Kedvezőtlen kiválasztás és informált kereskedés

A market maker (árjegyző) a spreadet olyan ügyfelektől keresi meg, akikről semmit sem tud. A „Market makerek és a likviditás” lecke megmutatta, mekkora egy oda-vissza kötés bevétele, ha a mid ár nem mozdul, „A sorban elfoglalt hely és a teljesülés valószínűsége” pedig azt, hogy egy várakozó megbízás gyakran épp az ár ellene irányuló mozgása előtt teljesül. Ez a lecke megmagyarázza, miért: néhány ügyfél azért kereskedik, mert tudja, merre megy az ár. A kárt markouttal méri, levezeti, mibe kerül egy ilyen ügyfél, és megmutatja, hogyan tolja ez a költség kifelé a legjobb spreadet.

Informált és nem informált ügyfelek

A zajkereskedő olyan okból kereskedik, ami nem függ a következő ármozgástól: befekteti a fizetését, készpénzt teremt, egy alap portfólióját igazítja vagy egy másik pozíciót fedez. Rövid távon az ilyen kötés után a mid ár ugyanolyan eséllyel emelkedik, mint amilyennel esik. Az informált kereskedő azért kereskedik, mert ármozgást vár: az emelkedés előtt vesz, az esés előtt elad.

A market maker jegyzései annak a könyvnek a legjobb bidje és askja, amelyet „A limitáras ajánlati könyv” ír le, és bárki rájuk üthet. A maker a kötés pillanatában nem tudja megkülönböztetni a két ügyféltípust. Az informált vevőnek az askon ad el, az ár ezután emelkedik, és a maker rövid pozícióban marad valamiben, ami többet ér annál, amennyit kapott érte. Ez a kedvezőtlen kiválasztás: a maker kötései nem véletlen minták, mert azok akarnak a leginkább vele kötni, akik nyereséget várnak.

Markout

A markout utólag méri ezt. Vegyünk egy teljesülést a $t$ időpontban és egy $h$ horizontot. Legyen $\varepsilon = +1$, ha a maker vett, és $\varepsilon = -1$, ha eladott, $m$ pedig a mid ár. A markout a teljesülés utáni mid ármozgás a maker oldaláról előjelezve:

A pozitív markout azt jelenti, hogy az ár a maker javára mozdult. A $t+h$ időpont mid árához értékelve egy darab, az $m_t - \delta$ biden vett egység a makernek $\delta + M_h$-t ér: a megszerzett fél spreadet plusz a markoutot. Zajteljesülések után az átlagos markout nulla, így a maker megtartja a $\delta$ fél spreadet. Informált teljesülések után az átlagos markout negatív, és elviszi a $\delta$ egy részét vagy egészét.

A market maker bevételének modellje

A maker szimmetrikusan jegyez, a bid $m - \delta$, az ask $m + \delta$, ahol a $\delta$ fél spread centben van. Az ügyfelek másodpercenként $\lambda$ ütemben érkeznek, és közülük $\pi$ arányban informáltak.

• A zajügyfél egyenlő eséllyel vesz vagy ad el, és a midtől $\delta$ távolságra lévő árat $e^{-k\delta}$ valószínűséggel fogadja el: minél szélesebb a jegyzés, annál kevesebben élnek vele. A maker kötésenként $\delta$-t keres, így egy zajérkezés átlagosan $\delta\,e^{-k\delta}$-t ér.
• Az informált ügyfél ismeri az érték következő $h$ másodperc alatti $\Delta V$ változását. Ha a volatilitás $\sigma$ cent $\sqrt{\text{s}}$-onként, a $\Delta V$ normális eloszlású 0 várható értékkel és $s = \sigma\sqrt{h}$ szórással. Az askon vesz, ha $\Delta V > \delta$, és a biden ad el, ha $\Delta V < -\delta$; különben a spread elvinné a nyereségét, ezért kimarad.

Egy informált ügyfélen várható veszteség

Tegyük fel, hogy az informált ügyfél az $m + \delta$ áron vesz, mert $\Delta V > \delta$. $h$ másodperc múlva az eladó maker vesztesége az, amennyivel az érték meghaladja a kapott árat, a spreadet levonva:

Várható értéke az $E[(\Delta V - \delta)^+]$ részleges várható érték. Írjuk $\Delta V = sZ$ alakban, ahol $Z$ standard normális, sűrűségfüggvénye $\varphi$, eloszlásfüggvénye $\Phi$, és legyen $a = \delta/s$:

Mivel $\varphi'(z) = -z\,\varphi(z)$, az első integrál értéke $\varphi(a)$. Ezért

Szimmetria miatt az eladási oldal ugyanennyibe kerül, így egy informált érkezés a makernek várhatóan $2L(\delta)$-ba kerül. Nulla spreadnél $L(0) = s\,\varphi(0) = s/\sqrt{2\pi} \approx 0{,}399\,s$, és $L$ nullához tart, ha a $\delta$ az $s$ néhány többszöröse fölé nő.

