# Véletlen bolyongás szimulátor: √t skálázás és centrális határeloszlás-tétel

Szimulálj pénzfeldobásos bolyongásokat, skálázd át őket Brown-mozgássá, nézd meg, miért nő a szórás √t szerint, és hogyan jelenik meg a centrális határeloszlás-tétel.

## Az eszközről

A véletlen bolyongás a sztochasztikus modellek diszkrét kiindulópontja: független ±1-es, pénzfeldobásos lépések összege, amely véletlenszerűen kóborol. A labor reprodukálható bolyongásokat szimulál, √n-nel átskálázza őket a Brown-mozgás felé, méri, hogyan nő a szórás az idővel, és megmutatja, hogyan tesz a centrális határeloszlás-tétel bármilyen lépések összegét normális eloszlásúvá.

## Gyakori kérdések

### Mi a szimmetrikus véletlen bolyongás?

Független lépések összege, amelyek egyenlő valószínűséggel +1 vagy −1. A várható értéke 0 marad, de a varianciája lépésenként 1-gyel nő, így n lépés után a kiindulóponttól mért tipikus távolság √n.

### Miért √t szerint nő a szórás, és nem t szerint?

A független lépések részben kioltják egymást. A független lépések varianciái összeadódnak, így a variancia lineárisan nő az idővel, a szórás — a négyzetgyöke — pedig √t szerint.

### Hogyan lesz a bolyongásból Brown-mozgás?

A lépésméretet 1/√n-re csökkentjük, és egységnyi idő alatt n lépést teszünk. Ahogy n nő, az átskálázott bolyongás Brown-mozgáshoz tart (Donsker-elv); innen folytatja a Brown-mozgás labor.

### Mit mond a centrális határeloszlás-tétel?

Sok független, véges varianciájú lépés standardizált összege közelítőleg normális eloszlású, bármilyen is egyetlen lépés eloszlása. Ezért néz ki egy hosszú bolyongás végpontja Gauss-eloszlásúnak.

## Az elmélet

- [Véletlen bolyongás és Brown-mozgás](https://quantsandbox.dev/hu/guide/stochastic/random-walks): Pénzfeldobásos bolyongás, a variancia lineáris növekedése és a határeset: a Brown-mozgás.
- [A nagy számok törvénye és a centrális határeloszlás-tétel](https://quantsandbox.dev/hu/guide/stochastic/law-of-large-numbers-clt): Miért állnak be az átlagok, milyen gyorsan, és miért bukkan fel a normális eloszlás: a Monte Carlo és a Brown-határátmenet mögötti két tétel.
- [Valószínűségi mezők, σ-algebrák és valószínűségi változók](https://quantsandbox.dev/hu/guide/stochastic/probability-spaces): Eseménytér, σ-algebra, valószínűségi mérték, mérhető függvény és a változó által generált σ-algebra.

Az interaktív eszköz megnyitása: https://quantsandbox.dev/hu/random-walk