Az alábbi két modell S₀ = 100-ról indul, és pontosan ugyanazok a véletlen sokkok hajtják. Egyetlen különbség, hogyan hat a sokk: az ABM egy fix összeget ad hozzá, a GBM egy százalékkal szoroz.
| Aritmetikai BM | Geometriai BM | |
|---|---|---|
| Dinamika | dSt=μS0dt+σS0dWt | dSt=μStdt+σStdWt |
| Megoldás | St=S0+μS0t+σS0Wt | St=S0e(μ−21σ2)t+σWt |
| Egy sokk ennyivel mozdítja az árat | fix összeggel, σS₀√dt·Z, minden árszinten ugyanannyival | az aktuális ár σ√dt·Z százalékával, így a mozgás az árral nő |
| S_T eloszlása | normális: szimmetrikus a várható értéke körül, mindkét irányban korlátlan | lognormális: jobbra ferde, S_T logaritmusa normális |
| Mehet 0 alá? | Igen, pozitív valószínűséggel | Soha: e^x > 0 |
| σ mértékegysége | árban mért (itt σS₀ √év-enként) | hozamban mért: százalék √év-enként |
| Tipikus használat | spreadek, P&L, Bachelier-modell, negatívba is forduló kamatok | részvényárak és indexek, Black–Scholes-modell |
A kiemelt pálya mindkét ábrán ugyanaz a sokksorozat. Az ABM-pályák egyenletesen szóródnak és átléphetik a nullát (piros vonal); a GBM-pályák felfelé jobban szétnyílnak, a nulla közelében összesűrűsödnek, de soha nem érik el.
Oszlopok: szimulált végértékek. Görbék: pontos eloszlások, ABM-nél normális, GBM-nél lognormális. Mindkettő ugyanazon a tengelyen.
Minden pont egy lépés: az előtte lévő ár (x) és az elmozdulás (y). Az ABM lépései vízszintes sávot adnak, minden árszinten ugyanakkorák. A GBM lépései az árral táguló legyezőt rajzolnak, mert a sokk százalékos.