# Véletlen bolyongás és Brown-mozgás Pénzfeldobásos bolyongás, a variancia lineáris növekedése és a határeset: a Brown-mozgás. A „Hozamok és volatilitás” című lecke megmutatta, hogy független hozamok esetén a teljes loghozam szórása $\sigma\sqrt{T}$-ként nő. Ez a lecke a szabály mögötti véletlen folyamatot a lehető legegyszerűbb építőelemből, egy szabályos pénzérméből rakja össze, majd egy határátmenettel eljut a Brown-mozgáshoz. A későbbi folytonos idejű modellekben minden véletlenség ebből származik. ## Pénzfeldobásos bolyongás Dobjunk fel ismételten egy szabályos érmét. Fej esetén lépjünk egy egységet felfelé, írás esetén egyet lefelé. A $k$-adik lépés legyen $X_k$, tehát $X_k = +1$ vagy $X_k = -1$, mindkettő $\tfrac12$ valószínűséggel, és a dobások egymástól függetlenek. A nulláról induló pozíció $n$ dobás után $$ W_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n. $$ Ez a **szimmetrikus véletlen bolyongás**. Képzelj el valakit egy hosszú folyosón, aki másodpercenként az érme szerint egyet előre vagy egyet hátra lép. Senki sem tudja megmondani, hol lesz 100 lépés után, de a valószínű helyzetek szóródása pontosan kiszámolható. ## A bolyongás várható értéke és varianciája Minden lépés várható értéke nulla, varianciája egy: $$ \mathbb{E}[X_k] = \tfrac12(+1) + \tfrac12(-1) = 0, \qquad \operatorname{Var}(X_k) = \mathbb{E}[X_k^2] = 1. $$ A várható értékek mindig összeadódnak, a varianciák pedig akkor, ha a tagok függetlenek, és itt azok. Így $$ \mathbb{E}[W_n] = 0, \qquad \operatorname{Var}(W_n) = n, \qquad \operatorname{sd}(W_n) = \sqrt{n}. $$ A variancia a lépésszámmal **lineárisan** nő, a szórás ennek gyökével. 100 dobás után a kiindulóponttól mért jellemző távolság $\sqrt{100} = 10$ egység, nem 100. 10000 dobás után 100. A lépések részben kioltják egymást, ezért nő a szóródás sokkal lassabban, mint a lépések száma. ## A lépések skálázása Folytonosan mozgó árfolyam leírásához egy rögzített időintervallumon belül sok kis lépésre van szükség, nem másodpercenkénti egységlépésekre. Rögzítsük a $[0, 1]$ intervallumot, osszuk fel $n$ darab $\Delta t = 1/n$ hosszú lépésre, és legyen minden lépés mérete $\pm a$, ahol $a$-t még meg kell választani. $k$ lépés után az idő $t = k\,\Delta t$, a pozíció varianciája pedig $k a^2 = (t/\Delta t)\,a^2$. Növeljük most $n$-et, vagyis csökkentsük $\Delta t$-t. Három eset van: - Ha $a = 1$, a $t/\Delta t$ variancia minden határon túl nő. A bolyongás elszáll. - Ha $a = \Delta t$, a $t\,\Delta t$ variancia nullához tart. A bolyongás vízszintes egyenessé laposodik. - Ha $a = \sqrt{\Delta t}$, a variancia minden $n$-re pontosan $t$. Csak ez a választás ad nem triviális határértéket. A lépésméretnek tehát az időlépés **négyzetgyökével** kell arányosnak lennie: $$ W_{t + \Delta t} = W_t \pm \sqrt{\Delta t}, \qquad \operatorname{Var}(W_t) = \frac{t}{\Delta t}\cdot \Delta t = t. $$ Példa: $n = 100$ lépésnél a $[0,1]$ intervallumon minden lépés $\pm\sqrt{0{,}01} = \pm 0{,}1$. A $t = 0{,}25$ időpontig 25 lépés történt, így a variancia $25 \times 0{,}01 = 0{,}25$, a szórás $0{,}5$. A $t = 1$ időpontban a szórás 1. Az ábra a skálázott bolyongás hat mintapályáját rajzolja ki a $[0,1]$ intervallumon, a $\pm\sqrt{t}$ és $\pm 2\sqrt{t}$ görbékkel együtt. Válts az $n = 10$, $100$ és $1000$ lépés között, és nyomd meg néhányszor az „Új pályák” gombot. A pályák finomabbak lesznek, a burkológörbe viszont ugyanaz marad, és a 2000 szimulált pálya végpontjainak varianciája $n$-től függetlenül 1 közelében van. *[Interaktív ábra: random walk](https://quantsandbox.dev/hu/guide/stochastic/random-walks)* ## Brown-mozgás Ha $n \to \infty$, minden $W_t$ egyre több kicsi, független