Mértékelmélet az opcióárazásban

A megelőző tizenkét lecke a nulláról építette fel a mértékelméletet és a valószínűségszámítást, és egyszer sem szólt árról. A „Valószínűségi mezők és a Kolmogorov-axiómák” az 1 teljes tömegű mértékből a véletlen modelljét csinálta, a „Valószínűségi változók és eloszlásaik” leírta, mit állít elő egy modell, a „Feltételes valószínűség és feltételes várható érték” pedig megmutatta, hogyan frissítsük. A „Kockázatsemleges valószínűségek” megmutatta, hogy az opciót olyan valószínűséggel vett átlag árazza, amely nem a valós világé. Ez a lecke egyetlen kis piacon rakja össze a két oldalt: egy call opción, amelynek részvénye három napig fel vagy le lép. Az árképlet minden jele a pálya valamelyik fogalmának bizonyul, ezért a lecke egyenként végigmegy rajtuk, hozzáadja azokat a mértékelméleti eszközöket, amelyeket az árazás igényel, és a korábbi leckék nem adtak meg, a filtrációt, az abszolút folytonosságot és a Radon–Nikodym-sűrűséget, és végül azokkal a határátmenetekkel zár, amelyek a háromnapos piacot a folytonos időhöz kötik.

Egy háromnapos piac

Egy részvény ára $S_0 = 100$-ról indul. Minden nap az ár $1{,}1$-szeresére nő (felfelé lépés, $u$) vagy $0{,}9$-szeresére csökken (lefelé lépés, $d$). A kamat nulla, így a készpénz megőrzi az értékét; pozitív kamatnál a lenti képlet csak egy $e^{-rT}$ állandó szorzót kap, ami a mértékelméleten semmit sem változtat. Egy $K = 100$ kötési árú európai call opció a 3. nap végén jár le, és $(S_3 - K)^+ = \max(S_3 - 100, 0)$-t fizet. Az ára, ahogy a „Kockázatsemleges valószínűségek” levezeti:

Három nap felfelé és lefelé lépései $2^3 = 8$ árpályát adnak. Három felfelé lépés után $S_3 = 100 \cdot 1{,}1^3 = 133{,}1$; két felfelé és egy lefelé lépés után, bármilyen sorrendben, $108{,}9$; egy felfelé lépés után $89{,}1$; három lefelé lépés után $72{,}9$. Csak az első két fajta fizet: egy pályán $33{,}1$-et, háromon $8{,}9$-et.

Az ábra a nyolc pályát mutatja. Válassz ki egy jelet a képletből, és az ábra megmutatja, mi az ezen a piacon; válts a $\mathbb{Q}$ kockázatsemleges és a $\mathbb{P}$ valós mérték között, és mozgasd a kötési árat. Kiinduló állásában az ár $7{,}475$, a call $0{,}5$ valószínűséggel fizet, és a várható részvényár $100$. Válts $\mathbb{P}$-re, és ugyanezek a kijelzők $9{,}142$, $0{,}575$ és $103{,}03$ lesznek; a lecke többi része azt magyarázza, miért térnek el ezek a számok, és melyik az ár.

Kimenetelek és események

A képletben elrejtett első jel az $\Omega$ eseménytér. A „Valószínűségi mezők és a Kolmogorov-axiómák” két kockával írta le a kimeneteleket: a kimenetel annak teljes leírása, mi történt, ott egy számpár. Ezen a piacon a kimenetelnek mindent el kell döntenie, amire a modell rákérdezhet, ezért egy teljes pálya, nem egyetlen nap lépése: $\Omega = \{uuu, uud, udu, udd, duu, dud, ddu, ddd\}$. A modell teljes véletlensége annyi, hogy melyik $\omega \in \Omega$ valósul meg. Minden más, az $S_1, S_2, S_3$ árak és a kifizetés is, $\omega$ függvénye: ha ismert a pálya, ismert rajta minden ár.

