A Black–Scholes-képlet

Ez a lecke levezeti az európai vételi és eladási opció Black–Scholes-árát. Három korábbi eredményt rak össze: az árat mint diszkontált kockázatsemleges várható értéket („Kockázatsemleges valószínűségek”), a lognormális részvényárat $\mathbb{Q}$ alatt („Geometriai Brown-mozgás”) és a put–call paritást („Put–call paritás”). Kapcsolódik a „Delta és fedezés” leckéhez is, mert a képlet explicit deltát ad.

Feltevések

A Black–Scholes-modell az alábbi feltevésekkel él. Mindegyik egyszerűsítés; az utolsó szakasz visszatér a legfontosabbakhoz.

• A részvény állandó $\sigma$ volatilitású geometriai Brown-mozgást követ, és nem fizet osztalékot.
• Az $r$ kockázatmentes kamatláb állandó és folytonos kamatozású; $r$-en lehet hitelt felvenni és betétet elhelyezni.
• A kereskedés folytonos, nincs tranzakciós költség és adó, a shortolás megengedett.
• Nincs arbitrázs.
• Az opció európai: csak a $T$ lejáratkor hívható le.

E feltevések mellett az opció folytonos delta-fedezéssel replikálható, így ára a replikáció költsége. Ahogy a fás leckékben, ez a költség a $\mathbb{Q}$ kockázatsemleges mérték szerinti diszkontált várható kifizetés.

Az ár mint várható érték

$K$ kötési árú vételi opcióra a kifizetés $X = (S_T - K)^+$, így

$\mathbb{Q}$ alatt a részvény $r$ driftű GBM. A $W_T^{\mathbb{Q}} = \sqrt{T}\,Z$ jelöléssel, ahol $Z \sim N(0,1)$,

A Black–Scholes-differenciálegyenlet

Ez a várható érték másként is levezethető — eredetileg Black és Scholes így érvelt. Tartsunk egy portfóliót, amely egy $V(S,t)$ értékű opcióra hosszú, és $\Delta$ részvényre rövid. Itô-lemma szerint az opció értékének változása

A $\Delta = \partial V/\partial S$ választással kiesik a véletlen $dS$ tag, így a fedezett $\Pi = V - \Delta S$ portfólió kockázatmentes, ezért $r$ ütemben kell kamatoznia. Hozamát $r\Pi$-vel egyenlővé téve adódik a Black–Scholes parciális differenciálegyenlet:

A részvényre szóló minden európai opció ugyanezt az egyenletet elégíti ki; csak a lejáratkori feltétel más. A call esetén ez $V(S,T) = (S_T - K)^+$, és az egyenletet ezzel a peremfeltétellel megoldva pontosan a lenti képletet kapjuk. A két út egyenértékűségét a Feynman–Kac-tétel biztosítja: a PDE megoldását diszkontált kockázatsemleges várható értékként írja fel.

A képlet levezetése

A számolás három lépés.

1. Határozzuk meg, mikor hívják le az opciót: $S_T > K$ ekvivalens azzal, hogy $Z > -d_2$, ahol $d_2 = \dfrac{\ln(S_0/K) + (r - \frac{1}{2}\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T}}$.
2. Bontsuk fel a kifizetést: $(S_T - K)^+ = S_T\,\mathbf{1}_{\{S_T > K\}} - K\,\mathbf{1}_{\{S_T > K\}}$, ahol $\mathbf{1}$ értéke 1, ha az esemény bekövetkezik, különben 0.
3. Vegyük külön-külön a két rész várható értékét, és diszkontáljunk.

A második rész a könnyebb. Mivel $Z$ standard normális és $N$ szimmetrikus,

Az első részhez jelölje $\varphi$ a standard normális sűrűségfüggvényt. A kitevőben teljes négyzetté kiegészítve $e^{\sigma\sqrt{T}z - \frac{1}{2}\sigma^2 T}\,\varphi(z) = \varphi(z - \sigma\sqrt{T})$, így

Legyen $d_1 = d_2 + \sigma\sqrt{T}$. Mindkét részt $e^{-rT}$-vel diszkontálva kapjuk a Black–Scholes-képletet:

A valódi $\mu$ drift sehol sem szerepel. Két befektető, akik a várható hozamban nem értenek egyet, de $\sigma$-ban igen, ugyanazt az árat kapják.

A két tag jelentése

A képlet szerkezete: „kapott részvény mínusz kifizetett kötési ár, mindkettő valamivel súlyozva”.

• $N(d_2)$ annak $\mathbb{Q}$-valószínűsége, hogy az opciót lehívják, így $Ke^{-rT}N(d_2)$ a várható kötésiár-fizetés jelenértéke.
• $S_0 N(d_1)$ annak jelenértéke, hogy a lehívási állapotokban megkapjuk a részvényt. Nagyobb, mint $S_0 N(d_2)$, mert a lehívás éppen akkor történik, amikor $S_T$ magas.
• $N(d_1) = \partial C_0/\partial S_0$ a call deltája: a replikáló portfólió $N(d_1)$ részvényt tart, és $Ke^{-rT}N(d_2)$ hitelt vesz fel.

