# Konvergenciatételek Mikor egyezik az integrálok határértéke a határérték integráljával: elszökő tömeg, monoton konvergencia, Fatou-lemma, dominált konvergencia, sorok. „A Lebesgue-integrál” minden mérhető függvényhez megalkotta a $\int f \, d\mu$ integrált az értékkészlet rétegekre bontásával, és elmondta, hogy ennek az integrálnak a határértékek mellett jól kell viselkednie. A „Mérhető függvények” a másik felét adta: mérhető függvények határértéke ismét mérhető, így a $\int \lim_n f_n \, d\mu$ kifejezésnek mindig van értelme. Ami még hiányzik, az az összehasonlítás a $\lim_n \int f_n \, d\mu$ értékkel. Ez a lecke két példán megmutatja, hogy a kettő különbözhet, majd három tételt bizonyít, a monoton konvergenciát, a Fatou-lemmát és a dominált konvergenciát, amelyek megmondják, mikor egyeznek. Ezekkel sorokat integrál tagonként, és integrálokat deriválja. A pálya valószínűségi része ezeket a tételeket használja újra, valahányszor egy határértéket át kell vinni egy várható értéken. ## Határértékek és integrálok Legyenek $f_1, f_2, \ldots$ mérhető függvények egy $(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$ mértéktéren, amelyek minden pontban konvergálnak, $f_n(x) \to f(x)$. Ezt **pontonkénti konvergenciának** nevezzük. Most két számot lehet kiszámolni. Az egyik előbb integrál, és utána vesz határértéket: $\lim_n \int f_n \, d\mu$. A másik előbb vesz határértéket, és utána integrál: $\int \lim_n f_n \, d\mu = \int f \, d\mu$. A határérték és az integrál felcserélése azt jelenti, hogy e két szám egyenlő. Sok rutinszámítás szó nélkül használja ezt a cserét, például egy végtelen sor tagonkénti integrálása, ezért érdemes pontosan tudni, mikor szabad. Nem mindig szabad. A hosszal ellátott $[0, 1]$ intervallumon vegyük a **tüskét**, $f_n = n \cdot \mathbf{1}_{(0, 1/n]}$-t, a $(0, 1/n]$ intervallumon álló $n$ magas oszlopot. Egy rögzített pontban, például $x = 0{,}05$-nél az értékek $f_{10}(0{,}05) = 10$ és $f_{20}(0{,}05) = 20$, majd minden $n \ge 21$ esetén $0$, mert az oszlop addigra $0{,}05$-tól balra került. Ugyanez történik minden $x > 0$ pontban, és minden $n$-re $f_n(0) = 0$, így a pontonkénti határérték a nullfüggvény. Minden tüske mégis ugyanakkora területet zár be: $$ \int_0^1 f_n \, d\lambda = n \cdot \frac{1}{n} = 1 \quad \text{minden } n\text{-re}, \qquad \int_0^1 \lim_n f_n \, d\lambda = 0. $$ Az 1 integrál nem halványul el; egyre kisebb halmazba préselődik, és a határon eltűnik. A második hiba másképp néz ki. A $[0, \infty)$ félegyenesen vegyük a **szökő púpot**, $f_n = \mathbf{1}_{[n, n+1]}$-t, az 1 magas és 1 széles oszlopot, amely jobbra csúszik. Minden $f_n$ integrálja 1, de egy rögzített $x$ pontot az oszlop $n > x$ után maga mögött hagy, így a pontonkénti határérték megint a nullfüggvény, a határérték integrálja pedig 0. Itt a tömeg nem préselődik össze, hanem elutazik a végtelenbe. A konvergencia labor