lépés összege, ezért a centrális határeloszlás-tétel szerint eloszlása normálissá válik. A határfolyamat a **Brown-mozgás** (más néven Wiener-folyamat), jele $W_t$. Négy tulajdonság határozza meg: - $W_0 = 0$. - $s < t$ esetén a $W_t - W_s$ növekmény normális eloszlású, várható értéke 0, varianciája $t - s$. - A nem átfedő intervallumokon vett növekmények függetlenek. - A $t \mapsto W_t$ pálya folytonos. A második tulajdonságba $s = 0$-t írva $$ W_t \sim N(0,\ t). $$ Példa: $W_1$ standard normális, így kb. 68% valószínűséggel esik $-1$ és $1$ közé. A $W_1 - W_{0{,}5}$ növekmény varianciája $0{,}5$, függetlenül attól, mit csinált a pálya $t = 0{,}5$ előtt. > Brown-mozgás: $W_0 = 0$, független növekmények, $W_t - W_s \sim N(0, t-s)$, folytonos pályák. Speciálisan $\operatorname{Var}(W_t) = t$. ## Folytonos, de recés pályák A Brown-pályákban nincs ugrás, mégis rendkívül egyenetlenek. Egy rövid $\Delta t$ intervallumon a jellemző elmozdulás $\sqrt{\Delta t}$, így a jellemző meredekség $$ \frac{\sqrt{\Delta t}}{\Delta t} = \frac{1}{\sqrt{\Delta t}} \longrightarrow \infty \quad \text{ha } \Delta t \to 0. $$ Ha belenagyítunk, a pálya nem simul ki, ahogy egy közönséges sima görbe tenné, hanem minden léptékben újabb hullámzás jelenik meg. A pályának egyetlen pontban sincs jól definiált meredeksége. Ezért nem alkalmazható közvetlenül a szokásos analízis a Brown-mozgásra, és ezért lesz szükség a későbbi leckékben egy korrekciós tagra. ## Kapcsolat a négyzetgyökös időszabállyal Kössük össze ezt a „Hozamok és volatilitás” leckével. Modellezzük a $[0, T]$ alatti loghozamot egy egyenes vonalú drift és egy skálázott Brown-mozgás összegeként: $$ \ln\frac{S_T}{S_0} = \mu T + \sigma W_T. $$ Mivel $W_T \sim N(0, T)$, a loghozam normális eloszlású $\mu T$ várható értékkel és $\sigma\sqrt{T}$ szórással, pontosan úgy, mint a „Hozamok és volatilitás” lecke első modelljében. A szabályban szereplő $\sqrt{T}$ nem más, mint a bolyongás $\sqrt{t}$ burkológörbéje az ábrán. ## Végpontok és a haranggörbe Egyetlen bolyongás keveset árul el, sok bolyongás viszont kirajzolja az eloszlást. Az ábrán minden bolyongó $n$ darab $\pm 1$-es lépést tesz, majd a végpontjának megfelelő oszlopba esik. Nyomd meg a Lejátszás gombot, vagy adj hozzá bolyongókat kézzel, és figyeld, ahogy a hisztogram kitölti az $n$ varianciájú normális görbét. A mintavariancia bármely $n$ mellett $n$ közelébe áll be, és $n$ duplázásakor a szóródás $\sqrt{2}$-szeresére nő, nem kétszeresére. *[Interaktív ábra: galton walk](https://quantsandbox.dev/hu/guide/stochastic/random-walks)* ## Összefoglalás - $n$ független $\pm 1$ lépésből álló pénzfeldobásos bolyongás várható értéke 0, varianciája $n$, így a szóródása $\sqrt{n}$-ként nő. - Értelmes folytonos idejű határértékhez a $\Delta t$ hosszú lépések mérete $\pm\sqrt{\Delta t}$ kell legyen; ekkor $\operatorname{Var}(W_t) = t$. - A határfolyamat a Brown-mozgás: $W_0 = 0$, független, normális növekmények az eltelt idővel egyenlő varianciával, folytonos pályák. - A Brown-pályák folytonosak, de sehol sincs meredekségük. - A $\mu T + \sigma W_T$ loghozam-modell visszaadja a négyzetgyökös időszabályt. [Szimulálj és vizsgálj Brown-pályákat a Brown-mozgás laborban](https://quantsandbox.dev/hu/brownian-motion) ## Interaktív laborok - [Brown-mozgás szimulátor driftel és volatilitással](https://quantsandbox.dev/hu/brownian-motion) - [Monte Carlo opcióárazó szimulátor](https://quantsandbox.dev/hu/monte-carlo) --- Forrás: https://quantsandbox.dev/hu/guide/stochastic/random-walks Következő lecke: [Valószínűségi mezők, σ-algebrák és valószínűségi változók](https://quantsandbox.dev/hu/guide/stochastic/probability-spaces)