Teljesítménymutatók: Sharpe, Treynor, Jensen és információs ráta

Egy alap, amely tavaly 14%-ot hozott, jobban teljesített annál, amelyik 9%-ot, hacsak nem vállalt ehhez sokkal nagyobb kockázatot. Ez a lecke számokká alakítja ezt a megérzést. A „Hatékony front és tőkepiaci egyenes” tőkepiaci egyenesére, valamint a „CAPM, béta és az értékpapír-piaci egyenes” bétájára és értékpapír-piaci egyenesére építve négy szokásos, kockázattal korrigált teljesítménymutatót vezet be, és megmutatja, miért rangsorolhatják ugyanazokat az alapokat eltérő sorrendben.

Többlethozam

Minden mutató a $\mu - r_f$ többlethozamból indul: abból, amennyit a portfólió a kockázatmentes kamat fölött keresett, vagyis a kockázatvállalás jutalmából. A mutatók abban térnek el, hogy mivel osztják vagy mivel vetik össze, azaz hogy melyik kockázatért számolnak fel árat. A leckében $\mu$, $\sigma$ és $\beta$ múltbeli hozamokból becsült egyéves átlagok, a piaci index jellemzői pedig $\mu_M$ és $\sigma_M$.

A Sharpe-ráta

A Sharpe-ráta a többlethozamot a teljes szórással osztja:

A $(\sigma, \mu)$ síkon ez a kockázatmentes pontból a portfólióba húzott egyenes meredeksége. Ha egy portfólió meredekebb a tőkepiaci egyenesnél, amelynek meredeksége a piac Sharpe-rátája, akkor teljes kockázategységre vetítve legyőzte a piacot. A teljes kockázat akkor a helyes mérce, ha a befektető csak ezt a portfóliót tartja.

M²

Egy 0,44-es Sharpe-rátát nehéz átérezni. Az M² (Modigliani a négyzeten) hozammá fordítja. Keverjük a portfóliót a kockázatmentes eszközzel, amíg a szórása meg nem egyezik a piac $\sigma_M$ szórásával; ennek a keveréknek a várható hozama mínusz a piacé:

Pontosan úgy rangsorol, mint a Sharpe-ráta, csak piaci kockázat mellett elért hozam-százalékpontban.

A Treynor-ráta

Aki már jól diverzifikált portfóliót tart, annak egy alapnál az számít, mennyivel járul hozzá a portfólió kockázatához, ez pedig a bétája, nem a teljes szórása. A Treynor-ráta a többlethozamot a bétával osztja:

A $(\beta, \mu)$ síkon ez a kockázatmentes pontból az alapba húzott egyenes meredeksége. Magára a piacra $\beta = 1$, így Treynor-rátája a $\mu_M - r_f$ piaci kockázati prémium; az ennél nagyobb értékű alap szisztematikus kockázategységre vetítve legyőzte a piacot.

Jensen-alfa

A Jensen-alfa ugyanezt az összevetést hozamként fejezi ki: megmutatja, milyen messze van az alap az értékpapír-piaci egyenes fölött,

A zárójelben az a hozam áll, amelyet a CAPM az alap bétájához megkövetel, így $\alpha$ a szisztematikus kockázat által indokolt hozamon felül elért többlet. A pozitív alfájú alap Treynor-rátája egyben a piacénál nagyobb, így a két mutató mindig egyetért abban, hogy egy alap legyőzte-e a piacot, és itt ugyanabban a sorrendben is rangsorolják az alapokat.

Követési hiba és információs ráta

Az alfa nem árulja el, mekkora kockázattal érték el. Írjuk az alap hozamát a piaci hozam $\beta$-szorosának és egy attól független $\varepsilon$ maradéknak az összegeként, ahogy a CAPM-lecke egyindexes szemlélete teszi. A maradék szórása a bétához igazított indexhez mért követési hiba:

Az információs ráta az alfát ezzel osztja, $\text{IR} = \alpha / \sigma(\varepsilon)$: ez az indextől való eltéréssel vállalt kockázat egységére jutó többlethozam. Akkor számít, ha egy alapot egy referenciaindexhez mérnek, és ez dönti el, mekkora súlyt érdemel egy aktívan kezelt alap egy indexalap mellett.

A Sharpe-ráta és az M² a teljes kockázatért, a Treynor-ráta és az alfa a szisztematikus kockázatért, az információs ráta az aktív (egyedi) kockázatért számol fel árat. Hogy melyik a helyes, azon múlik, mit tart még a befektető.

Számpélda

Vegyünk négy kitalált alapot, egy $\mu_M = 10\%$ és $\sigma_M = 18\%$ jellemzőjű piaci indexet, és legyen $r_f = 3\%$:

• A: $\mu = 12\%$, $\sigma = 24\%$, $\beta = 1{,}20$.
• B: $\mu = 9\%$, $\sigma = 12\%$, $\beta = 0{,}60$.
• C: $\mu = 14\%$, $\sigma = 30\%$, $\beta = 1{,}05$.
• D: $\mu = 11\%$, $\sigma = 18\%$, $\beta = 0{,}95$.

