Brown-transzformációk és invariancia

Ha egy Brown-pályát tükrözünk, nyújtunk, újraindítunk vagy megfordítjuk az időt, Brown-pályát kapunk?

Lásd be, hogy W négy természetes transzformációja is Brown-mozgás: mindegyik varianciája t.

Egy pálya, négy transzformáció

Tükrözés: −W(t)

Skálázás: W(2·t)/√2

Időinverzió: t·W(1/t)

Újraindítás: W(t + 0.5) − W(0.5)

Mindegyik színes pálya új Brown-pályának látszik. Az időinverziót t = 0,02-től rajzoljuk.

Tapasztalati variancia 400 pályán

Var = tTükrözés: −W(t)Skálázás: W(2·t)/√2Időinverzió: t·W(1/t)Újraindítás: W(t + 0.5) − W(0.5)

Mind a négy tapasztalati variancia a szaggatott Var = t egyenesen fekszik: a transzformáltak varianciája ugyanaz, mint W-é.