# Valószínűségi mező: dobónyilak, események, terület

Dobálj nyilakat egy táblára, és lásd a valószínűségi mezőt: az esemény tartomány, a valószínűség terület, a találati arány pedig ehhez simul. Interaktív labor.

## Az eszközről

A valószínűségi mező három részből áll: a lehetséges kimenetelek halmazából, azokból az eseményekből, amelyekről kérdezhetünk, és egy szabályból, amely minden eseményhez valószínűséget rendel. Itt a kimenetelek egy négyzet alakú tábla pontjai, és a dobónyíl egyenletesen véletlen pontba csapódik. Az esemény egy megrajzolható tartomány, a valószínűsége pedig a területe. Minél több nyilat dobsz, annál inkább a területhez simul a tartományba esők aránya. Ugyanez a kép mutatja, miért adódnak össze a diszjunkt események valószínűségei, és miért kell az átfedő eseményekhez a szitaformula.

## Gyakori kérdések

### Mi az a valószínűségi mező?

A véletlenről szóló beszéd minimális kerete: kimenetelek Ω halmaza, események családja (Ω azon részhalmazai, amelyekről kérdezhetünk) és egy P valószínűségi mérték, amely minden eseményhez 0 és 1 közötti számot rendel. P-nek az egész térhez 1-et kell rendelnie, és diszjunkt események esetén összegződnie kell. A valószínűségi változók, a várható értékek és minden más a valószínűségszámításban erre a három objektumra épül. Ezen az oldalon Ω az egységnégyzet, az események a megrajzolt tartományok, P pedig a terület.

### Miért egyezik itt a valószínűség a területtel?

Mert a nyilat egyenletesen dobjuk: a tábla egyik része sem élvez előnyt, így a feleakkora tartományt feleannyiszor találjuk el. A terület ráadásul additív: ha egy tartományt egymást nem fedő darabokra vágunk, a területek összege kiadja az egészet, éppúgy, ahogy a diszjunkt események valószínűségeinek is. Ezért teszi az egyenletes nyíl a geometriát valószínűséggé. Ha a közepére céloznál, a valószínűség már nem egyezne a területtel, és ugyanazon a táblán más P mértékre lenne szükség.

### Mit próbáljak ki az oldalon?

Rajzolj két átfedő eseményt, és hasonlítsd össze mindegyik dobási gyakoriságát a területével. Aztán nézd az uniót: A vagy B területe A területe plusz B területe mínusz a kettő közös területe — ez a szitaformula. Told szét az eseményeket, amíg diszjunktak nem lesznek, és az átfedési tag eltűnik. Dobj pár száz nyilat, majd ezreket, és figyeld, ahogy a találati arány eleinte ingadozik, aztán a pontos területhez áll be.

### A vonal területe nulla. Eltalálhatja a nyíl?

A nyíl mindig valahová esik, tehát egy pontba, az a pont pedig sok vonalon rajta van. Egy előre rögzített vonalra viszont pontosan nulla az esély, mert a vonal területe 0. A nulla valószínűség nem lehetetlent jelent, hanem azt, hogy majdnem biztosan nem. Folytonos kimenetelek esetén az egyes pontoknak nincs valószínűségük, csak a tartományoknak. Az ötlet a Lebesgue-mérték oldalán tér vissza.

## Az elmélet

- [Valószínűségi mezők és a Kolmogorov-axiómák](https://quantsandbox.dev/hu/guide/probability/probability-spaces-axioms): A valószínűség mint egy összmértékű mérték: kimenetelek, események, axiómák, diszkrét és folytonos modellek, végtelen érmedobás, majdnem biztos események.
- [Mértékelmélet az opcióárazásban](https://quantsandbox.dev/hu/guide/probability/measure-theory-pricing): Hogyan találkozik a pálya mértékelmélete és valószínűségszámítása az opcióárazásban: ekvivalens mértékek, sűrűségek, információ, feltételes várható érték.
- [Valószínűségi mezők, σ-algebrák és valószínűségi változók](https://quantsandbox.dev/hu/guide/stochastic/probability-spaces): Eseménytér, σ-algebra, valószínűségi mérték, mérhető függvény és a változó által generált σ-algebra.

Az interaktív eszköz megnyitása: https://quantsandbox.dev/hu/probability-space