Az esemény pályák halmaza. A call az $\{S_3 > 100\} = \{uuu, uud, udu, duu\}$ eseményen fizet, négy pályán; az első nap az $\{uuu, uud, udu, udd\}$ eseményen lép felfelé. Véges $\Omega$ esetén semmi sem akadályozza meg, hogy a pályák minden halmazát eseménynek nevezzük, így a σ-algebra $\mathcal{F} = 2^{\Omega}$, és $2^8 = 256$ esemény van. A „σ-algebrák és Borel-halmazok” axiómái csak végtelen $\Omega$ esetén kezdenek számítani. Egy minden pillanatban árazott modellnek megszámlálhatatlanul sok pályája van, és ilyenkor, ahogy Vitali halmaza megmutatta, pályák bizonyos gyűjteményeihez egyáltalán nem rendelhető valószínűség.

A valószínűségi mérték 1 teljes tömegű mérték. A „Halmazok méretének mérése” a véges halmazon értelmezett mértékeket súlyozott pontmasszákként írta le, és a $\mathbb{P}$ itt pontosan ilyen: nyolc pontmassza, pályánként egy, így minden $A$ eseményre $\mathbb{P}(A) = \sum_{\omega \in A} \mathbb{P}(\{\omega\})$.

Az információ és a filtráció

A kereskedő nem egyszerre látja $\omega$-t; a pálya napról napra derül ki. Azt, hogy a $t$-edik nap után mit tud, azoknak az eseményeknek az $\mathcal{F}_t$ σ-algebrája írja le, amelyek addigra eldőlnek. A kereskedés kezdete előtt semmit sem tud, így $\mathcal{F}_0 = \{\emptyset, \Omega\}$. Az első nap után tudja, hogy felfelé lépett-e az ár, így $\mathcal{F}_1$-et a két blokk generálja:

Ahogy a „σ-algebrák és Borel-halmazok” a véges σ-algebrákról elmondta, ez a két blokk $\mathcal{F}_1$ atomja, a σ-algebra pedig az atomok minden unióját tartalmazza: $2^2 = 4$ esemény, az $\emptyset$, $A_u$, $A_d$ és $\Omega$. A második nap után négy atom van ($uu\cdot$, $ud\cdot$, $du\cdot$, $dd\cdot$) és $2^4 = 16$ esemény; a harmadik nap után minden pálya külön atom, és $\mathcal{F}_3 = 2^\Omega$. A σ-algebráknak az a lánca,

amelyben mindegyik tartalmazza az előzőt, a filtráció: az információ csak bővül, mert ami ma megválaszolódott, holnap is az marad.

A „Mérhető függvények” megmutatta, hogy partíción egy függvény pontosan akkor mérhető, ha minden atomon állandó. Így az $S_1$ ár $\mathcal{F}_1$-mérhető, hiszen $A_u$-n $110$, $A_d$-n $90$, $S_3$ viszont nem az: $A_u$-n három értéket vesz fel, $133{,}1$-et, $108{,}9$-et és $89{,}1$-et. Azt a folyamatot, amelynek értéke minden időpontban az adott időpont σ-algebrájára nézve mérhető, adaptáltnak nevezzük; az ilyen folyamatokat a „Filtrációk, adaptált folyamatok és megállási idők” tárgyalja.

Két mérték ugyanazokon az eseményeken

Ezen a piacon két valószínűségi mérték számít, és mindkettő ugyanazon az $(\Omega, \mathcal{F})$ páron él. A $\mathbb{P}$ valós mérték szerint a részvény minden nap $p = 0{,}55$ valószínűséggel lép felfelé. A $\mathbb{Q}$ kockázatsemleges mérték azt a felfelé lépési valószínűséget használja, amely mellett a mai ár egyenlő a holnapi várható árral, ahogy a „Kockázatsemleges valószínűségek” levezeti: felfelé lépés után az ár $110$, lefelé lépés után $90$, és $0{,}5 \cdot 110 + 0{,}5 \cdot 90 = 100 = S_0$. Általában

