A sorban elfoglalt hely és a teljesülés valószínűsége

A limitáras megbízás csak akkor keres spreadet, ha valaki kereskedik vele szemben. „A limitáras ajánlati könyv” leckéje megmutatta, hogy az egy áron várakozó megbízások az érkezésük sorrendjében teljesülnek. Ez a lecke azt vizsgálja, mit jelent ez a szabály egyetlen várakozó megbízás számára: mennyit vár, mekkora eséllyel teljesül adott időn belül, és mibe kerül az áthelyezése. A válaszok döntik el, hogy egy market maker (árjegyző, aki vételi és eladási jegyzést tart a könyvben) ténylegesen megkapja-e a jegyzett spreadet.

A továbbiakban egy $q$ részvényes vételi limitáras megbízás áll a legjobb bid-en, és előtte $A$ részvény áll a sorban. Az időt percben, a méretet részvényben mérjük.

A sor egy áron

Az ár–idő prioritás szerint az azonos áron álló megbízások az érkezésük sorrendjében teljesülnek (first in, first out). Az új megbízás a sor végére kerül. A te megbízásod addig nem kerül sorra, amíg minden előtted álló részvény vagy teljesült, vagy törlődött. A részvények számítanak, nem a megbízások: az előtted álló 1260 részvény 1260 részvény, akár három, akár harminc megbízásban áll.

Legyen a legjobb bid 99,97, előtted $A = 1{,}260$ részvénnyel, a te megbízásod pedig $q = 400$. Addig semmi sem történik, amíg $A$ nullára nem csökken, utána a megbízás fokozatosan teljesül, ahogy újabb eladási volumen érkezik.

Mi visz előre a sorban

Az előtted álló részvények számát csak két dolog csökkenti:

1. A bid-re érkező piaci eladási megbízások. A legjobb bid sorának elejével teljesülnek, így mindegyik a saját méretével csökkenti $A$-t. A piaci vételi megbízások az ask-on kötnek, a te sorodat nem érintik.
2. Az előtted állók törlései. Aki meggondolja magát, kiveszi a részvényeit, és mindenki mögötte előrébb lép.

A 99,97-re újonnan érkező megbízások mögéd kerülnek, a mögötted lévők törlése pedig nem számít, ezért egyik sem változtat $A$-n.

Várakozási idő

Tegyük fel, hogy az eladási volumen állandó, percenként $v$ részvény ütközik a bid-del, és az előtted állók törlései percenként $c$ részvényt visznek ki. Ekkor az előtted álló sor lineárisan csökken:

Az első részvényed akkor teljesülhet, amikor $A(t)$ eléri a nullát. $t$-re megoldva kapjuk a várakozási időt:

Ha $A = 1{,}260$, $v = 300$ és $c = 100$, az együttes ütem percenként 400 részvény, tehát $W \approx 3{,}15$ perc.

A valódi forgalom nem állandó: a piaci megbízások véletlen időpontokban és véletlen méretben érkeznek. A képlet továbbra is a tipikus várakozást adja, de az egyes várakozások szóródnak körülötte. A $t_0 = A/(v+c)$ idő alatt kivitt volumen szórása $\sigma\sqrt{t_0}$, ahol $\sigma^2 = \lambda E[S^2]$ az eladási volumen percenkénti varianciája (a következő szakaszban definiáljuk). A részvényben mért mennyiséget a $v + c$ sebességgel osztva percre váltjuk át:

A példában $\sigma \approx 245$, így a szórás körülbelül 1,1 perc: a 3,15 percre várt megbízás könnyen várhat két percet vagy ötöt is.

Teljesülési valószínűség

Ha az átlagos várakozásból valószínűséget akarunk kapni, magát az eladási volument kell modellezni. A piaci eladási megbízások véletlen időpontokban, percenként $\lambda$ ütemben érkeznek, mindegyiknek független véletlen mérete van: $S$, átlaga $\mu_s$, második momentuma $E[S^2]$. Egy $h$ perces horizonton a megbízások $N$ száma Poisson-eloszlású $\lambda h$ várható értékkel, az összvolumen pedig a véletlen összeg

A várható érték $E[V] = E[N]\,\mu_s$-ból adódik. A varianciához a méretek varianciáját és a darabszám varianciáját kell összeadni:

Ez ugyanaz a szerkezet, mint a „Véletlen bolyongás és Brown-mozgás” leckében: független lépések összege, amelynek átlaga a $h$ idővel, szórása pedig $\sqrt{h}$-val nő.

