# A Lebesgue-integrál

Integrál egyszerű függvényekből az értékkészlet felszeletelésével: rétegtorta-formula, integrálható függvények, összegek mint integrálok, Riemann és Lebesgue.

A „Mérhető függvények” megmutatta, mely függvényeknél lehet megválaszolni azt a kérdést, hogy „a tér mekkora részét viszi a függvény ebbe az értéktartományba”, és bevezette az egyszerű függvényeket, valamint a diadikus lépcsős függvényeket, amelyek bármely mérhető függvényt alulról megközelítenek. „A Lebesgue-mérték és a nullmértékű halmazok” megadta magát a mértéket: a hosszat az egyenesen és a területet a síkon. Még hiányzik egy módszer, amellyel egy függvényt összeadhatunk egy téren: meg kell mondani, mennyi $f$ összege, ha $f$-nek minden pontban van értéke a $[0, 1]$ intervallumon, az egységnégyzeten vagy bármely más mértéktéren. Ez a lecke felépíti ezt az összeget, a **Lebesgue-integrált**, $\int f\,d\mu$-t tetszőleges $\mu$ mértékre. Kiindul az iskolai analízis oszlopról oszlopra haladó módszeréből, megmutatja, hol romlik el, és helyettesíti egy rétegről rétegre haladó módszerrel, amelynek csak $f$ szinthalmazainak mértékére van szüksége. A következő lecke, a „Konvergenciatételek” azt kérdezi, mi történik az integrálokkal, ha a függvényeket a határértékükkel helyettesítjük.

## A Riemann-féle oszlopok

Az iskolai analízis integrálja, a **Riemann-integrál**, az értelmezési tartományt szeleteli. Az $f$ alatti terület megkereséséhez vágd fel a $[0, 1]$-et $N$ darab $1/N$ szélességű oszlopra, és minden oszlopon jegyezd fel $f$ legkisebb és legnagyobb értékét. A legkisebb magasságú téglalapok a grafikon alá férnek, összterületük az **alsó összeg**. A legnagyobb magasságú téglalapok kilógnak a grafikon fölé, összterületük a **felső összeg**. Az integrál az a szám, amely az oszlopok keskenyedésével a két összeg között marad.

Vedd az $f(x) = 4x(1 - x)$ dombot, amely $x = 0$-nál 0-ról indul, $x = \tfrac12$-nél eléri az 1-et, és $x = 1$-nél visszaesik 0-ra. $N = 4$ oszlopnál a legkisebb értékek $0; 0{,}75; 0{,}75; 0$, a legnagyobbak $0{,}75; 1; 1; 0{,}75$, így az alsó összeg $0{,}375$, a felső összeg $0{,}875$. $N = 8$ esetén a két összeg $0{,}5313$ és $0{,}7813$. A köztük levő különbség felére csökken, valahányszor megduplázzuk az oszlopok számát, és mindkét összeg ugyanahhoz a számhoz, $2/3$-hoz közelít.

Ez azért működik, mert egy folytonos függvény keskeny oszlopon alig változik. A módszer csendben feltételezi, hogy $f$ az értelmezési tartomány rövid szakaszain közel állandó, és az olyan függvény, amely minden szakaszon belül ugrál, ezt a feltevést megtöri. Nézd a $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ indikátort a $[0, 1]$-en, amely a racionális számoknál 1, máshol 0. Minden oszlopban, akármilyen keskeny is, van racionális és irracionális szám, mert mindkettő sűrű, így minden felső összeg 1, minden alsó összeg 0: a Riemann-integrál nem létezik.

Pedig „A Lebesgue-mérték és a nullmértékű halmazok” megmutatta, hogy a racionális számok hossza 0. Az a függvény, amely olyan halmazon egyenlő 1-gyel, amely semennyi helyet nem foglal el, semmit sem adhat hozzá az összeghez. Az oszlopok ezt nem látják, mert azt nézik, hol van egy érték; a rétegek azt nézik, a tér mekkora része hordozza az egyes értékeket.

## Lebesgue rétegei

Lebesgue az ötletét érmékkel magyarázta. Egy pénztáros előtt vegyes érmék halmaza van, és tudni akarja az összértéküket. Az egyik mód, hogy az érméket egyenként, abban a sorrendben veszi sorra, ahogy a kezébe kerülnek, és folyamatosan összegez: ez az oszlopos módszer, amely az értelmezési tartomány pontjait követi sorrendben. A másik mód, hogy az érméket érték szerint kupacokba rendezi, megszámolja az egyes kupacokat, és összeadja az értéket szorozva a darabszámmal. Ehhez nem kell tudnia, milyen sorrendben feküdtek az érmék; csak az kell, hány érme van az egyes értékekből.