Mindkét mérték szerint a három nap független, így egy pálya valószínűsége egytagú valószínűségek szorzata, a „Függetlenség és szorzatmértékek” szorzatmértéke. Egy $k$ felfelé lépést tartalmazó pálya valószínűsége $\mathbb{P}$ alatt $p^k (1 - p)^{3-k}$, $\mathbb{Q}$ alatt $q^k (1 - q)^{3-k}$:

• három felfelé lépés: $\mathbb{P} = 0{,}166375$, $\mathbb{Q} = 0{,}125$;
• két felfelé lépés (három pálya, mindegyik): $\mathbb{P} = 0{,}136125$, $\mathbb{Q} = 0{,}125$;
• egy felfelé lépés (három pálya, mindegyik): $\mathbb{P} = 0{,}111375$, $\mathbb{Q} = 0{,}125$;
• egy sem felfelé: $\mathbb{P} = 0{,}091125$, $\mathbb{Q} = 0{,}125$.

A két mérték másként súlyozza ugyanazokat az eseményeket. Az első nap $\mathbb{P}(A_u) = 0{,}55$, illetve $\mathbb{Q}(A_u) = 0{,}5$ valószínűséggel lép felfelé; a call $\mathbb{P}(S_3 > 100) = 0{,}57475$, illetve $\mathbb{Q}(S_3 > 100) = 0{,}5$ valószínűséggel fizet.

Abszolút folytonosság és a Radon–Nikodym-sűrűség

Egy mértéket újrasúlyozással ismerős módon lehet másikká alakítani. A „Halmazok méretének mérése” rúdjának hossza 1, sűrűsége $\rho(x) = 2x$ volt, így tömege $\mu(A) = \int_A 2x \, dx$: a $\mu$ mérték a hossz, amelyben minden pontot $\rho$ súlyoz. A $[0, 1/2]$ szakasz hossza $1/2$, tömege viszont $\int_0^{1/2} 2x \, dx = 1/4$.

Az újrasúlyozásnak van egy elkerülhetetlen következménye. Az a halmaz, amelyet a hossz nem lát, vagyis az „A Lebesgue-mérték és a nullmértékű halmazok” nullmértékű halmaza, az újrasúlyozás után sem hordoz tömeget, mert $\int_A \rho \, d\lambda = 0$, ha $\lambda(A) = 0$. Egy $\nu$ mérték tehát csak akkor lehet $\mu$ újrasúlyozása, ha $\mu(A) = 0$ maga után vonja, hogy $\nu(A) = 0$. Ennek a tulajdonságnak neve van: $\nu$ abszolút folytonos $\mu$-re nézve, jelben $\nu \ll \mu$. Két mérték ekvivalens, ha mindegyik abszolút folytonos a másikra nézve, vagyis ha pontosan ugyanazok a nullmértékű halmazaik.

Két ellenpélda megmutatja, mi romolhat el. A $\delta_0$ pontmassza nem abszolút folytonos a hosszra nézve, mert $\lambda(\{0\}) = 0$, de $\delta_0(\{0\}) = 1$. A $[0, 1/2]$-n egyenletes mérték, amely az $A$ halmazhoz a $2\lambda(A \cap [0, 1/2])$ tömeget rendeli, abszolút folytonos a $[0, 1]$-en vett hosszra nézve, de a kettő nem ekvivalens: az $(1/2, 1]$ szakasz hossza $1/2$, tömege 0.

A Radon–Nikodym-tétel szerint a szükséges feltétel elégséges is. Legyen $\mu$ és $\nu$ σ-véges, vagyis a tér megszámlálható sok véges mértékű halmaz uniója, ahogy $\mathbb{R}$ az $[n, n+1]$ intervallumok uniója; minden valószínűségi mérték ilyen. Ha $\nu \ll \mu$, akkor van olyan mérhető $Z \ge 0$ függvény, a sűrűség vagy Radon–Nikodym-derivált, jele $\frac{d\nu}{d\mu}$, hogy

A második képlet az elsőből „A Lebesgue-integrál” lépéseivel következik: indikátorok, aztán egyszerű függvények, aztán monoton határértékek. A sűrűség egy $\mu$-nullhalmaz erejéig egyértelmű, két sűrűség majdnem mindenütt egyenlő. A bizonyítást itt nem írjuk le.