szökő tömegről szóló oldala egy duplázós fogadást mutat, amely ugyanígy veszíti el a tömegét. Az ábra négy sorozatra rajzolja ki $f_n$-et és a határértékét: erre a két hibára, és két olyan sorozatra, amelyeknél a csere működik, amit a következő szakaszok magyaráznak meg. A tüskével indul, $n = 5$-tel, ahol $\int f_n = 1$, a határérték integrálja pedig 0. Mozgasd $n$-et, és figyeld, hogy az első szám soha nem változik, aztán válts a levágott függvényre és a hatványra, és nézd, ahogy $f_n$ integráljai közelednek a határérték integráljához. *[Interaktív ábra: limit swap](https://quantsandbox.dev/hu/guide/probability/convergence-theorems)* ## Pontonkénti és egyenletes konvergencia A pontonkénti konvergencia csak azt ígéri, hogy minden pont előbb-utóbb megnyugszik; hogy ez meddig tart, függhet a ponttól. A tüskénél az $x = 0{,}05$ pontnak $n \ge 21$ kell, az $x = 0{,}001$ pontnak $n \ge 1{,}001$. Nincs olyan egyetlen $n$, amely után minden pont megnyugodna, és a tüske legnagyobb értéke, $\sup_x |f_n(x) - 0| = n$, korlátlanul nő. Az **egyenletes konvergencia** egyetlen sebességet kér minden pontra: $\sup_x |f_n(x) - f(x)| \to 0$. Véges összes tömegű téren ez elég a cseréhez, mert $$ \Big| \int f_n \, d\mu - \int f \, d\mu \Big| \le \int |f_n - f| \, d\mu \le \mu(\Omega) \cdot \sup_x |f_n(x) - f(x)|. $$ Szavakban: egy függvény integrálja nem lehet több, mint a legnagyobb értéke szorozva a tér összes tömegével. Példaként vegyük az $f_n(x) = x^2 + x/n$ függvényeket $[0, 1]$-en, amelyek egyenletesen tartanak $x^2$-hez, $\sup_x |f_n - f| = 1/n$-nel. Az integrálok $\int_0^1 f_n \, d\lambda = \tfrac13 + \tfrac{1}{2n}$, amelyek $\tfrac{1}{2n}$-nel térnek el $\tfrac13$-tól, bőven az $1/n$ korlát alatt; $n = 10$-nél az eltérés $0{,}05$, a korlát $0{,}1$. A $\mu(\Omega)$ tényező számít. A $[0, \infty)$ félegyenesen a $\tfrac1n \mathbf{1}_{[0, n]}$ függvények egyenletesen tartanak 0-hoz, hiszen a legnagyobb értékük $1/n$, mégis mindegyik integrálja 1. Az egyenletes konvergencia ráadásul messze túl erős ahhoz, hogy ez lenne az egész történet. Az $x^n$ hatványok $[0, 1]$-en minden $x < 1$ pontban 0-hoz tartanak, de a konvergencia nem egyenletes: az $x^n$ görbe az $x = 0{,}5^{1/n}$ pontban éri el a $\tfrac12$ magasságot, ami $n = 2$-re $0{,}7071$, $n = 10$-re $0{,}9330$, $n = 50$-re $0{,}9862$, így a legnagyobb érték $[0, 1)$-en minden $n$-re 1 marad. Az $\tfrac{1}{n+1}$ integrálok mégis 0-hoz tartanak, a határérték integráljához. Az alábbi három tétel az ilyen eseteket magyarázza meg, és sokkal kevesebbet kér az egyenletes konvergenciánál. ## Monoton konvergencia Az első tételhez semmi más nem kell, csak monotonitás. Egy sorozat **növekvő**, ha minden $x$-re és $n$-re $f_n(x) \le f_{n+1}(x)$. **Monoton konvergencia tétele:** ha $0 \le f_1 \le f_2 \le \cdots$ mérhetők és pontonként $f_n \to f$, akkor $$ \int f_n \, d\mu \uparrow \int f \, d\mu, $$ ahol a