Aritmetikai Brown-mozgás szimulációja drifttel és volatilitással; több mintapálya időbeli alakulása.
Kvantilis-legyező (5–25–50–75–95%). Húzd a vízszintes szintet a pályafelhőn (vagy fókuszáld és használd a nyilakat). Jelölj ki oszlopokat a hisztogramon (kattintás vagy húzás), és kiemeli az ott végző pályákat. Esc törli. Lejátszáskor a pályák az idő előrehaladtával kirajzolódnak, a hisztogram pedig a t időpontbeli értékek eloszlását mutatja: a szórás √t ütemében nő.
Húzd a korlátot a pályafelhőn (vagy fókuszáld és használd a nyilakat). A korlátot elérő pályák attól a pillanattól színesek, amikor először érintik.
Az elméleti görbe és arány drift nélküli (μ = 0), 0-ból induló mozgást feltételez. Ekkor a tükrözési elv szerint P(τ_b ≤ T) = 2·P(W_T ≥ b), és τ_b sűrűsége |b|/(σ√(2πt³))·e^(−b²/(2σ²t)). A pályák 200 lépéses rácson készülnek, így egy pálya két rácspont között átléphet b-n anélkül, hogy észrevennénk; ezért a szimulált arány kicsit az elméleti alatt marad.
μ ≠ 0 esetén a fenti képlet nem érvényes, ezért csak a szimulált értékek látszanak.
A pályák hány százaléka érinti legalább egyszer a b = 0.50 korlátot T = 1.00-ig?
A Brown-mozgás a pénzügyi modellek szívében álló folytonos idejű véletlen séta. A szimulátor aritmetikai Brown-mozgást rajzol választott sodródással és volatilitással, reprodukálható, maggal generált pályákkal, így látszik, hogy a sodródás adja a trendet, a volatilitás pedig az idővel növekvő szórást.
A μ sodródás az időegységenkénti átlagos változás, az átlagos pálya meredeksége. A σ volatilitás a véletlen részt skálázza; az átlag körüli szórás σ√t szerint nő.
Igen. Az értéke normális eloszlású, így bármilyen valós értéket felvehet. Ezért modellezik a részvényárakat inkább geometriai Brown-mozgással.
Folytonos idejű véletlen folyamat, amelynek nem átfedő intervallumokon vett változásai függetlenek és normális eloszlásúak, varianciájuk pedig arányos az intervallum hosszával. Az árak és kamatlábak kiszámíthatatlan részét modellezi; az aritmetikai Brown-mozgás, X_t = X₀ + μt + σW_t, ehhez állandó driftet ad.
Egy rövid Δt intervallumon a tipikus elmozdulás σ√Δt nagyságú, ami jóval nagyobb, mint maga Δt. Ezért a pálya nagyítva sem válik egyenessé: a Brown-mozgás folytonos, de sehol sem differenciálható.