Véges téren a sűrűség egyszerűen tömegek hányadosa, $Z(\omega) = \nu(\{\omega\})/\mu(\{\omega\})$. A piacon $Z = \frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}$ minden pálya $\mathbb{Q}$-valószínűségét elosztja a $\mathbb{P}$-valószínűségével:

• $Z = 0{,}7513$ az $uuu$ pályán, mert $0{,}125 / 0{,}166375$;
• $Z = 0{,}9183$ a két felfelé lépést tartalmazó pályák mindegyikén;
• $Z = 1{,}1223$ az egy felfelé lépést tartalmazó pályák mindegyikén;
• $Z = 1{,}3717$ a $ddd$ pályán.

$Z$ egynél kisebb ott, ahol $\mathbb{P}$ nagyobb súlyt ad, mint $\mathbb{Q}$, és nagyobb ott, ahol kisebbet, ezért $\mathbb{P}$ súlyaival átlagolva pontosan $\mathbb{Q}$ teljes tömegét adja: $\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[Z] = \mathbb{Q}(\Omega) = 1$. A sűrűség az információt is követi. $\mathcal{F}_1$-re megszorítva a blokkvalószínűségek hányadosa: $A_u$-n $0{,}5 / 0{,}55 = 0{,}9091$, $A_d$-n $0{,}5 / 0{,}45 = 1{,}1111$.

Az ekvivalens mértékeknek közösek a nullmértékű halmazaik, így a majdnem biztos állításaik is: egy $\mathbb{P}$ szerint 1 valószínűségű esemény $\mathbb{Q}$ szerint is 1 valószínűségű. A fán mindkét mérték minden pályát súlyoz, így a váltással semmi sem vész el. Ez a tulajdonság teszi biztonságossá a mértékcserét folytonos időben. A „Mértékcsere és a Girsanov-tétel” olyan ekvivalens $\mathbb{Q}$ mértéket épít, amely alatt egy sodródású Brown-mozgás sodródásmentessé válik. A pályák folytonossága, sehol sem deriválhatósága és a kvadratikus variáció értéke, amelyeket „A Brown-mozgás tulajdonságai” gyűjt össze, a pályák majdnem biztos tulajdonságai, tehát $\mathbb{Q}$ alatt éppúgy fennállnak, mint $\mathbb{P}$ alatt. A mértékcsere a sodródást elmozdíthatja, de a volatilitáshoz nem nyúlhat. Ugyanezért az árazó mértéknek ekvivalensnek kell lennie a valós mértékkel: ami nem történhet meg, annak nem lehet értéke, és aminek van esélye megtörténni, azt nem szabad figyelmen kívül hagyni.

Az ekvivalencia teszi lehetővé, hogy a sűrűség mindkét irányban létezzen: ha $\mathbb{Q} \approx \mathbb{P}$, akkor $\frac{d\mathbb{P}}{d\mathbb{Q}} = 1/Z$. A piacon ez a fordított hányados, $1/0{,}7513 = 1{,}331$ az $uuu$ pályán, ami éppen $0{,}166375 / 0{,}125$.

Ugyanez a tétel adja a feltételes várható érték létezését. Ha $X \ge 0$ és $\mathcal{G}$ egy σ-algebra, a $G \mapsto \int_G X \, d\mathbb{P}$ halmazfüggvény $\mathcal{G}$-n abszolút folytonos $\mathbb{P}$-re nézve, mert egy $\mathbb{P}$-nullhalmazon az integrál 0. Radon–Nikodym-sűrűsége egy $\mathcal{G}$-mérhető függvény, és ez a függvény az $\mathbb{E}[X \mid \mathcal{G}]$, amelyet a „Feltételes valószínűség és feltételes várható érték” az $\int_G \mathbb{E}[X \mid \mathcal{G}] \, d\mathbb{P} = \int_G X \, d\mathbb{P}$ összefüggéssel definiált.