A piac Sharpe-rátája $0{,}07/0{,}18 \approx 0{,}389$, Treynor-rátája 7%. A C alapra

az egyedi kockázata $\sqrt{0{,}09 - 1{,}05^2 \times 0{,}0324} \approx 23{,}3\%$, így $\text{IR}_C \approx 0{,}0365/0{,}233 \approx 0{,}157$. A csendes B alapra $\text{SR}_B = 0{,}06/0{,}12 = 0{,}5$, $\alpha_B = 9\% - (3\% + 0{,}6 \times 7\%) = 1{,}8\%$, az egyedi kockázat $\sqrt{0{,}0144 - 0{,}36 \times 0{,}0324} \approx 5{,}23\%$, és $\text{IR}_B \approx 0{,}344$. Mind a négy alapra elvégezve ugyanezt, ezek a rangsorok adódnak:

• Sharpe (és M²): B 0,500, D 0,444, A 0,375, C 0,367.
• Treynor és alfa: C (10,48%, 3,65%), B (10,00%, 1,80%), D (8,42%, 1,35%), A (7,50%, 0,60%).
• Információs ráta: B 0,344, D 0,240, C 0,157, A 0,057.

Most értékeljünk egy ötödik, E alapot, $\mu = 10\%$, $\sigma = 16\%$ és $\beta = 0{,}70$ értékekkel, ugyanazzal a piaccal szemben.

E 2,1%-os alfája csak C-é mögött marad, a Sharpe-rátája épp D alá sorolná, az információs rátája pedig B és D alatt van: ugyanaz az alap a mércétől függően jónak vagy átlagosnak látszik.

Miért térnek el a rangsorok

A C alapnak a legnagyobb az alfája, mégis a legkisebb a Sharpe-rátája, kisebb a piacénál is ($M^2_C \approx -0{,}40\%$). 30%-os szórásának nagy része egyedi kockázat. Ha önmagában tartják, ez a kockázat teljes egészében a befektetőt terheli, és teljes kockázategységre vetítve C rosszabbul teljesített egy indexalapnál. Ha egy nagy, diverzifikált portfólió kis szeleteként tartják, egyedi kockázata a többi befektetéssel szemben nagyrészt kioltódik, csak a bétája számít, és 3,65%-os alfája valódi nyereség. B ennek az ellentéte: szerény alfa nagyon kis egyedi kockázattal, ami a legjobb Sharpe- és információs rátát adja neki.

Ebből adódik az ökölszabály. Ha a portfólió a befektető teljes vagyona, a Sharpe-rátával vagy az M²-tel érdemes megítélni. Ha sok befektetés egyike, a Treynor-rátával vagy az alfával. Ha egy aktív alapkezelőt egy referenciaindexhez mérnek, az információs rátával.

Az ábra a négy alapot és a piacot sorolja fel. Kattints egy mutató oszlopfejlécére a szerinte való rangsoroláshoz, és figyeld, ahogy a sorok átrendeződnek. A táblázat melletti szórásdiagram arra a tengelypárra vált, amelyen az adott mutató látható: a $(\sigma, \mu)$ síkra a tőkepiaci egyenessel a Sharpe-rátánál, a $(\beta, \mu)$ síkra az értékpapír-piaci egyenessel a Treynor-rátánál és az alfánál, az információs rátánál pedig az egyedi kockázat–alfa síkra. Vidd az egeret egy alapra, és a mutatója meredekségként, az alfa esetén pedig az egyenestől mért függőleges távolságként jelenik meg. Hasonlítsd össze a C alapot a Sharpe-ráta és az alfa szerint.

A mutatók korlátai

Mind a négy mutató néhány év adataiból becsült érték, nagy mintavételi hibával: egy évi 2%-os alfa 10%-os egyedi kockázat mellett évtizedes adatsort igényel, mire statisztikailag megkülönböztethető a nullától. A béta és az alfa attól is függ, melyik indexet tekintjük piacnak. A rosszul teljesítő alapok pedig hajlamosak megszűnni és eltűnni az adatbázisokból, így a megmaradt alapok jobbnak tűnnek, mint amilyen az átlagos alap volt.

Összefoglalás

• Minden mutató a $\mu - r_f$ többlethozamból indul, és egy bizonyos fajta kockázatért számol fel árat.
• A $(\mu - r_f)/\sigma$ Sharpe-ráta és az M² a teljes kockázatot használja: önmagában tartott portfólióhoz illik.
• A $(\mu - r_f)/\beta$ Treynor-ráta és a Jensen-alfa a szisztematikus kockázatot használja: egy diverzifikált portfólió egyik eleméhez illik.
• Az $\alpha/\sigma(\varepsilon)$ információs ráta a referenciaindexhez képest vállalt aktív kockázatot árazza.
• Egy nagy alfájú, de nagy egyedi kockázatú alap az egyik mutató szerint első, egy másik szerint utolsó lehet.

A következő lecke, a „Faktormodellek és szisztematikus kockázat”, az egyetlen piaci faktort több faktorra cseréli, és a portfólió varianciáját szisztematikus és egyedi részre bontja.