Cseréld a halmot az $\Omega$ térre, az érméket pontokra, a darabszámot pedig a mértékre. A **réteges** módszer az $\Omega$ pontjait $f$ értéke szerint csoportosítja, megméri az egyes csoportokat, és összeadja az értéket szorozva a mértékkel, akár közel vannak egymáshoz egy csoport pontjai, akár az egész téren szétszórtak.

Csináljuk ezt végig az $f(x) = 4x(1 - x)$ függvénnyel és a „Mérhető függvények” $\varphi_2$ lépcsős függvényével, amely minden értéket lefelé kerekít $\tfrac14$ többszörösére. A $0$ értéket egy $0{,}1340$ hosszú halmazon veszi fel, a $\tfrac14$ értéket egy $0{,}1589$ hosszún, a $\tfrac12$ értéket egy $0{,}2071$ hosszún, a $\tfrac34$ értéket egy $0{,}5$ hosszún, és a négy hossz összege 1. A lépcsős függvény összege

$$
0 \cdot 0{,}1340 + \tfrac14 \cdot 0{,}1589 + \tfrac12 \cdot 0{,}2071 + \tfrac34 \cdot 0{,}5 = 0{,}5183.
$$

Ez alulbecsli a $2/3$ területet, mert minden értéket lefelé kerekítettünk; finomabb sávokkal javul. A $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ esetén az egyetlen számító réteg az 1 érték egy 0 hosszú halmazon, ami $1 \cdot 0 = 0$-t ad, így az összeg 0, ahogy kell. A rétegekhez az $\{a \le f < b\}$ halmazok mértéke kell, és a mérhetőség, a „Mérhető függvények” tárgya, éppen azt biztosítja, hogy ezek a halmazok mérhetők.

## Egyszerű függvények integrálja

A réteges módszer pontos az olyan függvényekre, amelyek véges sok értéket vesznek fel. Legyen $\varphi$ egyszerű függvény. Írd fel standard alakban, az $a_1, \ldots, a_m$ különböző értékekkel, amelyeket az $A_1, \ldots, A_m$ páronként diszjunkt mérhető halmazokon vesz fel. Az **integrálja** a $\mu$ mérték szerint

$$
\int \varphi \, d\mu = \sum_{k=1}^{m} a_k\, \mu(A_k),
$$

a $0 \cdot \infty = 0$ megállapodással, hogy a 0 érték soha ne adjon hozzá semmit, végtelen mértékű halmazon sem. Szavakban: minden érték szorozva azzal a térrésszel, amelyen felvesszük.

Ugyanezt a számot kapjuk, ha a $\varphi$-t az indikátorok bármely más kombinációjaként írjuk fel, akkor is, ha a halmazok átfednek. Vedd a $\varphi = 2\cdot\mathbf{1}_{[0; 0{,}5]} + 3\cdot\mathbf{1}_{[0{,}25; 1]}$ függvényt a $[0, 1]$-en, a hosszal mint mértékkel, a „Mérhető függvények” példáját. Ha a képletet az átfedő alakról olvassuk le, $2 \cdot 0{,}5 + 3 \cdot 0{,}75 = 3{,}25$ adódik. A $2\cdot\mathbf{1}_{[0; 0{,}25)} + 5\cdot\mathbf{1}_{[0{,}25; 0{,}5]} + 3\cdot\mathbf{1}_{(0{,}5; 1]}$ standard alak $2 \cdot 0{,}25 + 5 \cdot 0{,}25 + 3 \cdot 0{,}5 = 3{,}25$-öt ad. Az ok az additivitás. Vágd fel a teret olyan darabokra, amelyeken egyik indikátor sem változik; ezek az atomjai annak a σ-algebrának, amelyet ezek a halmazok generálnak, ahogy a „σ-algebrák és Borel-halmazok” leckében. Minden $A_k$ halmaz atomok diszjunkt uniója, így $\mu(A_k)$ az atomjai mértékének összege, és a $\varphi$ mindkét felírása ugyanazokat a tagokat adja össze.

