# Valószínűségi változók függvényként: pörgettyű

A valószínűségi változó a kimenetel függvénye: pörgess meg egy mutatót, olvass le egy számot, és nézd, ahogy X eloszlása ívhosszakból áll össze. Labor.

## Az eszközről

A valószínűségi változó a kimenetel közönséges függvénye. Az egyetlen véletlen maga a kimenetel, itt az a szög, ahol a pörgettyű megáll. A változó ebből olvas ki egy számot, például a peremen lévő pont magasságát vagy azt a helyet, ahol a mutatóból induló sugár a falat éri. Annak kérdése, hogy X egy B halmazba esik-e, azt kérdezi, hogy a pörgettyű a megfelelő íveken állt-e meg, így P(X ∈ B) egy ív hossza. X eloszlása a pörgettyű egyenletes mértékének átvitele az értéktengelyre.

## Gyakori kérdések

### Mi is valójában a valószínűségi változó?

Egy X függvény az Ω kimenetelekből a valós számokba, egyetlen technikai követelménnyel: minden érdekes B értékhalmazra azon kimenetelek halmazának, ahol X a B-ben van, eseménynek kell lennie. Amint a kimenetel rögzített, X-ben semmi sem véletlen. A véletlenség kizárólag abból jön, hogy melyik kimenetel következik be. Két változó lehet nagyon különböző függvény, és mégis ugyanaz az eloszlásuk.

### Mi X eloszlása?

X eloszlása az a valószínűségi mérték, amelyet X a számegyenesen létrehoz: P(X ∈ B) azon kimenetelek halmazának valószínűsége, amelyeket X a B-be visz. Az X függvényen keresztül előre tolja a P valószínűséget. Ha ismered az eloszlást, X valószínűségeit és várható értékeit Ω-ra való hivatkozás nélkül is kiszámolhatod. Az oldalon egy értéksávot visszahúzol a pörgettyű íveire, és megméred őket.

### Mit próbáljak ki az oldalakon?

Pörgesd meg a mutatót, olvasd le a perem pontjának magasságát, és hasonlítsd a hisztogramot az arkusszinusz-eloszláshoz: a sűrűség fent és lent torlódik, mert ott meredek a perem. Válts a falat érő sugárra, és megkapod a Cauchy-eloszlást, amelynek a farka olyan nehéz, hogy nincs várható értéke. A második oldalon az F(x) = P(X ≤ x) eloszlásfüggvényről olvasd le a valószínűségeket, ahol az ugrások atomok.

### Ha két változó eloszlása azonos, egyenlők?

Nem. A pörgettyű szögének szinusza és koszinusza pontosan ugyanolyan eloszlású, de majdnem minden kimenetelnél más értéket vesz fel. Az eloszlás csak azt rögzíti, mennyire valószínű az értékek egy-egy halmaza, azt nem, hogy mely kimenetelek hozzák létre őket. Az eloszlásbeli egyenlőség sokkal gyengébb, mint a függvényként való egyenlőség, ezért összegeknél és szorzatoknál az együttes viselkedés számít, nem csak az egyes eloszlások.

## Az elmélet

- [Valószínűségi változók és eloszlásaik](https://quantsandbox.dev/hu/guide/probability/random-variable-distributions): A valószínűségi változó mint mérhető függvény és az eloszlása: eloszlásfüggvény, atomok és sűrűség, nevezetes eloszlások, kvantilisek, mintavétel.
- [Mérhető függvények](https://quantsandbox.dev/hu/guide/probability/measurable-functions): Függvények, amelyek szinthalmazai mérhetők: ősképek, a félegyenes-próba, zártság a határértékre, egyszerű függvények, σ(f) és a képmérték.
- [Valószínűségi mezők, σ-algebrák és valószínűségi változók](https://quantsandbox.dev/hu/guide/stochastic/probability-spaces): Eseménytér, σ-algebra, valószínűségi mérték, mérhető függvény és a változó által generált σ-algebra.
- [A nagy számok törvénye és a centrális határeloszlás-tétel](https://quantsandbox.dev/hu/guide/stochastic/law-of-large-numbers-clt): Miért állnak be az átlagok, milyen gyorsan, és miért bukkan fel a normális eloszlás: a Monte Carlo és a Brown-határátmenet mögötti két tétel.

Az interaktív eszköz megnyitása: https://quantsandbox.dev/hu/random-variables