Az utolsó pont a fás $C = \Delta S + B$ eredmény folytonos változata, $\Delta = N(d_1)$ és $B = -Ke^{-rT}N(d_2)$ mellett. A képlet deriválásakor $d_1$ és $d_2$ $S_0$-függéséből további tagok is keletkeznek, de ezek pontosan kiejtik egymást.

$C_0 = S_0N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2)$, ahol $d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$. $N(d_2)$ a kockázatsemleges lehívási valószínűség, $N(d_1)$ a delta.

Az eladási opció

A $C_0 - P_0 = S_0 - Ke^{-rT}$ put–call paritás minden arbitrázsmentes modellben teljesül, így itt is. $P_0$-ra megoldva és $1 - N(x) = N(-x)$-et használva:

A put deltája $N(d_1) - 1 = -N(-d_1)$, $-1$ és $0$ közé esik.

Számpélda

Legyen $S_0 = 100$, $K = 100$, $r = 5\%$, $\sigma = 20\%$, $T = 1$. Ekkor

Normális táblázatból $N(0{,}35) \approx 0{,}6368$ és $N(0{,}15) \approx 0{,}5596$. A diszkontfaktor $e^{-0{,}05} \approx 0{,}9512$. Így $C_0 \approx 100 \cdot 0{,}6368 - 95{,}12 \cdot 0{,}5596 \approx 10{,}45$, a paritásból pedig $P_0 \approx 10{,}45 - (100 - 95{,}12) \approx 5{,}57$. A call deltája 0,637, és 56% a kockázatsemleges esélye a lehívásnak.

Az ár függése a bemenetektől

• Részvényár ($S_0$): a call drágul, a put olcsóbb lesz; a meredekségek a delták.
• Volatilitás ($\sigma$): mindkét ár nő. A tulajdonos az egyik oldalon nyer a nagy mozgásokon, a másikon legfeljebb az opciós díjat veszíti el.
• Lejárat ($T$): osztalék nélkül a call ára $T$-vel nő; több idő nagyobb szóródást ad $S_T$-ben, és kisebb a kötési ár jelenértéke.
• Kamatláb ($r$): a call drágul, a put olcsóbb lesz, mert a kötési árat később fizetjük, és jobban diszkontáljuk.

Két határeset ellenőrzi a képletet. Ha $\sigma \to 0$, a részvény determinisztikusan $r$ ütemben nő, és $C_0 \to (S_0 - Ke^{-rT})^+$, ami a „Put–call paritás” lecke alsó korlátja. Ha $T \to 0$, az ár a $(S_0 - K)^+$ kifizetéshez tart.

Az ábra az árat mutatja $S_0$ függvényében $K = 100$ mellett, szaggatottan a lejáratkori kifizetéssel. Válts a call és a put között. Növeld $\sigma$-t vagy $T$-t: a görbe elemelkedik a kifizetéstől, leginkább a kötési ár körül (kivétel a mélyen pénzben lévő put, amelynek értéke a kifizetés alá is kerülhet); csökkentsd őket, és a görbe rásimul a kifizetésre. Az $S_0 = 100$-nál mutatott értékek (ár, $d_1$, $d_2$, $N(d_1)$, $N(d_2)$) alapján a számpélda megismételhető.

A modell korlátai

A piaci opcióárakból visszaszámolható egy volatilitás: az implikált volatilitás az a $\sigma$, amellyel a Black–Scholes-képlet a megfigyelt árat adja. Ha a modell pontos lenne, ugyanarra a részvényre szóló minden opció implikált volatilitása azonos volna. A valóságban az implikált volatilitás függ a kötési ártól (ez a volatilitásmosoly vagy ferdeség; az alacsony kötési árú opciók rendszerint drágábbak) és a lejárattól.

A fő ok, hogy egyes feltevések nem teljesülnek: a volatilitás nem állandó, hanem véletlenszerűen változik, és esésnél jellemzően megugrik; az árak néha ugranak; a hozamok eloszlásának vastagabb a farka a normálisnál. A Heston-modellhez hasonló modellek megtartják a kockázatsemleges árazás keretét, de a volatilitásnak saját véletlen folyamatot adnak, és ebből mosoly adódik. A Black–Scholes-modell ennek ellenére közös nyelv maradt: az árakat implikált volatilitásban jegyzik, deltája pedig a fedezés kiindulópontja.

Összefoglalás

• A Black–Scholes-feltevések mellett $C_0 = e^{-rT}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}[(S_T - K)^+]$, ahol $S_T$ lognormális, $r$ drifttel.
• Az eredmény $C_0 = S_0N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2)$; a put ára a paritásból adódik.
• $N(d_2)$ a kockázatsemleges lehívási valószínűség, $N(d_1)$ a delta; a valódi $\mu$ drift nem szerepel.
• Az árak $\sigma$-val nőnek; a volatilitásmosoly mutatja, hogy egyetlen állandó $\sigma$ nem illeszkedik a piachoz, ezzel foglalkozik a Heston-labor.