A bevételi ráta és a legjobb spread

A zajérkezések üteme $\lambda(1-\pi)$, az informált érkezéseké $\lambda\pi$, így a maker várható bevétele másodpercenként

Informált ügyfelek nélkül $\pi = 0$ és $R(\delta) = \lambda\,\delta\,e^{-k\delta}$. A deriváltja $\lambda\,e^{-k\delta}(1 - k\delta)$, ami $\delta = 1/k$-nál nulla: ez a legjobb fél spread, ha mindenki zajkereskedő.

$\pi > 0$ esetén szükségünk van $L'(\delta)$-ra. Az $L$-t $a = \delta/s$ mellett deriválva $-a\varphi(a) - (1 - \Phi(a)) + a\varphi(a)$ adódik, tehát $L'(\delta) = -(1 - \Phi(\delta/s))$: ha a spreadet egy kicsit szélesítjük, a maker pont annak a valószínűségével spórol, hogy egy informált ügyfél még így is kötne az egyik oldalon. Az $R'(\delta) = 0$ feltételből az elsőrendű feltétel:

A jobb oldal pozitív, tehát a bal oldalnak is az kell legyen, ami $k\delta > 1$-et igényel: a legjobb fél spread $1/k$ fölött van, és kifelé mozdul, ha a $\pi$ vagy az $s$ nő. Van egy második hatás is. $\delta = 0$-nál a bevétel $-2\pi\lambda L(0) < 0$, vagyis spread nélkül a maker veszít. Az a legkisebb $\delta_0$ fél spread, amelyre $R(\delta_0) = 0$, a nullszaldós spread: a zajbevétel épp fedezi az informáltakon vesztett összeget. Alatta az átlagos érkezés pénzbe kerül a makernek, bármekkora is a forgalom.

Informált ügyfelek nélkül a legjobb fél spread $1/k = 2$¢. 20% informált mellett kb. 2,29¢, tehát az informáltak a maker bevételének mintegy negyedébe kerülnek 2¢-nél, és a legjobb jegyzést is kifelé tolják.

Az ábra az $R(\delta)$ görbét rajzolja cent per percben. A szaggatott görbe ugyanez az áramlás informált ügyfelek nélkül; a folytonos az aktuális informált aránnyal készült. A függőleges vonalak a nullszaldós és a legjobb fél spreadet jelölik. Az alapértékeknél (20% informált, volatilitás 1) a szaggatott görbe 2¢-nél éri el a csúcsát, a folytonos 2,29¢-nél, 132,7¢ per perccel, a nullszaldós érték pedig 0,32¢. A fogantyú 2¢-es kezdőhelyén a maker 141,3¢-et keres a zajügyfeleken és 10,2¢-et veszít az informáltakon, nettó 131,0¢. Húzd végig a fogantyút a grafikonon, majd emeld az informált arányt 40%-ra: a legjobb fél spread 2,64¢-re, a nullszaldós 0,74¢-re mozdul. Állítsd a volatilitást 2-re 20% mellett: a legjobb fél spread 2,85¢, a nettó bevétel 2¢-nél 83,1¢-re csökken.

Toxikus megbízásáramlás a gyakorlatban

A valódi makerek nem látják a $\pi$-t és az $s$-t, de ki tudják számolni a markout-görbéket: az $M_h$ átlagát a másodperc törtrészétől több percig terjedő horizontokra, ügyfél, piac, megbízásméret vagy stratégia szerint bontva. Azt az áramlást nevezik toxikusnak, amelynek markout-görbéje esik és negatív marad; az a jóindulatú, amelynek görbéje nulla közelében marad. A maker az utóbbinak szűkebben és nagyobb mennyiségben jegyez, az előbbinek szélesebben, vagy egyáltalán nem.

Ezért szegmentálják az áramlást. A brókerek és a piacok elválasztják a kisbefektetői megbízásokat, amelyek ritkán hordoznak információt a következő másodpercekről, a gyors, professzionális megbízásoktól, és a maker az előbbiekre megengedhet magának szűk spreadet. A nagykereskedő makerek azért fizetnek a brókereknek a kisbefektetői megbízásáramlásért, mert annak markoutja nulla közeli. Az informált ügyfelek nem tűnnek el; az összes többi ügyfél által látott spreadbe vannak beárazva.

A markout a $h$ horizonttól függ. Ha túl rövid, az információ még nem ért be az árba; ha túl hosszú, a független zaj elnyomja az átlagot. A desk a teljes görbét nézi, nem egyetlen számot.

Összefoglalás

• A market maker a kötés pillanatában nem tudja megkülönböztetni az informált és a zajügyfeleket, ezért a teljesülései kedvezőtlenül kiválasztottak.
• Az $M_h = \varepsilon\,(m_{t+h} - m_t)$ markout a zajteljesüléseknél átlagosan nulla, az informált teljesüléseknél negatív.
• Egy informált érkezés $2L(\delta)$-ba kerül, ahol $L(\delta) = s\,\varphi(\delta/s) - \delta\,(1 - \Phi(\delta/s))$ és $s = \sigma\sqrt{h}$.
• A bevétel $R(\delta) = \lambda[(1-\pi)\,\delta e^{-k\delta} - 2\pi L(\delta)]$; a legjobb fél spread az informált arány növekedésével $1/k$ fölé mozdul, és a nullszaldós spread alatt a maker átlagosan veszít.