Két szabály következik az egyszerű $\varphi$ és $\psi$ függvényekre: az integrál **lineáris**, $\int (a\varphi + b\psi)\,d\mu = a\int \varphi\,d\mu + b\int \psi\,d\mu$, mert a kombináció ismét indikátorok listája; és **monoton**, mert $\varphi \le \psi$ azt jelenti, hogy minden atomon $\varphi$ értéke legfeljebb $\psi$ értéke, így $\int \varphi\,d\mu \le \int \psi\,d\mu$. Egy indikátorra $\int \mathbf{1}_A\,d\mu = \mu(A)$.

A céltábla egy sokrétegű egyszerű függvényt mutat. Vedd az egységnégyzetet, a közepén egy céltáblával. A középponthoz $0{,}1$-nél közelebbi pontok 10 pontot érnek, a $0{,}1$ és $0{,}25$ közötti távolságúak 5-öt, a $0{,}25$ és $0{,}4$ közöttiek 2-t, a $0{,}4$ és $0{,}5$ közöttiek 1-et, a $0{,}5$-nél messzebbi négy sarok pedig 0-t. A pontszám az $s$ függvény a négyzeten, öt értékkel, amelyek mindegyikét egy gyűrűn vagy a sarkokon veszi fel. A mérték a terület, a kétdimenziós Lebesgue-mérték „A Lebesgue-mérték és a nullmértékű halmazok” leckéből, amely szerint egy $r$ sugarú körlap területe $\pi r^2$. Az $\int s \, d\lambda$ a tábla területtel súlyozott pontszáma: minden gyűrű a pontszámát szorozva a területével adja hozzá.

### Kidolgozott példa: Egy céltábla területtel súlyozott pontszáma

1. A $0{,}1$ sugarú középső körlap 10 pontot ér; a területe:
   $$\pi \cdot 0{,}1^2$$ → **0.0314159**
2. A $0{,}1$ és $0{,}25$ közötti gyűrű 5 pontot ér; a területe:
   $$\pi\,(0{,}25^2 - 0{,}1^2)$$ → **0.1649336**
3. A $0{,}25$ és $0{,}4$ közötti gyűrű 2 pontot ér:
   $$\pi\,(0{,}4^2 - 0{,}25^2)$$ → **0.3063053**
4. A $0{,}4$ és $0{,}5$ közötti gyűrű 1 pontot ér:
   $$\pi\,(0{,}5^2 - 0{,}4^2)$$ → **0.2827433**
5. A négy sarok 0 pontot ér; a területük az, amit a $0{,}5$ sugarú körlap meghagy az egységnégyzetből:
   $$1 - \pi \cdot 0{,}5^2$$ → **0.2146018**
6. Ellenőrzés: az öt terület kitölti a négyzetet, így összegük
   $$0{,}0314159 + 0{,}1649336 + 0{,}3063053 + 0{,}2827433 + 0{,}2146018$$ → **1**
7. A pontszám integrálja, érték szorozva mértékkel az öt halmazon:
   $$10 \cdot 0{,}0314159 + 5 \cdot 0{,}1649336 + 2 \cdot 0{,}3063053 + 1 \cdot 0{,}2827433 + 0 \cdot 0{,}2146018$$ → **2.0341812**

## Nemnegatív függvények integrálja

Egy általános függvény végtelen sok értéket vesz fel, így az érték és a mérték szorzatainak összegéhez nincs véges lista. A megoldás, hogy az egyszerű függvényeket alsó becslésként használjuk. Legyen $f \ge 0$ mérhető. Minden olyan egyszerű $\varphi$ függvény, amelyre $0 \le \varphi \le f$, alulbecsli $f$ összegét, és a legjobb alulbecslés maga az összeg:

$$
\int f \, d\mu = \sup\Big\{ \int \varphi \, d\mu \;:\; 0 \le \varphi \le f, \ \varphi \text{ egyszerű} \Big\}.
$$

Az érték a $[0, \infty]$ halmazban van, és lehet $\infty$ is. Ha $f$ maga egyszerű, a definíció a régi képletet adja vissza, hiszen $f$ az egyik megengedett $\varphi$, a monotonitás pedig az összes többit korlátozza.