Kifizetések, eloszlások és az ár

$S_3$ egy függvény $\Omega$-n: $S_3(uuu) = 133{,}1$, $S_3(uud) = 108{,}9$, és így tovább. Minden $S_3 \le x$ alakú kérdés esemény, így $S_3$ a „Valószínűségi változók és eloszlásaik” értelmében valószínűségi változó. Az $X = (S_3 - K)^+$ kifizetés $S_3$ folytonos függvénye, a „Mérhető függvények” pedig megmutatta, hogy mérhető függvény folytonos függvénye mérhető, így $X$ is valószínűségi változó.

A valószínűségi változó átviszi az $\Omega$-n lévő valószínűséget a számegyenesre; ez a kép az eloszlása. $\mathbb{Q}$ alatt a kifizetés $1/8$ valószínűséggel $33{,}1$, $3/8$ valószínűséggel $8{,}9$, $1/2$ valószínűséggel $0$, a 0-beli atom a kötési ár alatt vagy azon végződő négy pályát gyűjti össze. $\mathbb{P}$ alatt ugyanennek a három értéknek a valószínűsége $0{,}166375$, $0{,}408375$ és $0{,}42525$. Az értékek ugyanazok, a súlyok nem.

A várható érték a kifizetést átlagolja a kimeneteleken. Az $X$ egyszerű függvény, $33{,}1 \cdot \mathbf{1}_{\{uuu\}} + 8{,}9 \cdot \mathbf{1}_{\{uud, udu, duu\}}$, „A Lebesgue-integrál” pedig az egyszerű függvény integrálját úgy definiálja, mint minden érték és annak a halmaznak a mértéke szorzatának összegét, ahol az érték felvétetik:

Ugyanez az integrál $\mathbb{P}$ alatt $\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[X] = 9{,}14155$, ennyi kifizetést vár egy befektető a valós világban. Ez nem az ár; az ár $V_0 = 7{,}475$: a callt replikáló, részvényből és készpénzből álló portfólió $7{,}475$-be kerül, bármekkora is $p$. A $\mathbb{Q}$-t az emeli ki, hogy martingállá teszi a részvényárat, $\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[S_3] = 100 = S_0$, míg $\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[S_3] = 103{,}0301$. A sűrűség összeköti a két átlagot: $\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[X] = \mathbb{E}_{\mathbb{P}}[Z X]$.

Az ár nem függ $p$-től. A valós valószínűség változtatása módosítja $\mathbb{E}_{\mathbb{P}}[X]$-et, de $V_0$-t nem, mert $V_0$ egy replikáló portfólió költsége, és $\mathbb{Q}$ az a mérték, amely ezt a költséget adja vissza.

Call árak mint farokintegrálok

Az ár rétegenként is kiszámítható. „A Lebesgue-integrál” egy függvény alatti területet vízszintes rétegekre vágott, a „Várható érték, szórásnégyzet és egyenlőtlenségek” pedig ebből kapta a farokformulát: $\mathbb{E}[X] = \int_0^\infty \mathbb{P}(X > t) \, dt$. A call kifizetésére $X > t$ pontosan akkor, ha $S_3 > K + t$, így az $s = K + t$ helyettesítéssel

A fán az $s \mapsto \mathbb{Q}(S_3 > s)$ egy lépcsős függvény. Ha $s$ $100$ és $108{,}9$ között van, négy pálya végződik $s$ fölött, tehát az érték $0{,}5$; $108{,}9$ és $133{,}1$ között csak az $uuu$, tehát $0{,}125$; $133{,}1$ fölött 0. A lépcső alatti terület a kötési ártól jobbra

ugyanaz az ár, csak pályák helyett rétegek szerint összegezve. A call ára a végső ár túlélőfüggvénye alatti terület, és a kötési ár emelése leválasztja ennek a területnek a bal szélét.

