Konvergenciatételek

„A Lebesgue-integrál” minden mérhető függvényhez megalkotta a $\int f \, d\mu$ integrált az értékkészlet rétegekre bontásával, és elmondta, hogy ennek az integrálnak a határértékek mellett jól kell viselkednie. A „Mérhető függvények” a másik felét adta: mérhető függvények határértéke ismét mérhető, így a $\int \lim_n f_n \, d\mu$ kifejezésnek mindig van értelme. Ami még hiányzik, az az összehasonlítás a $\lim_n \int f_n \, d\mu$ értékkel. Ez a lecke két példán megmutatja, hogy a kettő különbözhet, majd három tételt bizonyít, a monoton konvergenciát, a Fatou-lemmát és a dominált konvergenciát, amelyek megmondják, mikor egyeznek. Ezekkel sorokat integrál tagonként, és integrálokat deriválja. A pálya valószínűségi része ezeket a tételeket használja újra, valahányszor egy határértéket át kell vinni egy várható értéken.

Határértékek és integrálok

Legyenek $f_1, f_2, \ldots$ mérhető függvények egy $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ mértéktéren, amelyek minden pontban konvergálnak, $f_n(x) \to f(x)$. Ezt pontonkénti konvergenciának nevezzük. Most két számot lehet kiszámolni. Az egyik előbb integrál, és utána vesz határértéket: $\lim_n \int f_n \, d\mu$. A másik előbb vesz határértéket, és utána integrál: $\int \lim_n f_n \, d\mu = \int f \, d\mu$. A határérték és az integrál felcserélése azt jelenti, hogy e két szám egyenlő. Sok rutinszámítás szó nélkül használja ezt a cserét, például egy végtelen sor tagonkénti integrálása, ezért érdemes pontosan tudni, mikor szabad.

Nem mindig szabad. A hosszal ellátott $[0, 1]$ intervallumon vegyük a tüskét, $f_n = n \cdot \mathbf{1}_{(0, 1/n]}$-t, a $(0, 1/n]$ intervallumon álló $n$ magas oszlopot. Egy rögzített pontban, például $x = 0{,}05$-nél az értékek $f_{10}(0{,}05) = 10$ és $f_{20}(0{,}05) = 20$, majd minden $n \ge 21$ esetén $0$, mert az oszlop addigra $0{,}05$-tól balra került. Ugyanez történik minden $x > 0$ pontban, és minden $n$-re $f_n(0) = 0$, így a pontonkénti határérték a nullfüggvény. Minden tüske mégis ugyanakkora területet zár be:

Az 1 integrál nem halványul el; egyre kisebb halmazba préselődik, és a határon eltűnik. A második hiba másképp néz ki. A $[0, \infty)$ félegyenesen vegyük a szökő púpot, $f_n = \mathbf{1}_{[n, n+1]}$-t, az 1 magas és 1 széles oszlopot, amely jobbra csúszik. Minden $f_n$ integrálja 1, de egy rögzített $x$ pontot az oszlop $n > x$ után maga mögött hagy, így a pontonkénti határérték megint a nullfüggvény, a határérték integrálja pedig 0. Itt a tömeg nem préselődik össze, hanem elutazik a végtelenbe. A konvergencia labor szökő tömegről szóló oldala egy duplázós fogadást mutat, amely ugyanígy veszíti el a tömegét.

Az ábra négy sorozatra rajzolja ki $f_n$-et és a határértékét: erre a két hibára, és két olyan sorozatra, amelyeknél a csere működik, amit a következő szakaszok magyaráznak meg. A tüskével indul, $n = 5$-tel, ahol $\int f_n = 1$, a határérték integrálja pedig 0. Mozgasd $n$-et, és figyeld, hogy az első szám soha nem változik, aztán válts a levágott függvényre és a hatványra, és nézd, ahogy $f_n$ integráljai közelednek a határérték integráljához.

Pontonkénti és egyenletes konvergencia

A pontonkénti konvergencia csak azt ígéri, hogy minden pont előbb-utóbb megnyugszik; hogy ez meddig tart, függhet a ponttól. A tüskénél az $x = 0{,}05$ pontnak $n \ge 21$ kell, az $x = 0{,}001$ pontnak $n \ge 1{,}001$. Nincs olyan egyetlen $n$, amely után minden pont megnyugodna, és a tüske legnagyobb értéke, $\sup_x |f_n(x) - 0| = n$, korlátlanul nő.