Az összes $f$ alatti egyszerű függvény szuprémuma kezelhetetlennek látszik, de egyetlen sorozat is elég. A „Mérhető függvények” diadikus lépcsős függvényei, $\varphi_n = \min\big(n, \lfloor 2^n f \rfloor / 2^n\big)$, minden pontban $f$-hez nőnek, és az integráljaik $\int f\,d\mu$-höz nőnek. Ez az utolsó lépés a monoton konvergencia tétele, a következő lecke első eredménye, ezért itt ismertnek vesszük. Az $f(x) = 4x(1 - x)$ függvényre az $\{f \ge y\}$ halmaz egy $\sqrt{1 - y}$ hosszú intervallum, ahogy a „Mérhető függvények” kiszámolta, és a $\varphi_n$ rétegeinek összeadása ezt adja:

- $n = 1$: $0{,}3536$, a $2/3 = 0{,}6667$ pontos értéktől $0{,}3131$ távolságra.
- $n = 2$: $0{,}5183$, ahogy fent kiszámoltuk, a távolság $0{,}1484$.
- $n = 3$: $0{,}5956$, a távolság $0{,}0710$.
- $n = 4$: $0{,}6323$, a távolság $0{,}0343$; $n = 6$-nál az érték $0{,}6585$.

A távolság minden finomításnál nagyjából felére csökken, és a lépcsős függvények integráljai alulról kúsznak fel $2/3$-hoz.

Az ábra a görbe alatt rajzolja a $\varphi_n$ lépcsős függvényt, összehasonlításként pedig ugyanannyi darabbal a Riemann-konstrukciót. Válaszd „Az értékkészlet szeletelése” vagy „Az értelmezési tartomány szeletelése” módot, és mozgasd $n$-et. Az alapértékekkel az értékkészlet szeletelése $n = 3$-nál $8$ szintet használ, és a $0{,}5956$ Lebesgue-összeget mutatja a $0{,}6667$ pontos érték mellett. Az értelmezési tartomány szeletelésére váltva $8$ középponti oszlop látszik és a $0{,}6719$ középponti Riemann-összeg.

*[Interaktív ábra: simple functions](https://quantsandbox.dev/hu/guide/probability/lebesgue-integration)*

> Ennél a sima dombnál a középponti Riemann-összegek gyorsabban konvergálnak, mint a lépcsős összegek: $n = 3$-nál $0{,}6719$ a $0{,}5956$-tal szemben. A Lebesgue-konstrukció lényege nem a gyorsaság sima függvényeken, hanem az, hogy csak a szinthalmazok mértékére van szüksége, ezért minden mérhető függvényre és minden mértékre működik.

## A rétegtorta-formula

A lépcsős függvény vékony, lapos rétegekre szedhető szét. Egy olyan pontban, ahol $\varphi_n$ értéke $j/2^n$, pontosan a $k = 1, \ldots, j$ esetén az $\mathbf{1}\{f \ge k/2^n\}$ indikátorok vannak bekapcsolva, és mindegyik $2^{-n}$-t ad hozzá. Tehát

$$
\varphi_n = \frac{1}{2^n} \sum_{k=1}^{n 2^n} \mathbf{1}\{ f \ge k/2^n \},
$$

$2^{-n}$ magasságú lapok egymás fölött, a $k$-adik lap azon a halmazon fekszik, ahol $f$ eléri a $k/2^n$ magasságot. Egyszerű függvények összegét tagonként integrálva

$$
\int \varphi_n \, d\mu = \frac{1}{2^n} \sum_{k=1}^{n 2^n} \mu\big( f \ge k/2^n \big).
$$

A jobb oldal $2^{-n}$ szélességű téglalapok összege, amelyek magassága a $t \mapsto \mu(f > t)$ **farokfüggvény** értéke, vagyis a tér azon részének mértéke, ahol $f$ meghaladja $t$-t. Ez a függvény $t$ növekedésével csökken, és az összeg a grafikonja alatti terület közelítése. Ha $n$-et növeljük, és felhasználjuk, hogy $\int \varphi_n\,d\mu \to \int f\,d\mu$, megkapjuk a **rétegtorta-formulát**:

$$
\int f \, d\mu = \int_0^\infty \mu(f > t)\, dt.
$$

Az $f$ integrálja a téren egyenlő a farokfüggvény alatti hétköznapi területtel. A kép egy torta: a $t$ magasságú réteg akkora, mint a tér azon része, amely eléri ezt a magasságot, a torta pedig a rétegei összege. A levezetés vázlat; a határátmenet a monoton konvergenciát használja.