Az előtted állók törlései további $c\,h$ részvényt visznek ki. A megbízásod első részvénye akkor teljesül, ha a volumen és a törlések együtt elérik $A + 1$ részvényt. Sok megbízás esetén a $V$ összeg közel normális, és a $\Phi$ standard normális eloszlásfüggvénnyel

Exponenciális méreteknél $E[S^2] = 2\mu_s^2$. Az átlagosan 100 részvényes, percenként háromszor érkező megbízások percenként 300 részvény eladási volument adnak, $\lambda E[S^2] = 60{,}000$, azaz 245 részvény szórást.

A várakozás körülbelül $A/(v+c)$, a teljesülési valószínűség pedig $1 - \Phi(z)$, ahol $z$ azt mutatja, hány szórásnyi eladási volumen választ el a sor elejétől. A normális közelítés durva, ha percenként csak kevés megbízás érkezik.

Percenként csak három megbízásnál az összeg ferde, és a normális közelítés durva: ugyanennek a sornak a sokszori szimulálása nagyjából egyharmados teljesülési esélyt ad a 40% helyett. Sok megbízás esetén a közelítés pontos.

Az ábra a sort 100 részvényes blokkokként rajzolja ki, a te megbízásod kiemelve, a sor eleje jobbra, és az egyperces teljesülési valószínűséget az előtted álló részvények számának függvényében ábrázolja. Indulj az alapértékekkel: 1260 részvény előtted, 3,15 perc várható várakozás, és mindössze 0,02% az egyperces teljesülési esély. Az 1 perc szimulálása gombbal nézheted, ahogy a véletlen eladási volumen és a törlések elfogyasztják a sor elejét; nyomd meg újra, amíg a megbízásod teljesülni nem kezd. Aztán emeld az eladási volument percenként 600-ra, vagy húzd a kiinduló pozíciót 400-ra, és figyeld a görbét és a kijelzőket.

A prioritás elvesztése

A prioritást csak várakozással lehet építeni. Az ár módosítása azt jelenti, hogy törlöd a megbízást, és új megbízást adsz fel a másik szinten, ahol a sor végére kerülsz. A méret növelése általában ugyanezt eredményezi, mert a hozzáadott részvények nem előzhetik meg a náluk előbb érkezetteket. A törlés és ugyanazon az áron való újraadás is a sor végére küld.

Tegyük fel, hogy a példában már két perce vársz, tehát 460 részvény áll előtted, és a hátralévő várakozás $460/400 = 1{,}15$ perc. Ha közben 500 részvény érkezett mögéd, és most törölsz, majd újra feladod a megbízást, 960 részvénnyel előtted kezdesz, és a várakozás $960/400 = 2{,}4$ perc. Ezért hagyják a market makerek békén a várakozó megbízásaikat, hacsak a piac nem ad okot az áthelyezésre.

Milyen teljesüléseket kapsz

A bid-ed csak akkor teljesül, ha az eladók áttörnek az árszinten, a sor végén álló megbízás pedig csak azután, hogy az előtte álló teljes volumen elfogyott. A teljesüléseid tehát nem véletlen minták a piaci helyzetekből. A sor elején álló megbízások csendes kereskedésben teljesülnek; a sor végén állók akkor, amikor erős és kitartó az eladás, vagyis amikor az ár a teljesülés után is nagyobb eséllyel esik tovább. A sorbeli hely ezért döntés arról is, milyen gyakran és milyen körülmények között kötsz.

Összefoglalás

• Az azonos áron álló megbízások first in, first out sorrendben teljesülnek; a tiéd csak akkor kerül sorra, ha mind az $A$ előtted álló részvény teljesült vagy törlődött.
• Előre csak a bid-re érkező piaci eladások és az előtted állók törlései visznek, így a várható várakozás körülbelül $A/(v + c)$.
• Az eladási volumen egy horizonton összetett Poisson-összeg $\lambda h\,\mu_s$ várható értékkel és $\lambda h\,E[S^2]$ varianciával, ebből $P(\text{teljesül}) \approx 1 - \Phi(z)$.
• A törlés és az újra feladás a sor végére küld, ezért egy megbízás áthelyezése az addig kivárt időbe kerül.
• A sor végén álló megbízások gyakran erős eladás idején teljesülnek, ezért az ár utána gyakran tovább esik.