Az egyenletes konvergencia egyetlen sebességet kér minden pontra: $\sup_x |f_n(x) - f(x)| \to 0$. Véges összes tömegű téren ez elég a cseréhez, mert

Szavakban: egy függvény integrálja nem lehet több, mint a legnagyobb értéke szorozva a tér összes tömegével. Példaként vegyük az $f_n(x) = x^2 + x/n$ függvényeket $[0, 1]$-en, amelyek egyenletesen tartanak $x^2$-hez, $\sup_x |f_n - f| = 1/n$-nel. Az integrálok $\int_0^1 f_n \, d\lambda = \tfrac13 + \tfrac{1}{2n}$, amelyek $\tfrac{1}{2n}$-nel térnek el $\tfrac13$-tól, bőven az $1/n$ korlát alatt; $n = 10$-nél az eltérés $0{,}05$, a korlát $0{,}1$. A $\mu(\Omega)$ tényező számít. A $[0, \infty)$ félegyenesen a $\tfrac1n \mathbf{1}_{[0, n]}$ függvények egyenletesen tartanak 0-hoz, hiszen a legnagyobb értékük $1/n$, mégis mindegyik integrálja 1.

Az egyenletes konvergencia ráadásul messze túl erős ahhoz, hogy ez lenne az egész történet. Az $x^n$ hatványok $[0, 1]$-en minden $x < 1$ pontban 0-hoz tartanak, de a konvergencia nem egyenletes: az $x^n$ görbe az $x = 0{,}5^{1/n}$ pontban éri el a $\tfrac12$ magasságot, ami $n = 2$-re $0{,}7071$, $n = 10$-re $0{,}9330$, $n = 50$-re $0{,}9862$, így a legnagyobb érték $[0, 1)$-en minden $n$-re 1 marad. Az $\tfrac{1}{n+1}$ integrálok mégis 0-hoz tartanak, a határérték integráljához. Az alábbi három tétel az ilyen eseteket magyarázza meg, és sokkal kevesebbet kér az egyenletes konvergenciánál.

Monoton konvergencia

Az első tételhez semmi más nem kell, csak monotonitás. Egy sorozat növekvő, ha minden $x$-re és $n$-re $f_n(x) \le f_{n+1}(x)$. Monoton konvergencia tétele: ha $0 \le f_1 \le f_2 \le \cdots$ mérhetők és pontonként $f_n \to f$, akkor

ahol a jobb oldal lehet $\infty$ is. A gondolat az, hogy egy növekvő sorozatnak nincs mit elveszítenie: minden $f_n$ az $f$ alatt van, és a függvények csak újabb rétegeket tesznek hozzá. Az állítás megengedi a végtelen értékeket. Például a $\mathbf{1}_{[0, n]}$ függvények a félegyenesen $\mathbf{1}_{[0, \infty)}$-hez nőnek, az $n$ integrálok $\infty$-hez nőnek, és a $\infty$ a határérték integrálja.

A bizonyítást érdemes elolvasni, mert megmutatja, mit ad az integrál szuprémumként való definíciója.

1. A $\le$ egyenlőtlenség. Mivel $f_n \le f$, a monotonitás miatt minden $n$-re $\int f_n \le \int f$. Az $\int f_n$ integrálok nőnek, így van határértékük, $L$ (esetleg $\infty$), és $L \le \int f$.
2. A $\ge$ egyenlőtlenség. Definíció szerint $\int f$ az $\int \varphi$ szuprémuma a $0 \le \varphi \le f$ egyszerű függvényekre, ezért elég minden ilyen $\varphi = \sum_j a_j \mathbf{1}_{A_j}$-re belátni, hogy $L \ge \int \varphi$. Rögzíts egyet, és rögzíts egy $c$ számot, $0 < c < 1$; a $c$ ráhagyás helyet ad egy alábbi szigorú egyenlőtlenségnek.
3. Legyen $E_n = \{f_n \ge c\varphi\}$. Ezek a halmazok mérhetők, és $n$-nel nőnek, mert $f_n$ nő. Kitöltik az egész teret: ahol $\varphi(x) = 0$, a pont $E_1$-ben van, ahol pedig $\varphi(x) > 0$, ott $c\varphi(x) < \varphi(x) \le f(x)$, így $f_n(x)$ meghaladja $c\varphi(x)$-et, ha $n$ elég nagy.
4. $E_n$-en az $f_n$ legalább $c\varphi$, így $\int f_n \ge \int c\varphi \mathbf{1}_{E_n} = c \sum_j a_j \, \mu(A_j \cap E_n)$.
5. Ahogy $n$ nő, $A_j \cap E_n$ növekszik $A_j$-hez, így a „Halmazok méretének mérése” alulról való folytonossága szerint $\mu(A_j \cap E_n) \to \mu(A_j)$. Tehát $L \ge c \sum_j a_j \mu(A_j) = c \int \varphi$.
6. Engedd $c \to 1$-hez, majd vedd a szuprémumot $\varphi$-re: $L \ge \int f$.

