Egy σ-algebrára vett feltételes várható érték X legjobb becslése, ha csak azt tudod, az információ melyik blokkjába esett a kimenetel: X átlaga azon a blokkon. A becslés maga is véletlen, hiszen a blokkal együtt változik, de csak azt használja, amit a megfigyelő lát. Minél több az információ, annál kisebbek a blokkok, és annál közelebb kerül a becslés X-hez. A második oldal a valószínűségi mértéket súlyozással cseréli, ez a Girsanov-tétel és a kockázatsemleges árazás alapötlete.
Egy 𝒢 σ-algebra esetén E[X | 𝒢] az a 𝒢-mérhető valószínűségi változó, amely a 𝒢 minden eseményén átlagosan megegyezik X-szel. Ha 𝒢-t blokkok generálják, ez egyszerűen X blokkátlaga, amelyet a blokk minden kimeneteléhez hozzárendelünk. Ez X legjobb előrejelzése a legkisebb négyzetek értelmében, csak a 𝒢-ben lévő információt használva. Ha semmire nem feltételezünk, a szokásos várható értéket kapjuk, ha mindenre, magát X-et.
A becslések átlaga visszaadja az egyszerű várható értéket: E[E[X | 𝒢]] = E[X]. Általánosabban: ha előbb egy finom, majd egy durvább σ-algebrára feltételezünk, az eredmény ugyanaz, mintha rögtön a durvábbra feltételeztünk volna. A később elfelejtett információ nem hagy nyomot. Ezért marad konzisztens az időben a martingál, az a folyamat, amelynek a jövőre vonatkozó legjobb becslése a mai érték.
Válaszd ki, mit tudsz két kockáról, és nézd egy érték, például a nagyobbik kocka becslését: minden blokkon állandó. Hasonlítsd a becslés négyzetes hibáját a szórásnégyzettel, ami az információ nélküli tipp hibája, és nézd, ahogy a hiba a blokkok finomodásával csökken. A második oldalon súlyozd át a mintákat dQ/dP-vel, és nézd, hogyan lesz a standard normálisból eltolt normális egyetlen pont elmozdítása nélkül.
Nem. A kimenetelek és az értékeik pontosan ugyanazok maradnak, csak a súlyok változnak. Az új Q mértéket úgy kapjuk, hogy minden kimenetelhez dQ/dP súlyt rendelünk, és a Q alatti várható értékek a súlyozott változó P-várható értékei. A Girsanov-tétel megadja ezt a súlyt egész Brown-pályákra. Az árazásban a valós P és a kockázatsemleges Q minden pályát közösen használ, csak abban különböznek, mennyit számít egy-egy pálya.