A Riemann-integrál az x-tengely mentén haladva magasság szorozva szélesség tagokat ad össze. A Lebesgue-integrál ehelyett az y-tengelyt szeleteli: minden szintet megszoroz annak a halmaznak a hosszával, ahol a függvény eléri azt a szintet. Szép függvényekre a kettő egyezik. A Lebesgue-féle változat akkor is működik, ha a függvény mindenhol ugrál, és a pontok semmilyen sorrendjét nem igényli, ezért a várható értékek Lebesgue-integrálok. Ezek az oldalak ugyanazon a területen hasonlítják össze a két utat, majd rendezéssel számolnak ki egy várható pontszámot.
A Riemann-integrál az értelmezési tartományt vékony sávokra vágja, és sávszélesség szorozva magasság tagokat összegez. A Lebesgue-integrál az értékkészletet vágja szintekre, és minden szintet megszoroz annak a halmaznak a mértékével, ahol a függvény körülbelül azt az értéket veszi fel. A Lebesgue-összeghez csak az ilyen halmazok mérete kell, balról jobbra rendezés nem, ezért táblákon, pályaterekben és bármely mértéktéren is működik. Folytonos függvényekre mindkettő ugyanazt a számot adja.
X várható értéke az értékek szerinti összeg: érték szorozva az elérésének valószínűségével. Ez már maga is Lebesgue-összeg: a kimeneteleket aszerint csoportosítod, milyen értéket vesz fel X, és minden csoportot a valószínűségével súlyozol. Egy céltáblán rendezd a táblát 10, 5, 2, 1 és 0 pontot érő tartományokra, és add össze a pontszám × terület tagokat. Koordináták nem kellenek, és ugyanez a recept egy véletlen árfolyampályára is működik.
Az első oldalon válassz egy integrandust, és finomítsd a Riemann-sávokat és a Lebesgue-szinteket: sima függvényre mindkét összeg ugyanahhoz a területhez tart. Aztán válaszd a Dirichlet-függvényt, amely a racionálisokon 1, máshol 0. A Riemann-sávok sosem állnak be, a Lebesgue-összeg viszont pontosan 0. A második oldalon váltsd a dobót egyenletesről célzottra: a pontszámok maradnak, csak a mérték változik.
Azokra a függvényekre, amelyeket mindkét módszer kezel, igen. A nyereség a hatókör és a jó viselkedés: több függvény integrálható, és a függvények határértéke világos feltételekkel átvihető az integrálon, ez a konvergenciatételek tartalma. Ennek köszönhetően cserélhető meg a határérték és a várható érték a bizonyításokban és a Monte Carlo-érvekben. A Riemann-integrál ezt nem tudja, ezért a modern valószínűségszámítás Lebesgue-fogalmakkal van megfogalmazva.