Annuitások, örökjáradékok és hiteltörlesztés

Sok pénzügyi szerződés rendszeres időközönként ugyanakkora összeget fizet: egy nyugdíj, egy lízing, egy kötvény kamatszelvényei, egy jelzáloghitel részletei. Kifizetésenként is értékelhetők, de ez lassú, és elfedi a szerkezetet. Ez a lecke zárt képleteket vezet le az ilyen pénzáramokra a „Kamat, kamatozás és diszkontálás” című lecke diszkontálására építve, majd alkalmazza őket egy hitel törlesztésére.

A lecke végig évi egy kifizetéssel és évente tőkésített $r$ kamatlábbal számol, és ha mást nem mondunk, az első kifizetés egy év múlva esedékes.

Utólagos annuitás

Az annuitás $n$ darab egyenlő, $C$ nagyságú kifizetés az $1, 2, \dots, n$. év végén. Jelenértéke a diszkontált kifizetések összege:

Ez egy mértani sor, amelynek első tagja $C/(1+r)$, hányadosa $q = 1/(1+r)$. Az $a + aq + \cdots + aq^{n-1} = a\,(1 - q^n)/(1 - q)$ összefüggést használva és egyszerűsítve

A tört az annuitásfaktor: évi 1 egység $n$ éven át tartó kifizetésének jelenértéke. Ha a jelenértéket $n$ évvel előre kamatoztatjuk, megkapjuk az utolsó kifizetés napjára vonatkozó jövőértéket:

Példa: évi 1000 tíz éven át, $r = 6\%$ mellett. Az annuitásfaktor $(1 - 1{,}06^{-10})/0{,}06 \approx 7{,}3601$, így $\text{PV} \approx 7360{,}09$ és $\text{FV} \approx 13\,180{,}79$. A tíz kifizetés összesen 10 000, ma mégis csak 7360,09-et ér, mert a legtöbbjük évek múlva érkezik.

Előleges annuitás

Ha minden kifizetés az év elején esedékes, mint például a bérleti díj, akkor előleges annuitásról beszélünk. Minden kifizetés egy évvel korábban érkezik, ezért minden diszkontált tag $(1+r)$-szeresére nő:

A példában $1{,}06 \times 7360{,}09 \approx 7801{,}69$.

Örökjáradékok

Az örökjáradék minden évben $C$-t fizet, örökké. Az annuitásképletben $n \to \infty$ esetén $(1+r)^{-n} \to 0$, így

A növekvő örökjáradék egy év múlva $C$-t fizet, utána pedig állandó $g$ ütemben nő: $C$, $C(1+g)$, $C(1+g)^2$ és így tovább. A sor ismét mértani, hányadosa $(1+g)/(1+r)$, és csak $g < r$ esetén konvergens:

$r = 6\%$ mellett egy 1000-es örökjáradék értéke $1000/0{,}06 \approx 16\,666{,}67$. Ha a kifizetés évente 2%-kal nő, az értéke $1000/0{,}04 = 25\,000$. A növekvő örökjáradék képlete áll a vállalatértékelésben használt maradványérték mögött.

Annuitásfaktor $(1 - (1+r)^{-n})/r$, örökjáradék $C/r$, növekvő örökjáradék $C/(r - g)$, ha $g < r$. Mindhárom diszkontált kifizetések mértani összege.

A hitel törlesztőrészlete

Egy $L$ összegű, $n$ éves, egyenlő részletekben törlesztett hitel a hitelező szemszögéből annuitás: ma kifizet $L$-et, és $n$ egyenlő, $C$ nagyságú részletet kap. A hitel akkor van korrekt áron, ha a részletek jelenértéke éppen $L$, tehát

Példa: 200 000 hitel 6%-os kamattal, 10 évre. Az annuitásfaktor 7,3601, így az éves részlet $200\,000 / 7{,}3601 \approx 27\,173{,}59$. A futamidő alatt az adós $10 \times 27\,173{,}59 \approx 271\,735{,}92$-t fizet, ebből 71 735,92 a kamat.

A törlesztési terv

Minden részlet két részre bomlik. A kamatrész a kamatláb szorozva az év elején még fennálló tartozással. A részlet többi része tőketörlesztés, és ennyivel csökken a tartozás:

A fenti hitelre, $B_0 = 200\,000$, $r = 6\%$ és $C = 27\,173{,}59$ mellett a törlesztési terv első két sora:

A futamidő kiszámítása

Ugyanez az egyenlet meg is fordítható. Ha az adós $C$ nagyságú részletet tud vállalni, az $L$ visszafizetéséhez szükséges évek száma az $L = C\,(1 - (1+r)^{-n})/r$ egyenletből logaritmálással adódik:

Ha a 200 000-es, 6%-os hitelre évi 20 000-et fizetünk, akkor $n = -\ln(1 - 0{,}6)/\ln 1{,}06 \approx 15{,}73$ év, vagyis a gyakorlatban 16 részlet, amelyek közül az utolsó kisebb. A képletből egy korlát is kiolvasható: ha $C \le L\,r = 12\,000$, a részlet még az első év kamatát sem fedezi, és a hitel soha nem fizethető vissza. A kamatlábra viszont nincs zárt képlet; azt numerikusan kell meghatározni, pontosan úgy, mint a következő lecke belső megtérülési rátáját.

A részletek összetételének változása

A részlet ugyanakkora marad, de az összetétele eltolódik. Kezdetben nagy a tartozás, ezért a részlet nagyobbik része kamat; ahogy a tartozás csökken, a kamatrész zsugorodik, a tőkerész nő. A tartozás a szerkesztés miatt pontosan az utolsó részlettel válik nullává.

Az ábra a teljes törlesztési tervet mutatja. Minden oszlop egy év részlete, kamatra (alul) és tőkére (felül) bontva; a szaggatott vonal a jobb oldali tengelyen az egyes évek végén fennmaradó tartozás. Kattints egy évre, vagy lépj rá a Tab billentyűvel és nyomj Entert, és az ábra alatt megjelenik a törlesztési terv adott sora kiszámolva. Kezdd az 1. évvel az alapbeállításnál (10 év, 6%), majd állítsd a futamidőt 30 évre: a részlet nagyjából 14 530-ra csökken, de az első részlet 82,6%-a már kamat, és az összes kamat több lesz, mint maga a hitel.

Összefoglalás

• Egy $n$ éves, évi $C$ nagyságú annuitás ma $C\,(1 - (1+r)^{-n})/r$-t ér; az előleges annuitás ennek $(1+r)$-szeresét.
• Az örökjáradék értéke $C/r$, a növekvő örökjáradéké $C/(r - g)$, amíg $g < r$.
• Az egyenlő törlesztőrészlet a hitelösszeg osztva az annuitásfaktorral.
• Minden részlet a nyitó tartozás kamata plusz tőketörlesztés; a korai részletek nagyrészt kamatok, és hosszabb futamidőnél az arány még inkább a kamat felé tolódik.

A következő lecke, a „Nettó jelenérték és belső megtérülési ráta”, olyan projekteket értékel, amelyek pénzáramai nem egyenletesek: mindegyiket külön diszkontálja ugyanezekkel az eszközökkel.