Eloszlás kiolvasása a call árakból

Emeld a kötési árat 1-gyel, és a terület elveszít egy sávot: $C(K) - C(K+1) = \int_K^{K+1} \mathbb{Q}(S_3 > s) \, ds$. Ha a lépcső a sávon vízszintes, a terület egyszerűen a magassága. $100$ és $101$ között a lépcső $0{,}5$-nél vízszintes, és valóban $C(101) = 0{,}5 \cdot 7{,}9 + 0{,}125 \cdot 24{,}2 = 6{,}975$, tehát

Két call ár egy valószínűséget árult el. Tartson a kötésiár-lépés nullához. Ekkor a derivált $\frac{\partial C}{\partial K} = -\mathbb{Q}(S_3 > K)$, ami a „Valószínűségi változók és eloszlásaik” eloszlásfüggvényét adja: $F_{\mathbb{Q}}(K) = \mathbb{Q}(S_3 \le K) = 1 + \frac{\partial C}{\partial K}$. Még egyszer deriválva $\frac{\partial^2 C}{\partial K^2}$ az $S_3$ $\mathbb{Q}$ szerinti sűrűségfüggvénye, ha van sűrűségfüggvény.

A fán a $C(K)$ ár a $K$-ban szakaszonként lineáris, meredeksége $-\mathbb{Q}(S_3 > K)$: $-1$ a $72{,}9$ alatt, $-0{,}875$ a $(72{,}9; 89{,}1)$-en, $-0{,}5$ a $(89{,}1; 108{,}9)$-en, $-0{,}125$ a $(108{,}9; 133{,}1)$-en és $0$ fölötte. A meredekség minden lehetséges ár helyén annak az árnak a valószínűségével ugrik. $108{,}9$-nél $-0{,}5$-ről $-0{,}125$-re, vagyis $0{,}375 = \mathbb{Q}(S_3 = 108{,}9)$-cel. Három call ár pillangója méri az ugrást: $C(K-h) - 2C(K) + C(K+h)$ osztva $h$-val. $K = 108{,}9$ és $h = 1$ esetén az árak $3{,}525$, $3{,}025$ és $2{,}9$, és $3{,}525 - 2 \cdot 3{,}025 + 2{,}9 = 0{,}375$.

A call árak minden kötési áron tehát meghatározzák a végső ár teljes eloszlását $\mathbb{Q}$ alatt, és csakis $\mathbb{Q}$ alatt: a valós eloszlásról semmit sem mondanak. A „Statikus replikáció: Breeden–Litzenberger és Carr–Madan” ebből olyan módszert csinál, amely az eloszlást az opcióárakból olvassa ki, és belőle más kifizetéseket áraz.

Kvantilisek és a kockáztatott érték

A kockázatkezelő mást kérdez, mint az árazó: nem azt, mennyit ér a call, hanem azt, mennyit lehet veszíteni. Vegyünk egy 100-ért vett részvényt. A veszteség $L = 100 - S_3$, a kockázat pedig arról szól, mi fog valóban történni, tehát a mérték $\mathbb{P}$. A veszteség értékei $-33{,}1$ (nyereség), $-8{,}9$, $10{,}9$ és $27{,}1$, rendre $0{,}166375$, $0{,}408375$, $0{,}334125$ és $0{,}091125$ valószínűséggel, így eloszlásfüggvénye ezeknél az értékeknél $0{,}166375$-re, $0{,}57475$-re, $0{,}908875$-re és $1$-re ugrik.

A „Valószínűségi változók és eloszlásaik” kvantilisfüggvénye $F^{-1}(u) = \inf\{x : F(x) \ge u\}$. A kockáztatott érték (Value at Risk, VaR) az $u$ szinten éppen a veszteség ilyen kvantilise:

a legkisebb veszteség, amelyet legfeljebb $1 - u$ valószínűséggel lépünk túl. A $0{,}5$ szinten ez $-8{,}9$: a medián kimenetel nyereség. A $0{,}9$ szinten $F_L(-8{,}9) = 0{,}57475$ kisebb $0{,}9$-nél, $F_L(10{,}9) = 0{,}908875$ pedig nagyobb nála, így a kockáztatott érték $10{,}9$. A $0{,}95$ szinten $27{,}1$.

