Nagy, egyenlő súlyú portfólióban a variancia az átlagos kovarianciához tart: a szisztematikus kockázat nem diverzifikálható.

A következő lecke („Hatékony front és tőkepiaci egyenes”) megengedi a short eladást, bevezet egy kockázatmentes eszközt, és azt vizsgálja, melyik portfóliót érdemes ezek közül ténylegesen választani.