A dombra $\mu(f > t) = \sqrt{1 - t}$, ha $0 \le t < 1$, és $0$ azon túl, így

$$
\int_0^1 \sqrt{1 - t}\, dt = \Big[-\tfrac23 (1 - t)^{3/2}\Big]_0^1 = \tfrac23,
$$

ugyanaz a $2/3$, mint az oszlopos $\int_0^1 4x(1 - x)\,dx = 2 - \tfrac43$ integrál. Az $f(x) = 1/x$ függvényre a $(0, 1]$-en, amely nem korlátos, az $\{f > t\}$ halmaz $t < 1$ esetén a teljes $(0, 1]$, $t \ge 1$ esetén a $(0, 1/t)$ intervallum, így $\mu(f > t) = \min(1, 1/t)$, és a terület $1 + \int_1^\infty dt/t = \infty$: az integrál létezik, és értéke $\infty$, mert a rétegek túl lassan zsugorodnak ahhoz, hogy véges legyen a területük.

A céltáblán jól látszanak a rétegek. A pontszám legalább 1 a $0{,}5$ sugarú körlapon, legalább 2 a $0{,}4$ sugarún, legalább 5 a $0{,}25$ sugarún és legalább 10 a $0{,}1$ sugarún. Ezek területe a farokértékek: $0{,}7854$, $0{,}5027$, $0{,}1963$ és $0{,}0314$. A pontszám 0-ról 1-re, 2-re, 5-re és 10-re lép, így a rétegek magassága $1; 1; 3; 5$, és ha minden farokterületet a rétegmagasságával súlyozunk, pontosan a gyűrűnként kapott integrált kell visszakapnunk, ahogy a következő kidolgozott példa megerősíti.

### Kidolgozott példa: A céltábla rétegenként

1. Az a terület, ahol a pontszám legalább 1, a $0{,}5$ sugarú körlap:
   $$\pi \cdot 0{,}5^2$$ → **0.7853982**
2. Az a terület, ahol a pontszám legalább 2:
   $$\pi \cdot 0{,}4^2$$ → **0.5026548**
3. Az a terület, ahol a pontszám legalább 5:
   $$\pi \cdot 0{,}25^2$$ → **0.1963495**
4. Az a terület, ahol a pontszám legalább 10:
   $$\pi \cdot 0{,}1^2$$ → **0.0314159**
5. Rétegmagasságok szorozva a farokterületekkel, az 1, 1, 3, 5 magasságokkal:
   $$1 \cdot 0{,}7853982 + 1 \cdot 0{,}5026548 + 3 \cdot 0{,}1963495 + 5 \cdot 0{,}0314159$$ → **2.0341812**
6. Ugyanez a rétegtorta-integrál a dombra, a $\sqrt{1 - t}$ farokfüggvénnyel:
   $$\int_0^1 \sqrt{1 - t}\, dt$$ → **0.6666667**

## Mindkét előjelű függvények

A fenti konstrukcióhoz $f \ge 0$ kell. A mindkét előjelű függvényt két nemnegatív részre bontjuk: a **pozitív rész** $f^+ = \max(f, 0)$, a **negatív rész** $f^- = \max(-f, 0)$. Ekkor $f = f^+ - f^-$ és $|f| = f^+ + f^-$. A pozitív rész megtartja azokat a helyeket, ahol $f$ a tengely felett van, a negatív rész pedig azok tükörképe, ahol alatta.

Az $f$ függvény **integrálható**, ha $\int |f|\,d\mu < \infty$, vagyis ha $\int f^+\,d\mu$ és $\int f^-\,d\mu$ is véges, és ekkor

$$
\int f \, d\mu = \int f^+ \, d\mu - \int f^- \, d\mu.
$$

Az integrálható függvények halmazának jele $L^1(\mu)$. Példa: az $f(x) = \sin(2\pi x)$ a $[0, 1]$-en pozitív a $(0, \tfrac12)$-en és negatív a $(\tfrac12, 1)$-en. Szimmetria miatt $\int f^+ \,d\lambda = \int f^- \,d\lambda = 1/\pi = 0{,}3183$, így $\int f\,d\lambda = 0$ és $\int |f|\,d\lambda = 2/\pi = 0{,}6366$.

