# Lebesgue-mérték és nullmértékű halmazok: lefedés

Hossz mérése lefedéssel: a racionálisok sűrűek, mégis elférnek parányi összhosszú intervallumokban, a Cantor-halmaz kontinuum számosságú és nullmértékű.

## Az eszközről

A Lebesgue-mérték hosszat ad a 0 és 1 közötti intervallum egy részhalmazának akkor is, ha az messze nem intervallum. Az ötlet: fedjük le a halmazt megszámlálhatóan sok intervallummal, és vegyük az elérhető legkisebb összhosszat. Azok a halmazok, amelyek tetszőlegesen kicsi összhosszú intervallumokban elrejthetők, a nullmértékű halmazok. Itt lefedheted a racionális számokat, a Cantor-halmazt és egy kövér Cantor-halmazt, és megnézheted, mennyi hosszra van tényleg szükségük. Egy egyenletesen véletlen pont majdnem biztosan elkerül egy nullmértékű halmazt.

## Gyakori kérdések

### Mekkora egy halmaz Lebesgue-mértéke?

Azon megszámlálhatóan sok intervallum legkisebb összhossza, amelyek együtt lefedik a halmazt. Intervallumra ez a megszokott hossz, diszjunkt intervallumok megszámlálható uniójára a hosszak összege. A definíció olyan halmazokra is működik, amelyekben egyetlen intervallum sincs, ezért szolgálhat az egyenletesen húzott szám P valószínűségeként. Ha egy halmaz lefedése tetszőlegesen rövidre készíthető, a mértéke nulla.

### Hogyan lehet a racionális számok halmaza sűrű, mégis nulla hosszú?

A sűrűség azt jelenti, hogy minden intervallumban van racionális szám, így a racionálisok nem bújhatnak el egyenként néhány kis intervallumban. De megszámlálhatók: sorold fel őket q₁, q₂, q₃ és így tovább alakban, és fedd le qₙ-et ε/2ⁿ hosszú intervallummal. Az összhossz legfeljebb ε, az ε pedig tetszőleges volt. Tehát a racionálisok hossza 0, pedig mindenhol ott vannak. Egy egyenletesen véletlen szám majdnem biztosan irracionális.

### Mit próbáljak ki az oldalon?

Adj magadnak ε hosszkeretet, és próbáld lefedni mindegyik halmazt. A racionálisok minden kerethez elférnek. A Cantor-halmaz kontinuum számosságú, mégis elfér, mert n lépés után az intervallumnak csak (2/3)ⁿ része marad. A kövér Cantor-halmaz minden lépésben kevesebbet vesz el, nem tartalmaz intervallumot, és mégis 1/2 hosszú, így az 1/2 alatti keret nem elég. Hasonlítsd össze a hármat, és látni fogod, hogy a méret, a sűrűség és a hossz különböző fogalmak.

### A nulla mérték azt jelenti, hogy a halmaz kicsi vagy üres?

Nem. A nullmértékű halmazok lehetnek sűrűek, mint a racionálisok, vagy kontinuum számosságúak, mint a Cantor-halmaz. A nulla mérték csak azt mondja, hogy az egyenletes húzás 0 valószínűséggel esik a halmazba. A 0 valószínűségű események megtörténhetnek egy kontinuum számosságú térben, hiszen valamit mindig kihúzunk. Ezért mondjuk a valószínűségi állításokat majdnem biztosan: egy nullmértékű halmazon kívül igazak, a nullmértékű halmaz pedig az integrálok és a valószínűségek szempontjából figyelmen kívül hagyható.

## Az elmélet

- [A Lebesgue-mérték és a nullmértékű halmazok](https://quantsandbox.dev/hu/guide/probability/lebesgue-measure-null-sets): A hossz kiterjesztése minden Borel-halmazra: megszámlálható lefedések, külső mérték, nulla hosszú halmazok, Cantor-halmazok, majdnem mindenütt.
- [Halmazok méretének mérése](https://quantsandbox.dev/hu/guide/probability/measuring-sets): Mi a közös a számlálásban, a hosszban, a területben és a tömegben: a mérték szabályai, miért kell megszámlálható additivitás, és az első mértékek.
- [Valószínűségi mezők, σ-algebrák és valószínűségi változók](https://quantsandbox.dev/hu/guide/stochastic/probability-spaces): Eseménytér, σ-algebra, valószínűségi mérték, mérhető függvény és a változó által generált σ-algebra.

Az interaktív eszköz megnyitása: https://quantsandbox.dev/hu/lebesgue-measure