Példa korlátlan határfüggvényre: az $f_n = \min(x^{-1/2}, n)$ levágott függvények $[0, 1]$-en követik az $x^{-1/2}$ görbét addig, amíg az eléri az $n$ magasságot, az $x = 1/n^2$ pontban, attól balra pedig $n$ magasan vízszintesek. $n$-nel nőnek $x^{-1/2}$-hez, amely a 0-ban végtelen, de integrálható, és mindegyik integrálja $n \cdot \tfrac{1}{n^2} + \big(2 - \tfrac{2}{n}\big) = 2 - \tfrac1n$. A monoton konvergencia szerint $\int_0^1 x^{-1/2} \, dx = \lim_n (2 - \tfrac1n) = 2$. Így integrálunk korlátlan függvényt: hozzá tartó, növekvő korlátos függvényekkel.

A monoton konvergencia azt is megmagyarázza, miért következetes „A Lebesgue-integrál”: ha $\varphi_n$ növekvő egyszerű függvények pontonként $f$-hez tartanak, akkor $\int \varphi_n \, d\mu \to \int f \, d\mu$ minden ilyen sorozatra, akárhogyan választjuk a lépcsőket.

Nemnegatív függvények sorai

A sor a részletösszegeinek határértéke, nemnegatív függvények részletösszegei pedig növekednek. A monoton konvergenciát ezekre alkalmazva megkapjuk a sor tagonkénti integrálásának szabályát: ha minden $k$-ra $g_k \ge 0$, akkor

ahol mindkét oldal lehet végtelen is. Az $s_n = g_1 + \cdots + g_n$ részletösszegekre a linearitás miatt $\int s_n = \sum_{k \le n} \int g_k$, és $s_n \uparrow \sum_k g_k$, így az $n \to \infty$ határátmenet mindkét oldalon éppen a monoton konvergencia. A $[0, 1)$-en érvényes $\sum_{k \ge 0} x^k = 1/(1 - x)$ mértani sorra ez azt mondja, hogy $\int_0^1 \frac{dx}{1-x} = \sum_{k \ge 0} \frac{1}{k+1} = \infty$: az $1/(1-x)$ alatti terület éppen azért végtelen, mert a harmonikus sor divergens.

Véges eredményhez másik sor kell. A $[0, 1)$ intervallumon

és minden tag nemnegatív. Mivel $\int_0^1 \frac{x^{k-1}}{k} \, dx = \frac{1}{k^2}$, a szabály szerint $\int_0^1 -\frac{\ln(1-x)}{x} \, dx = \sum_k \frac{1}{k^2}$. Az összeg a klasszikus $\pi^2/6 \approx 1{,}6449$ érték, a részletösszegek pedig lassan kúsznak felé: $1$, $1{,}25$, $1{,}361$, $1{,}424$, tíz tag után $1{,}550$. A bal oldal numerikus integrálása is $1{,}6449$-et ad, vagyis a tétel egy kézzel kényelmetlen integrált ismerős összeggé alakított.

Ugyanez a szabály a számláló mérték különleges esetében már ismerős. „A Lebesgue-integrál” szerint egy $a: \mathbb{N} \to [0, \infty)$ függvény integrálja a számláló mérték szerint az $\sum_k a_k$ összeg, így nemnegatív $a_{n,k}$ számok táblázatára a szabály azt mondja, hogy ha előbb a sorokat adjuk össze, és utána az oszlopokat, ugyanazt a végösszeget kapjuk, mintha az oszlopokkal kezdenénk. A nemnegativitás nem hagyható el. Vegyük azt a táblázatot, amelyben $a_{n,n} = 1$, $a_{n,n+1} = -1$, minden más elem pedig $0$. Minden sor összege $1 - 1 = 0$, így a sorokkal kezdve $0$-t kapunk. Az első oszlop összege $1$, minden további oszlopé $-1 + 1 = 0$, így az oszlopokkal kezdve $1$-et kapunk. A két sorrend azért tér el, mert a táblázat elemei mindkét előjelűek, és az abszolút értékeik összege végtelen. Hogy vegyes előjelnél mi pótolja a nemnegativitást, azt a dominált konvergenciáról szóló szakasz mondja el.