A végességi követelmény nem puszta díszítés. Nélküle az $\int f^+ - \int f^-$ különbség $\infty - \infty$ lehet. Legyen $\mathbb{R}$-en a hosszal $f = \mathbf{1}_{[0, \infty)} - \mathbf{1}_{(-\infty, 0)}$, amely 0-tól jobbra $1$, balra $-1$. Az $\int f^+$ és az $\int f^-$ is $\infty$. Ha $f$-et a $[-N, N]$-en adjuk össze, az $0$, de a $[-N, 2N]$-en $N$. Az egyenes kimerítésének különböző módjai különböző eredményt adnak, így nincs okunk egyiket előnyben részesíteni, és az integrál nincs értelmezve. Az integrálhatóság éppen ezt zárja ki: ha $\int |f| < \infty$, a tér kimerítésének minden értelmes módja ugyanazt az összeget adja.

## Az integrál tulajdonságai

Az integrál négy szabálynak engedelmeskedik. Mindegyiket először egyszerű függvényekre bizonyítjuk, aztán nemnegatív függvényekre a lépcsős függvényeken keresztül, végül integrálható függvényekre a pozitív és negatív részre bontással; itt csak az értelmüket és az okaikat adjuk meg.

- **Linearitás.** Integrálható $f, g$ és valós $a, b$ esetén: $\int (af + bg)\,d\mu = a\int f\,d\mu + b\int g\,d\mu$. A $[0, 1]$-en $\int x\,d\lambda = \tfrac12$ és $\int 4x(1 - x)\,d\lambda = \tfrac23$, így $\int \big(x + 4x(1 - x)\big)\,d\lambda = \tfrac76$.
- **Monotonitás.** Ha $f \le g$, akkor $\int f\,d\mu \le \int g\,d\mu$. A $-|f| \le f \le |f|$ egyenlőtlenségre alkalmazva ez a $\big|\int f\,d\mu\big| \le \int |f|\,d\mu$ egyenlőtlenséget adja: a pozitív és negatív részek kiegyenlítődése az összeget csak csökkentheti.
- **A nullmértékű halmazok nem számítanak.** Ha $f = g$ majdnem mindenütt, akkor $\int f\,d\mu = \int g\,d\mu$. Legyen $N$ az a nullmértékű halmaz, ahol eltérnek. Minden $|f - g|$ alatti egyszerű függvény $N$-en kívül eltűnik, így minden $a_k \mu(A_k \cap N)$ tagja 0, és $\int |f - g|\,d\mu = 0$. Ha a $4x(1 - x)$ dombot minden racionális pontban 5-re változtatjuk, az integrálja $2/3$ marad, és $\int \mathbf{1}_{\mathbb{Q}}\,d\lambda = 0$.
- **Nulla integrál.** $f \ge 0$ esetén $\int f\,d\mu = 0$ pontosan akkor, ha $f = 0$ majdnem mindenütt. Ha $f > 1/n$ egy $m$ mértékű halmazon, akkor $f \ge \tfrac1n\mathbf{1}_{\{f > 1/n\}}$, és a monotonitás miatt $\int f\,d\mu \ge m/n$. Tehát $\int f\,d\mu = 0$ kikényszeríti, hogy minden $\{f > 1/n\}$ nullmértékű legyen, az $\{f > 0\}$ pedig ezek megszámlálható uniója, ami „A Lebesgue-mérték és a nullmértékű halmazok” szerint nullmértékű. A másik irány az előző szabály.

Az utolsó szabály mögötti gondolatmenet általános egyenlőtlenséget ad: $c > 0$ esetén $c\cdot\mathbf{1}_{\{|f| > c\}} \le |f|$, tehát

$$
\mu(|f| > c) \le \frac{1}{c} \int |f| \, d\mu.
$$

Az a függvény, amelynek kicsi az integrálja, csak kis halmazon lehet nagy. A céltáblán az $\int s\,d\lambda = 2{,}0342$ és a $c = 5$ a $0{,}4068$ korlátot adja arra a területre, ahol a pontszám meghaladja az 5-öt, miközben a valódi terület, a $0{,}1$ sugarú középső körlapé, $0{,}0314$. A korlát olcsó, és minden mértéktéren érvényes. A pálya valószínűségi része Markov-egyenlőtlenség néven találkozik vele újra.

