Visszahívható kötvények és negatív konvexitás

A „Kötvényárak és hozamok” és a „Duráció és konvexitás” című lecke olyan kötvényeket árazott, amelyek pénzáramai előre rögzítettek. Sok vállalati és ügynökségi kötvény nem ilyen: a kibocsátó korábban visszafizetheti. Ez a lecke ezt a jogot a kibocsátó kezében lévő opcióként kezeli, megmutatja, hogyan korlátozza a kötvény árát, amikor a hozamok csökkennek, és megmagyarázza, miért lehet egy ilyen kötvény konvexitása negatív. Az opciókat a „Határidős ügyletek, call és put opciók” című lecke vezette be; itt csak annyi kell, hogy az opció jog, kötelezettség nélkül. Jelölés: $F = 100$ névérték, éves $c$ szelvény, éves kamatozású $y$ hozam, $P$ ár.

A visszahívási jog

A visszahívható kötvényt a kibocsátó egy rögzített visszahívási áron, többnyire névértéken, visszavásárolhatja a tulajdonostól egy első visszahívási időponttól kezdve. Az ezt megelőző évek a visszahívási védelem időszaka. Vegyünk egy tízéves, 6%-os szelvényű kötvényt, amely 3 év után 100-on visszahívható. Ha a kibocsátó piaci hozama 4%-ra csökken, egy új hétéves kötvény évi 6% helyett 4%-ba kerülne neki. Ekkor 100-on visszahívja a régi kötvényt, és újrafinanszírozza magát. Ha a hozamok nőnek, megtartja az olcsó, 6%-os adósságot. A tulajdonos mindkét irányban a rosszabbik kimenetet kapja: alacsony újrabefektetési kamatot, ha visszahívják a kötvényt, és csökkenő árat, ha nem.

A visszahívható kötvény mint fix kötvény mínusz egy vételi opció

A visszahívható kötvény tartása ugyanaz, mint egy azonos szelvényű és lejáratú fix kötvény tartása, miközben a tulajdonos eladott a kibocsátónak egy vételi opciót erre a kötvényre, a visszahívási árral mint kötési árral:

Az opciónak azért van értéke, mert a jövőbeli hozam bizonytalan. Egy kétállapotú szemléltetés: tegyük fel, hogy 3 év múlva a hozam vagy 4%, vagy 8%, mindkettő fél valószínűséggel, és a diszkontálás 5%-kal történik. A hátralévő hétéves kötvény ekkor $112{,}00$-t vagy $89{,}59$-et ér. Az alacsony hozamú állapotban a kibocsátó visszahívja és 100-at fizet, így $12{,}00$-t vesz el a tulajdonostól; a magas hozamú állapotban nem történik semmi. Ma az opció nagyjából ennyit ér:

A visszahívható kötvény egy fix kötvény mínusz a kibocsátónak eladott vételi opció. A tulajdonos az opcióért alacsonyabb árat, azaz magasabb hozamot kap, mint egy hasonló fix kötvényen.

Ismételjük meg a kétállapotú példát szélesebb tartománnyal: 3 év múlva a hozam 3% vagy 7%, ismét fele-fele valószínűséggel, 5%-os diszkontálással.

A jövőbeli hozamok szélesebb szóródása értékesebbé teszi az opciót (5,18 helyett 8,07), a visszahívható kötvényt pedig olcsóbbá.

Lejáratig, visszahívásig és legrosszabb esetre számított hozam

Egy visszahívható kötvénynek több természetes hozama van. A lejáratig számított hozam feltételezi, hogy a kötvényt soha nem hívják vissza. A visszahívásig számított hozam feltételezi, hogy az első visszahívási időpontban visszahívják: addig szelvényeket fizet, utána a visszahívási árat. A befektetők általában a legrosszabb hozamot jegyzik, a kettő közül az alacsonyabbat, mert a kibocsátó a számára olcsóbb, vagyis a tulajdonos számára rosszabb kimenetet választja.