Ugyanennek a pozíciónak a $0{,}9$ szinten a kockáztatott értéke $\mathbb{Q}$ alatt $27{,}1$, szemben a $\mathbb{P}$ alatti $10{,}9$-cel. A két mérték különböző kérdésre felel: az árak $\mathbb{Q}$-ból jönnek, a kockázati számok $\mathbb{P}$-ből, és a rossz mérték alatt kiszámolt szám olyan kérdésre felel, amelyet senki sem tett fel. A kvantilisre épülő kockázati mértékeket a „Kockáztatott érték (VaR) és várható veszteség (ES)” fejti ki.

A holnapi érték mint feltételes várható érték

Az első nap után a callnak új értéke van, és ez attól függ, mi történt, tehát valószínűségi változó, nem szám. A „Feltételes valószínűség és feltételes várható érték” a partícióra vett feltételes várható értéket úgy definiálta, mint $X$ átlagát minden atomon. Az $A_u$ atomon a négy megmaradt pálya $133{,}1$-en, $108{,}9$-en, $108{,}9$-en és $89{,}1$-en végződik, mindegyik $\mathbb{Q}(\{\omega\}) / \mathbb{Q}(A_u) = 0{,}125 / 0{,}5 = 1/4$ feltételes valószínűséggel, így az átlagos kifizetés $(33{,}1 + 2 \cdot 8{,}9 + 0)/4 = 12{,}725$. $A_d$-n $(8{,}9 + 0 + 0 + 0)/4 = 2{,}225$:

$V_1$ $\mathcal{F}_1$-mérhető, hiszen minden atomon állandó, és még egyszer átlagolva visszaadja az árat: $\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[V_1] = 0{,}5 \cdot 12{,}725 + 0{,}5 \cdot 2{,}225 = 7{,}475 = V_0$. Ez a toronyszabály.

Ugyanez napról napra is elvégezhető. A második nap után a négy atom $V_2 = 21$-et ad $uu$ után ($33{,}1$ és $8{,}9$ átlaga), $4{,}45$-et $ud$ és $du$ után, és $0$-t $dd$ után. Minden első napi érték a két második napi gyermekének átlaga, $0{,}5 \cdot 21 + 0{,}5 \cdot 4{,}45 = 12{,}725$ és $0{,}5 \cdot 4{,}45 + 0{,}5 \cdot 0 = 2{,}225$, az ár pedig ezeknek az átlaga. Az utolsó naptól az elsőig ismételt átlagolás éppen a „Többlépéses fák és visszafelé indukció” visszafelé indukciója, a toronyszabály pedig az oka annak, hogy ugyanazt az árat adja, mint a nyolc pályán vett egyetlen átlag.

A $V_0, V_1, V_2, V_3$ értékek $\mathbb{Q}$ alatt martingált alkotnak, ez a „Feltételes várható érték és martingálok” tárgya: a holnapi érték mai legjobb előrejelzése a mai érték. A részvény is az, hiszen $\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[S_3 \mid \mathcal{F}_1]$ az $A_u$-n $110$, az $A_d$-n $90$, vagyis $S_1$.

Határértékek a folytonos idejű árak mögött

Ha a három napot egyre több lépésre osztjuk, és a felfelé és lefelé szorzók ehhez igazodva zsugorodnak, a fán számolt ár ahhoz az árhoz tart, amelyet „A Black–Scholes-képlet” ad meg. Közben az eseménytér természete megváltozik. $n$ lépésnél $2^n$ pálya van; a határon egy kimenetel egy teljes folytonos pálya, és ezekből megszámlálhatatlanul sok van. A pályákon vett összegekből pályákon értelmezett mérték szerinti integrálok lesznek, és az, hogy pályák mely halmazai hordozhatnak valószínűséget, ugyanaz a kérdés, amelyre a „σ-algebrák és Borel-halmazok” és „A Lebesgue-mérték és a nullmértékű halmazok” az intervallumra válaszolt.