## Integrálás más mértékek szerint

A konstrukció sehol sem használta a hosszt. Az integrált egy mértékből, egyszerű függvényekből és egy szuprémumból építettük, így minden $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ mértéktéren létezik. A „Halmazok méretének mérése” mértékei ismerős mennyiségeket adnak, és mindegyikhez egysoros képlet tartozik.

- **Számlálómérték $\mathbb{N}$-en.** Az $A$ halmaz mértéke az elemeinek száma, így $\int \mathbf{1}_A\,d\mu = \sum_n \mathbf{1}_A(n)$, és az egyszerű függvényeken és lépcsős függvényeken át kiterjesztve $\int f\,d\mu = \sum_{n=1}^{\infty} f(n)$. Az $f(n) = 2^{-n}$ függvényre az integrál $1$, az $f(n) = 1/n^2$ függvényre $\pi^2/6 = 1{,}6449$. A dobókocka hat lapján, számlálómértékkel $\int (\text{lap})\,d\mu = 1 + 2 + \cdots + 6 = 21$.
- **A $\delta_x$ Dirac-mérték.** Az egész tömeg egy pontban van, így $\int f\,d\delta_x = f(x)$: a $\delta_x$ szerinti integrálás az $x$-beli kiértékelést jelenti.
- **Súlyozott ponttömegek, $\sum_i w_i \delta_{x_i}$.** Az integrál a súlyozott összeg, $\sum_i w_i f(x_i)$. A $0{,}2$-ben levő $0{,}5$, a $0{,}45$-ben levő $0{,}3$ és a $0{,}9$-ben levő $0{,}2$ tömegre és az $f(x) = x$ függvényre ez $0{,}5 \cdot 0{,}2 + 0{,}3 \cdot 0{,}45 + 0{,}2 \cdot 0{,}9 = 0{,}415$.
- **Egy $\rho$ sűrűségű mérték.** Ha $\mu(A) = \int_A \rho\,d\lambda$, akkor $\int f\,d\mu = \int f\rho\,d\lambda$. Indikátorra ez $\mu$ definíciója, a linearitás egyszerű függvényekre viszi át, a lépcsős függvények pedig minden nemnegatív $f$-re. A „Halmazok méretének mérése” rúdján, $\rho(x) = 2x$ mellett, a helyzet integrálja $\int x\,d\mu = \int_0^1 x \cdot 2x\,dx = \tfrac23$.

Az utolsó integrálnak fizikai jelentése van. A rúd teljes tömege 1, és a hely szorozva a tömeggel, a rúd összes darabján összeadva, a súlypontja: $2/3$, a középtől jobbra, mert a rúd a jobb vége felé nehezebb. A rúd tömege helyett a hosszal ugyanez az integrál $\int x\,d\lambda = \tfrac12$.

Egy feltételre vigyázni kell. $\mathbb{N}$-en számlálómértékkel $f$ pontosan akkor integrálható, ha $\sum_n |f(n)| < \infty$, vagyis ha a sor abszolút konvergens. Az $1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \tfrac14 + \cdots$ alternáló harmonikus sor konvergens, $\ln 2 = 0{,}6931$-hez, de $\sum 1/n = \infty$, így az $f(n) = (-1)^{n+1}/n$ nem integrálható. Ez nem véletlen. A mértéktér pontjai között nincs sorrend, ezért az integrál nem függhet attól, milyen sorrendben járjuk be őket, miközben egy nem abszolút konvergens sor összege megváltozik, ha a tagjait átrendezzük: Riemann tétele szerint bármely számhoz konvergálóvá tehető. Az abszolút integrálhatóság teszi a végösszeget a sorrendtől függetlenné.

## Riemann és Lebesgue összehasonlítása

Ha egy intervallumon korlátos függvénynek van Riemann-integrálja, akkor Lebesgue-integrálja is van, ugyanazzal az értékkel. Az ok rövid. Egy Riemann-felosztás alsó és felső összege lépcsős függvények integrálja, a lépcsős függvények pedig egyszerű függvények. Az alsó lépcsős függvény $f$ alatt van, a felső fölötte, így $f$ Lebesgue-integrálja az alsó és felső összeg között van, a Riemann-integrál pedig pontosan akkor létezik, ha ezek összepréselhetők.