Számpélda

A tízéves, 6%-os kötvény fix változata 5%-os piaci hozam mellett

Az opciót a kötvényre szóló opcióként értékeljük az első visszahívási időpontban: 3 év múlva a hozam bizonytalan (lognormális 5% körül, évi 20%-os volatilitással), a kibocsátó akkor hív vissza, ha a hátralévő hétéves kötvény 100-nál többet ér, és a kifizetést visszadiszkontáljuk. Így $C_{\text{opció}} \approx 7{,}13$, a visszahívható kötvény tehát nagyjából $100{,}59$-et ér. Ezen az áron:

• lejáratig számított hozam: 5,92%;
• visszahívásig számított hozam (3 évig szelvény, utána 100): 5,78%;
• legrosszabb hozam: 5,78%.

Az 5%-os piaci hozam és a visszahívható kötvény lejáratig számított hozama közötti 92 bázispont, illetve az árban mutatkozó 7,13 pont a tulajdonos ellentételezése a visszahívási jogért.

Árkompresszió és negatív konvexitás

Csökkenő hozamok mellett a fix kötvény ára tovább emelkedik. A visszahívható kötvényé sokkal kevésbé, mert a magasabb ár valószínűbbé teszi a visszahívást: az ára a visszahívási ár felé nyomódik össze. 5%-ról 4%-ra a fix kötvény $8{,}50$-et nyer, a visszahívható csak $4{,}09$-et. 5%-ról 6%-ra a fix kötvény $7{,}72$-t veszít, a visszahívható $4{,}75$-öt. A durációt és a konvexitást ezért a tényleges árfüggvényen mérjük, a hozamot egy kis $\Delta y$-nal mindkét irányba eltolva:

5%-on, $\Delta y = 0{,}1\%$-kal a visszahívható kötvény effektív durációja nagyjából 4,42, szemben a fix kötvény 7,52-es módosított durációjával, effektív konvexitása pedig nagyjából $-68$, szemben a $+72$-vel. A negatív konvexitás azt jelenti, hogy az árgörbe rossz irányba hajlik: a tulajdonos többet veszít a hozamok emelkedésén, mint amennyit ugyanakkora csökkenésen nyer. Ott jelentkezik, ahol a visszahívási jog értékes, a szelvénykamat körül és alatta. Magas hozamoknál a jog szinte semmit sem ér, és a visszahívható kötvény ismét úgy viselkedik, mint a fix.

Hosszabb visszahívási védelem csökkenti az opció értékét: 5%-on 5 év védelemmel az opció 5,53-at ér és a kötvény 102,20-at; ha az első szelvényfizetéstől visszahívható, az opció 7,74-et ér és a kötvény 99,98-at. Ez a modell szándékosan egyszerű: csak az első visszahívási időpontban enged visszahívást. Egy teljes értékelés a védelmi időszak után minden időpontban megengedi a visszahívást, és a jövőbeli kamatlábak fáját építi fel, a „Többlépéses fák és visszafelé indukció” szellemében.

Az ábrán a fix kötvény ár–hozam görbéje a visszahívható kötvényé fölött fut, a kettő közötti sáv a visszahívási opció értéke. Húzd a pontot a hozamtengely mentén, vagy jelöld ki és használd a nyílbillentyűket. A szaggatott vonal az érintő az adott hozamnál, a pont fölötti felirat pedig megmondja, hogy ott a visszahívható görbe konvex vagy konkáv. A kijelzők mutatják a két árat, az opció értékét, a három hozamot, valamint az effektív durációt és konvexitást. Vidd a pontot 9%-ról 3%-ra, és figyeld, ahogy a sáv szélesedésével a felirat negatív konvexitásra vált. Ezután változtasd a visszahívási védelmet, és nézd, hogyan keskenyedik a sáv a védelem hosszabbodásával.

Összefoglalás

• A visszahívható kötvény feljogosítja a kibocsátót, hogy a védelmi időszak után a visszahívási áron visszafizesse.
• Az ára a fix kötvény ára mínusz a kibocsátó vételi opciójának értéke; a tulajdonost magasabb hozam kárpótolja.
• A legrosszabb hozam, a lejáratig és a visszahívásig számított hozam közül az alacsonyabb, az óvatos jegyzés.
• A szelvénykamat körül és alatta az ár a visszahívási ár felé nyomódik össze: az effektív duráció csökken, a konvexitás negatívvá válik.

A következő lecke, a „Hitelkockázat: csődvalószínűség és hitelfelár”, egy másik okot vizsgál, amiért egy kötvény kevesebbet fizethet az ígértnél: a kibocsátó esetleg egyáltalán nem fizet.