A Fatou-lemma

Monotonitás nélkül a nemnegatív függvények még mindig teljesítenek egy egyenlőtlenséget. Kimondásához emlékezzünk a számsorozatok alsó határértékére: $\liminf_n a_n = \lim_{n} \inf_{k \ge n} a_k$, arra a szintre, amely fölött a sorozat egy ponttól kezdve marad, tetszőlegesen kis ráhagyással. Függvénysorozatra ezt pontonként alkalmazzuk. Fatou-lemma: ha $f_n \ge 0$ mérhetők, akkor

Szavakban: a határérték integrálja soha nem több, mint az integrálok határértéke. A bizonyítás a sorozat alsó burkolóira alkalmazza a monoton konvergenciát.

1. Legyen $g_n = \inf_{k \ge n} f_k$. Ez mérhető, mert a mérhető függvények zártak az infimumra („Mérhető függvények”), és $0 \le g_1 \le g_2 \le \cdots$ definíció szerint $\liminf_n f_n$-hez nő.
2. A monoton konvergencia szerint $\int g_n \uparrow \int \liminf_n f_n$.
3. Minden $k \ge n$ esetén $g_n \le f_k$, így $\int g_n \le \int f_k$, tehát $\int g_n \le \inf_{k \ge n} \int f_k$.
4. Engedd $n \to \infty$-hez. A bal oldal $\int \liminf_n f_n$-hez tart, a jobb oldal $\liminf_n \int f_n$-hez.

A tüskére a lemma $0 \le 1$, és a különbség a belepréselt tömeg. Az egyenlőtlenség akkor is lehet szigorú, ha semmit sem préselünk össze és semmi sem szökik el. Legyen $f_n = \mathbf{1}_{[0, 1/2]}$ páratlan $n$-re és $f_n = \mathbf{1}_{[1/2, 1]}$ páros $n$-re. Az $\tfrac12$-től különböző minden pontban az értékek 1 és 0 között váltakoznak, így az alsó határérték 0, a bal oldal tehát 0, miközben minden $\int f_n = \tfrac12$. A tömeg útközben nem vész el; egyszerűen egyetlen pontban sem marad meg, és az alsó határérték csak azt látja, ami minden lépésben megmarad. A levágott függvényeknél és a hatványoknál a két oldal egyenlő: $2 = 2$ és $0 = 0$.

A Fatou-lemma tanulsága egy irány: határátmenetben a tömeg eltűnhet, de nem keletkezhet. Ez az egyetlen állítás, amely minden nemnegatív függvénysorozatra további feltevés nélkül igaz, és ez a következő tétel motorja.

Dominált konvergencia

Az eddigi tételek mindegyike nemnegatív függvényeket kér. A következő bármilyen előjelet megenged, és egyetlen integrálható korlátot kér. Dominált konvergencia tétele: ha majdnem mindenütt $f_n \to f$, és van olyan egyetlen $g$ függvény, amelyre minden $n$-re $|f_n| \le g$ és $\int g \, d\mu < \infty$, akkor $f$ integrálható, és

A „majdnem mindenütt” itt a „A Lebesgue-mérték és a nullmértékű halmazok” jelentésében szerepel: azok a pontok, ahol a konvergencia nem teljesül, nullmértékű halmazt alkotnak, amelyet az integrál nem lát. A gondolat az, hogy egyetlen integrálható $g$ megakadályozza a tömeg összepréselődését vagy elszökését, mert nincs elég hely a $g$ alatt. A bizonyítás kétszer alkalmazza a Fatou-lemmát, a fenti alsó határértékkel és a tükörképével, $\limsup_n a_n = \lim_n \sup_{k \ge n} a_k$-val.