A Lebesgue-integrál több függvényre létezik. A $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ indikátornak nincs Riemann-integrálja, de a Lebesgue-integrálja $1 \cdot \lambda(\mathbb{Q} \cap [0, 1]) = 0$. A két integrál a nem korlátos tartományokat is másképp kezeli. Az $\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx$ improprius Riemann-integrál az $\int_0^b \frac{\sin x}{x}\,dx$ határértéke $b \to \infty$ esetén, és ez a határérték létezik, és $\pi/2 = 1{,}5708$: a tengely feletti első púp területe $1{,}8519$, a következő púpok pedig váltakozó előjelűek és zsugorodnak, így szabályozott módon kiegyenlítik egymást. A Lebesgue-integrál nem hajlandó integrálhatónak tekinteni. A $[j\pi, (j+1)\pi]$ feletti púpon $\int |\sin x|\,dx = 2$ és $1/x \ge 1/((j+1)\pi)$, így az $|\sin x|/x$ ezen púpjának területe legalább $2/((j+1)\pi)$. Ezek a korlátok harmonikus sort alkotnak, amely korlátlanul nő: $10$ púp legalább $1{,}8646$-ot ad, és nagyjából $3{,}7$ millió púp kell ahhoz, hogy $10$-et átlépjük. Tehát $\int_0^\infty |\sin x|/x\,dx = \infty$, és a $\sin x / x$ nem integrálható. Ez ugyanaz az $\infty - \infty$ probléma, mint korábban: az improprius Riemann-integrál attól függ, hogy rögzített sorrendben egyenlítünk ki.

Az utolsó különbség a következő leckénél a legfontosabb. A Riemann-integrálok nem élik túl a határértékeket. Sorold fel a racionális számokat $q_1, q_2, \ldots$ alakban, és legyen $f_n$ az első $n$ közülük indikátora. Minden $f_n$ véges sok pont kivételével nulla, így van Riemann-integrálja, $0$. A pontonkénti határértékük mégis $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$, amelynek egyáltalán nincs Riemann-integrálja. A Lebesgue-integrálnál a határérték ismét integrálható, és értéke $0$. Hogy milyen feltételekkel cserélhető fel a határérték és az integrál, azt a „Konvergenciatételek” tárgyalja.

## Összefoglalás

- A Riemann-integrál az értelmezési tartományt oszlopokra szeleteli, és azt kívánja, hogy $f$ rövid szakaszokon közel állandó legyen; a Lebesgue-integrál az értékkészletet szeleteli rétegekre, és csak a szinthalmazok mértékét kívánja, mint amikor az érméket érték szerint rendezzük, mielőtt megszámoljuk őket.
- Egyszerű függvényre $\int \varphi\,d\mu = \sum a_k \mu(A_k)$; $f \ge 0$ esetén $\int f\,d\mu$ az $f$ alatti egyszerű függvények integráljainak szuprémuma, amelyet a diadikus lépcsős függvények közelítenek.
- A $\int f\,d\mu = \int_0^\infty \mu(f > t)\,dt$ rétegtorta-formula a tér feletti integrált a farokfüggvény alatti területté alakítja; a céltáblán mindkét út $2{,}0342$-t ad.
- Egy függvény integrálható, ha $\int |f|\,d\mu < \infty$, és ekkor $\int f = \int f^+ - \int f^-$; az integrál lineáris és monoton, nem érzékeli a nullmértékű halmazokat, és $|f|$ integrálja csak akkor nulla, ha $f = 0$ majdnem mindenütt.
- A számlálómérték szerint az integrál egy sor, a $\delta_x$ szerint kiértékelés, a ponttömegek szerint súlyozott összeg, a $\rho$ sűrűség szerint az $f\rho$ integrálja; sorokra az integrálhatóság az abszolút konvergenciát jelenti.
- A Lebesgue-integrál mindenhol megegyezik a Riemann-integrállal, ahol az létezik, a $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$-t és bármely mértékteret lefedi, és az az integrál, amely jól viselkedik határértékek mellett.

[Nyisd meg a Lebesgue-integrál labort](https://quantsandbox.dev/hu/lebesgue-integral)

## Interaktív laborok

- [Lebesgue- és Riemann-integrál: interaktív labor](https://quantsandbox.dev/hu/lebesgue-integral)

---

Forrás: https://quantsandbox.dev/hu/guide/probability/lebesgue-integration

Előző lecke: [Mérhető függvények](https://quantsandbox.dev/hu/guide/probability/measurable-functions)

Következő lecke: [Konvergenciatételek](https://quantsandbox.dev/hu/guide/probability/convergence-theorems)