Ami konvergál, az a végső ár eloszlása. $n$ kicsi, független felfelé és lefelé lépés összege a centrális határeloszlás-tétel terepe, amelyet a „Konvergenciafajták és a nagy számok törvénye” eloszlásbeli konvergenciaként mond ki. Ez önmagában nem viszi magával a várható értékek konvergenciáját, mert a call kifizetése nem korlátos; egyenletes integrálhatóság is kell, amelyet az a lecke Vitali tételén keresztül kapcsol a várható értékek konvergenciájához. A szokásos skálázásban a végső ár második momentuma korlátos marad, ami elég, és a fán számolt ár a Black–Scholes-árhoz tart.

Korlátos kifizetéshez kevesebb kell. Egy put $(K - S_T)^+$-t fizet, ami sosem haladja meg $K$-t. Ha a kifizetések konvergálnak, a $K$ állandó mindegyikükre integrálható korlát, és a „Konvergenciatételek” dominált konvergencia tétele megengedi, hogy a határérték átmenjen a várható értéken. A háromnapos piacon a $K = 100$ kötési árú put legfeljebb $100$-at fizet, és $0{,}125 \cdot (3 \cdot 10{,}9 + 27{,}1) = 7{,}475$-be kerül, ugyanannyiba, mint a call, mert $\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[S_3] = K$.

A Monte Carlo-árazás a pontos összeget szimulált kifizetések átlagával helyettesíti. Húzz $N$ pályát $\mathbb{Q}$ alatt, és átlagold a kifizetéseiket. Az erős nagy számok törvénye szerint az átlag majdnem biztosan $7{,}475$-höz tart, a centrális határeloszlás-tétel szerint pedig a hibája nagyjából normális eloszlású $\sigma / \sqrt{N}$ szórással, ahol $\sigma = 10{,}5252$ a kifizetés szórása $\mathbb{Q}$ alatt. $N = 10\,000$ pálya esetén a standard hiba $0{,}1053$, így a futások nagyjából 95%-a az ártól legfeljebb $\pm 0{,}2063$-ra esik. A „Monte Carlo-opcióárazás” ebből gyakorlati módszert csinál.

Összefoglalás

• A kimenetel egy teljes pálya, az események pályák halmazai, az információ pedig filtráció: az $\mathcal{F}_0 \subset \mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2 \subset \mathcal{F}_3$ σ-algebrák napról napra bővülnek, és az $S_t$ ár $\mathcal{F}_t$-mérhető.
• A $\nu \ll \mu$ azt jelenti, hogy a $\mu$-nullhalmazok $\nu$-nullhalmazok; a Radon–Nikodym-tétel ekkor $\nu$-t $\mu$ újrasúlyozásaként írja fel a $Z = \frac{d\nu}{d\mu}$ sűrűséggel. Az ekvivalens mértékeknek közösek a nullmértékű halmazaik és a majdnem biztos állításaik, ezért cserélhető $\mathbb{P}$ $\mathbb{Q}$-ra.
• Az ár $\mathbb{Q}$ szerinti integrál ($7{,}475$), nem $\mathbb{P}$ szerinti ($9{,}14155$); a kettőt az $\mathbb{E}_{\mathbb{Q}}[X] = \mathbb{E}_{\mathbb{P}}[Z X]$ köti össze, ahol $Z = 0{,}7513;\ 0{,}9183;\ 1{,}1223;\ 1{,}3717$ a pályákon.
• A rétegezési képlet a call árat az $\int_K^\infty \mathbb{Q}(S_T > s) \, ds$ területként írja fel, így a call árak kötési ár szerinti különbségei és másodrendű különbségei megadják a végső ár $\mathbb{Q}$ szerinti eloszlását.
• A kockáztatott érték a veszteség egy kvantilise $\mathbb{P}$ alatt, az első nap utáni érték pedig $\mathbb{Q}$ alatti feltételes várható érték, egy blokkátlag, amelynek maga az átlaga az ár.
• A folytonos idejű árak határértékek: az eloszlásbeli konvergencia az egyenletes integrálhatósággal, a dominált konvergencia és a nagy számok törvényei indokolják az átmenetet a fáktól a Black–Scholes-képlethez és a Monte Carlóhoz.