1. Mivel majdnem mindenütt $|f| \le g$, $f$ integrálható. Mind $g + f_n$, mind $g - f_n$ nemnegatív.
2. A Fatou-lemma a $g + f_n \to g + f$ sorozatra: $\int (g + f) \le \liminf \int (g + f_n) = \int g + \liminf \int f_n$. A véges $\int g$ kivonása után $\int f \le \liminf \int f_n$ marad.
3. A Fatou-lemma a $g - f_n \to g - f$ sorozatra: $\int g - \int f \le \int g - \limsup \int f_n$, tehát $\limsup \int f_n \le \int f$.
4. Így $\int f \le \liminf \int f_n \le \limsup \int f_n \le \int f$, vagyis a határérték létezik, és $\int f$-fel egyenlő.

Az $x^n$ hatványok $[0, 1]$-en az egyetlen $x = 1$ pont, egy nullmértékű halmaz kivételével 0-hoz tartanak, és mindegyik az integrálható 1 konstans alatt marad. A tétel szerint $\int_0^1 x^n \, dx = \tfrac{1}{n+1} \to 0$, amit a képlet is mutat, de most képlet nélkül kapjuk. A tétel akkor is működik, ha egyáltalán nincs képlet: az $(1 + x/n)^{-n}$ függvények 0 és 1 között vannak $[0, 1]$-en, és $e^{-x}$-hez tartanak, így az integráljaik $1 - e^{-1} \approx 0{,}6321$-hez tartanak; a pontos értékek $n = 10$-re $0{,}6399$, $n = 100$-ra $0{,}6329$, $n = 1{,}000$-re $0{,}6322$. Véges összes tömegű téren, konstans korláttal a tételt gyakran korlátos konvergenciának hívják.

A tüskének nincs integrálható korlátja, és az ok megmutatja, miért kell egyetlen függvény minden $n$-re. Minden $g$, amely minden $f_n$ fölött van, legalább $\sup_n f_n$. Egy $x$ pontban az $n \le 1/x$ tüskék értéke $n$, így ez a szuprémum $\lfloor 1/x \rfloor$, az $1/x$ egész része, amely a 0 közelében úgy viselkedik, mint $1/x$. Az integrálja harmonikus sor. Az első $N$ tüske maximuma pontosan a $(0, 1/n]$ halmazon legalább $n$, amelynek hossza $1/n$, így „A Lebesgue-integrál” rétegtorta-formulája szerint az integrálja $\sum_{n=1}^{N} \tfrac1n$, ami $N = 10$-re $2{,}929$, $N = 100$-ra $5{,}187$, $N = 1{,}000$-re $7{,}485$, vég nélkül nő. Minden tüske külön-külön korlátos, $n$-nel; ami hiányzik, az egy olyan korlát, amely egyszerre szolgál minden $n$-et.

Paramétertől függő integrálok

Sok integrál paramétertől függ, $F(t) = \int f(x, t) \, d\mu(x)$, és gyakran kell, hogy $F$ folytonos vagy differenciálható legyen $t$-ben. Mindkét kérdés határértékkérdés. $F$ akkor folytonos $t$-ben, ha minden $t_n \to t$ sorozatra $F(t_n) \to F(t)$, ami egy határérték és egy integrál cseréje, így a dominált konvergencia alkalmazható.

Folytonosság. Ha majdnem minden $x$-re a $t \mapsto f(x, t)$ függvény folytonos, és egy intervallumon minden $t$-re $|f(x, t)| \le g(x)$, ahol $\int g \, d\mu < \infty$, akkor $F$ folytonos ezen az intervallumon. A bizonyításhoz vegyünk egy $t_n \to t$ sorozatot: majdnem minden $x$-re $f(x, t_n) \to f(x, t)$, mindegyiket $g$ korlátozza, és a dominált konvergencia szerint $F(t_n) \to F(t)$.

Deriválás. Ha $\partial f/\partial t$ létezik, és egy intervallumon minden $t$-re $|\partial f / \partial t (x, t)| \le g(x)$, ahol $g$ integrálható, akkor $F$ ott differenciálható, és

A bizonyítás a különbségi hányadosokat nézi. Egy $h_n \to 0$ sorozatra a $\big(f(x, t + h_n) - f(x, t)\big)/h_n$ hányados $\partial f/\partial t (x, t)$-hez tart, és a Lagrange-középértéktétel szerint egyenlő valamilyen $t$ és $t + h_n$ közötti $\xi$-vel vett $\partial f/\partial t (x, \xi)$-vel, így $g(x)$ korlátozza. A dominált konvergencia a pontonkénti határértéket integrálok határértékévé alakítja, a hányadosok integráljai pedig éppen a $\big(F(t + h_n) - F(t)\big)/h_n$ hányadosok.

