A Brown-híd

Ez a lecke a mindkét végén rögzített Brown-mozgást vizsgálja: a Brown-hidat. A „A Brown-mozgás tulajdonságai” (a Gauss-jellemzés és a $\min(s, t)$ kovariancia) és a „Feltételes várható érték és martingálok” (együttesen Gauss-eloszlású változók feltételezése) leckékre épít. A híd a megfelelő eszköz mindig, amikor a pálya értéke egy későbbi időpontban ismert: kitölti a szimulációt két megmintázott pont között, és megméri annak esélyét, hogy a pálya két rácspont között átlépett egy szintet — ez a „A tükrözési elv és az első elérési idők” leckében nyitva hagyott „rejtett átlépés”.

Definíció és konstrukció

Legyen $W$ standard Brown-mozgás. Egy $b$ célvégponthoz definiáljuk a $[0, 1]$-en értelmezett folyamatot

A végpontokon $B_0 = 0$ és $B_1 = W_1 - W_1 + b = b$, tehát a pálya a $t = 1$ időpontban $b$-hez van kötve. A $b = 0$ speciális eset a standard Brown-híd $B^0_t = W_t - t\,W_1$, az általános híd pedig $B_t = B^0_t + t\,b$: egy standard híd, amelyhez hozzáadjuk a $t \mapsto t\,b$ egyenest. Minden $B_t$ a $(W_s)$ Gauss-vektor lineáris kombinációja, így $B$ ismét Gauss-folyamat, amelyet a várható értéke és a kovarianciája meghatároz.

A $[0, 1]$-en 0-tól $b$-ig futó Brown-híd $B_t = W_t - t\,W_1 + t\,b$. Ez az a folytonos Gauss-pálya, amelyre $B_0 = 0$, $B_1 = b$, a $t\,b$ egyenes felé húzódik, és középen a legszabadabban kalandozik.

Várható érték és kovariancia

Várható értéket véve $\mathbb{E}[B_t] = \mathbb{E}[W_t] - t\,\mathbb{E}[W_1] + t\,b = t\,b$: a várható érték a végpontokat összekötő egyenes. A kovarianciához elég a standard hidat, $B^0_t = W_t - t\,W_1$, vizsgálni, mert a determinisztikus $t\,b$ tag nem változtatja meg a második momentumokat. $\operatorname{Cov}(W_s, W_t) = \min(s, t)$ felhasználásával $s \le t$ esetén

$s = t$ esetén a szórásnégyzet $\operatorname{Var}(B_t) = t\,(1 - t)$, egy parabola, amely mindkét végen nulla és a felezőpontban a legnagyobb, ahol $\operatorname{Var}(B_{1/2}) = 1/4$. A hídnak a végpontokban nincs szabadsága, középen a legtöbb; ez a jellegzetes alakja az ábra szórássávjainak.

A híd mint feltételezett Brown-mozgás

A konstrukció nem véletlen: a híd pontosan a végpontjára feltételezett Brown-mozgás. A $(W_t, W_1)$ pár együttesen Gauss-eloszlású, $\operatorname{Cov}(W_t, W_1) = t$ és $\operatorname{Var}(W_1) = 1$. A Gauss-feltételezési formula adja

Ezek pontosan $B_t$ várható értéke és szórásnégyzete. A teljes kovariancia rövid számolása megerősíti, hogy az egész feltételezett folyamat, $(W_t \mid W_1 = b)$, eloszlása megegyezik $B$-ével. Egy második tény teszi tisztává a felbontást: $B^0_t = W_t - t\,W_1$ független $W_1$-től, mert együttesen Gauss-eloszlásúak és

Így a Brown-mozgás két független részre bomlik — egy hídra, amely nem törődik a végponttal, és magára a végpontra:

Egy finom rácson vett Brown-pálya szimulálásához tehát először meghúzható a végpont, $W_1 \sim N(0, 1)$, majd a belső rész kitölthető egy független standard híddal. Ezt minden megmintázott időpontpár között megismételve kapjuk azt a rekurzív finomítást, amellyel egyre finomabb felbontású Brown-pályák állíthatók elő.

A rejtett átlépés valószínűsége

A tükrözési leckében láttuk, hogy a csak rácspontokban vett szimulált maximum nem veszi észre a pontok közötti átlépéseket. A híd pontosan megmondja, milyen gyakran fordul ez elő. Tegyük fel, hogy egy pályát egy $\Delta$ hosszúságú intervallum végein figyelünk meg, $w_0$ és $w_1$ értékekkel. Ezekre feltételezve a közbenső pálya Brown-híd, és annak valószínűsége, hogy valahol belül felemelkedik egy $a \ge \max(w_0, w_1)$ szintre, a hídra alkalmazott tükrözési érveléssel

A $w_0 = w_1 = 0$ pontokban $[0, 1]$-en rögzített standard hídra ez $\mathbb{P}(\max B^0 \ge a) = e^{-2a^2}$, ami sokkal gyorsabban cseng le, mint a feltétel nélküli $2(1 - \Phi(a))$ farok, mert mindkét vég lefelé tartja a pályát. $a = 1$-nél az átlépés valószínűsége $e^{-2} \approx 0{,}1353$.

Ez a képlet a diszkréten figyelt korlátos (barrier) opciók folytonossági (Broadie–Glasserman–Kou) korrekciójának alapja: két megfigyelési időpont között az eszköz észrevétlenül átlépheti a korlátot, és minden intervallum túlélési valószínűségét $1 - e^{-2(a - w_0)(a - w_1)/\Delta}$-val szorozva visszakapjuk a folytonosan figyelt árat egy durva rácsból. Egyúttal megadja a szimulált futó maximum lefelé torzítását is: a rácson éppen azok a kimaradt átlépések, amelyeket ez a valószínűség mér.

Hol jelenik meg a híd

• Pálya-szimuláció: a $W_t = B^0_t + t\,W_1$ felbontás kitölti a pályát ismert pontok között — ez a Brown-híd-mintavétel és a Monte Carlo varianciacsökkentés motorja.
• Korlátos opciók: a rejtett átlépés képlete a diszkréten figyelt korlátokat a folytonos árukra korrigálja.
• Statisztika: az empirikus eloszlásfüggvény, centrálva és skálázva, Brown-hídhoz konvergál; a Kolmogorov–Szmirnov-próba statisztikája a $|B^0|$ maximuma.
• Interpoláció: egy Gauss-folyamat megfigyelt értékekre való feltételezése ugyanaz a művelet, amely a Gauss-folyamat-regresszió és a spline-simítás mögött áll.

Összefoglalás

• A 0-tól $b$-ig futó Brown-híd $B_t = W_t - t\,W_1 + t\,b$, ahol $B_0 = 0$ és $B_1 = b$.
• Gauss-folyamat $t\,b$ várható értékkel és $s(1 - t)$ kovarianciával ($s \le t$); a $t(1 - t)$ szórásnégyzet a végeken nulla, a felezőpontban $1/4$.
• A híd a $W_1 = b$-re feltételezett Brown-mozgás, és $B^0_t = W_t - t\,W_1$ független $W_1$-től, ami a $W_t = B^0_t + t\,W_1$ felbontást adja.
• Egy $w_0, w_1$-re rögzített híd egy $\Delta$ hosszúságú intervallumon $\exp(-2(a - w_0)(a - w_1)/\Delta)$ valószínűséggel lépi át az $a$ szintet; ez árazza és korrigálja a rácspontok közötti korlátátlépéseket.