Itô-lemma a logaritmusra: GBM esetén d ln S = (μ − ½σ²)dt + σ dW. A korrigált drift a naiv μ alatt marad.
A pálya 50 növekményből áll. Mindegyik ΔW normális eloszlású, várható értéke 0, varianciája Δt = 0.020. Ezek összege adja W(t)-t.
Egyetlen Brown-pályán: a bal oldal f(W_t) − f(0), a jobb oldal az Itô-összeg Σ f′(W)ΔW (bal végpontban kiértékelve) és a ½Σ f″(W)Δt korrekció. Növeld n-t: a korrigált összeg rátapad a bal oldalra, a korrekció nélküli nem.
Húzd az időkurzort (vagy fókuszáld és használd a nyilakat) az értékekhez t-ben.
A korrigált hiba n növelésével csökken; a korrekció nélküli a korrekció nagyságánál megáll.
Az Itô-lemma a sztochasztikus analízis láncszabálya. A geometriai Brown-mozgás logaritmusára alkalmazva megmutatja, hogy a logárak μ − ½σ² ütemben sodródnak, nem μ-vel. A vizualizáció láthatóvá teszi ezt a −½σ²-es korrekciót, és megmagyarázza az eredetét: a Brown-mozgás kvadratikus variációját.
A Brown-növekmények √dt nagyságrendűek, így (dW)² úgy viselkedik, mint dt, és nem tűnik el. A ½f″σ²dt másodrendű Taylor-tag ezért megmarad, a közönséges analízissel ellentétben.
Ez a rés a μ számtani átlaghozam és egy tipikus pálya növekedési üteme között. Nagyobb volatilitás változatlan átlaghozam mellett is csökkenti egyetlen befektetés hosszú távú növekedését.
dX = a(t, X) dt + b(t, X) dW alakú folyamat: egy drifttag és egy Brown-mozgás által hajtott tag összege. A drifttel rendelkező Brown-mozgás, a geometriai Brown-mozgás és az átlaghoz visszahúzó kamatlábmodellek mind Itô-folyamatok, az Itô-lemma pedig megmondja, hogyan változik ezek bármely sima függvénye.
Az f(S) = ln S függvényre f′ = 1/S és f″ = −1/S². Ha dS = μS dt + σS dW, az Itô-lemma szerint d(ln S) = (μ − ½σ²) dt + σ dW, vagyis a logaritmikus ár μ − ½σ² driftű Brown-mozgás.