Példaként vegyük az $F(t) = \int_0^1 e^{tx} \, dx = \frac{e^t - 1}{t}$ függvényt, $F(0) = 1$-gyel. $t \in [-1, 1]$ esetén a $t$ szerinti derivált $x e^{tx}$, amely $[0, 1]$-en legfeljebb $e$, egy integrálható konstans. Tehát $F'(0) = \int_0^1 x \, dx = \tfrac12$. Közvetlen ellenőrzés egyezik: $F(0{,}001) = 1{,}0005002$ és $F(-0{,}001) = 0{,}9995002$, így a $0{,}002$ lépésközű különbségi hányados hét jegyre $0{,}5000000$, és az $F(t) = 1 + \tfrac{t}{2} + \tfrac{t^2}{6} + \cdots$ sor meredeksége a 0-ban $\tfrac12$.

A tüske a szokásos figyelmeztetés. Legyen $f(x, t) = \tfrac1t \mathbf{1}_{(0, t]}(x)$, ha $t \in (0, 1]$, és $f(x, 0) = 0$. Ekkor minden $t > 0$ esetén $F(t) = 1$, de $F(0) = 0$, így $F$ ugrik a 0-ban, bár minden $x$-re $f(x, t) \to f(x, 0)$. Nincs olyan integrálható $g$, amely mindezeket a függvényeket korlátozná, és a folytonosság elbukik.

A megfelelő tétel kiválasztása

Minden tétel egy feltevést cserél egy következtetésre. Ha egy határértéket át kell vinni egy integrálon, a kérdéseket ebben a sorrendben tedd fel.

• A függvények nemnegatívak és növekvők: a monoton konvergencia egyenlőséget ad, akkor is, ha az érték végtelen. Ez az eszköz nemnegatív tagú sorokhoz és korlátlan függvények integráljához.
• A függvények nemnegatívak, de a monotonitásról és a korlátokról semmit sem tudunk: a Fatou-lemma egy egyenlőtlenséget ad, $\int \liminf f_n \le \liminf \int f_n$, ami gyakran éppen elég.
• A függvények vegyes előjelűek, vagy nem monotonok: keress egyetlen integrálható $g$ függvényt az összes $|f_n|$ fölött. Ha van, a dominált konvergencia egyenlőséget ad; véges összes tömegű téren elég egy konstans korlát.
• Egyik sem alkalmazható: a csere elbukhat. Keress olyan tömeget, amely egy zsugorodó halmazba préselődik, mint a tüskénél, vagy amely a végtelenbe szalad, mint a szökő púpnál. A pálya egy későbbi leckéje megnevezi azt a feltételt, amely mindkettőt pontosan kizárja.

Összefoglalás

• Az $f_n \to f$ pontonkénti konvergenciából nem következik $\int f_n \to \int f$: a tömeg összepréselődhet egy zsugorodó halmazba, mint a tüskénél, vagy elszaladhat a végtelenbe, mint a szökő púpnál.
• Az egyenletes konvergencia véges összes tömegű téren elég, de messze túl erős: $[0, 1]$-en az $x^n$ nem egyenletesen konvergál, integráljai mégis a határérték integráljához tartanak.
• Monoton konvergencia: növekvő nemnegatív függvényekre $\int f_n \uparrow \int f$, végtelen érték esetén is; ebből adódik a nemnegatív sorok tagonkénti integrálása, például $\sum 1/k^2 = \pi^2/6$.
• Fatou-lemma: nemnegatív függvényekre $\int \liminf f_n \le \liminf \int f_n$; határátmenetben a tömeg elveszhet, de soha nem keletkezik.
• Dominált konvergencia: ha majdnem mindenütt $f_n \to f$ és egyetlen integrálható $g$-re $|f_n| \le g$, akkor $\int f_n \to \int f$; a korlátnak egyszerre kell szolgálnia minden $n$-et, a tüskének pedig nincs ilyen.
• Ugyanez a tétel teszi folytonossá az $F(t) = \int f(x, t) \, d\mu$ függvényt, és engedi a deriváltat az integrál alá vinni, ha $f$-nek vagy $\partial f/\partial t$-nek van integrálható korlátja.