jobb oldal lehet $\infty$ is. A gondolat az, hogy egy növekvő sorozatnak nincs mit elveszítenie: minden $f_n$ az $f$ alatt van, és a függvények csak újabb rétegeket tesznek hozzá. Az állítás megengedi a végtelen értékeket. Például a $\mathbf{1}_{[0, n]}$ függvények a félegyenesen $\mathbf{1}_{[0, \infty)}$-hez nőnek, az $n$ integrálok $\infty$-hez nőnek, és a $\infty$ a határérték integrálja. A bizonyítást érdemes elolvasni, mert megmutatja, mit ad az integrál szuprémumként való definíciója. 1. A $\le$ egyenlőtlenség. Mivel $f_n \le f$, a monotonitás miatt minden $n$-re $\int f_n \le \int f$. Az $\int f_n$ integrálok nőnek, így van határértékük, $L$ (esetleg $\infty$), és $L \le \int f$. 2. A $\ge$ egyenlőtlenség. Definíció szerint $\int f$ az $\int \varphi$ szuprémuma a $0 \le \varphi \le f$ egyszerű függvényekre, ezért elég minden ilyen $\varphi = \sum_j a_j \mathbf{1}_{A_j}$-re belátni, hogy $L \ge \int \varphi$. Rögzíts egyet, és rögzíts egy $c$ számot, $0 < c < 1$; a $c$ ráhagyás helyet ad egy alábbi szigorú egyenlőtlenségnek. 3. Legyen $E_n = \{f_n \ge c\varphi\}$. Ezek a halmazok mérhetők, és $n$-nel nőnek, mert $f_n$ nő. Kitöltik az egész teret: ahol $\varphi(x) = 0$, a pont $E_1$-ben van, ahol pedig $\varphi(x) > 0$, ott $c\varphi(x) < \varphi(x) \le f(x)$, így $f_n(x)$ meghaladja $c\varphi(x)$-et, ha $n$ elég nagy. 4. $E_n$-en az $f_n$ legalább $c\varphi$, így $\int f_n \ge \int c\varphi \mathbf{1}_{E_n} = c \sum_j a_j \, \mu(A_j \cap E_n)$. 5. Ahogy $n$ nő, $A_j \cap E_n$ növekszik $A_j$-hez, így a „Halmazok méretének mérése” alulról való folytonossága szerint $\mu(A_j \cap E_n) \to \mu(A_j)$. Tehát $L \ge c \sum_j a_j \mu(A_j) = c \int \varphi$. 6. Engedd $c \to 1$-hez, majd vedd a szuprémumot $\varphi$-re: $L \ge \int f$. Példa korlátlan határfüggvényre: az $f_n = \min(x^{-1/2}, n)$ **levágott függvények** $[0, 1]$-en követik az $x^{-1/2}$ görbét addig, amíg az eléri az $n$ magasságot, az $x = 1/n^2$ pontban, attól balra pedig $n$ magasan vízszintesek. $n$-nel nőnek $x^{-1/2}$-hez, amely a 0-ban végtelen, de integrálható, és mindegyik integrálja $n \cdot \tfrac{1}{n^2} + \big(2 - \tfrac{2}{n}\big) = 2 - \tfrac1n$. A monoton konvergencia szerint $\int_0^1 x^{-1/2} \, dx = \lim_n (2 - \tfrac1n) = 2$. Így integrálunk korlátlan függvényt: hozzá tartó, növekvő korlátos függvényekkel. > A monoton konvergencia azt is megmagyarázza, miért következetes „A Lebesgue-integrál”: ha $\varphi_n$ növekvő egyszerű függvények pontonként $f$-hez tartanak, akkor $\int \varphi_n \, d\mu \to \int f \, d\mu$ minden ilyen sorozatra, akárhogyan választjuk a lépcsőket. ### Kidolgozott példa: Egy levágott függvény és egy tüske 1. Ahol $f_{10} = \min(x^{-1/2}, 10)$ levágása véget ér: $$x = 1/10^2$$ → **0.01** 2. A vízszintes rész, 10 magas a $[0; 0{,}01]$ intervallumon: $$\int_0^{0{,}01} 10\,dx$$ → **0.1** 3. A görbe rész: $$\int_{0{,}01}^1 x^{-1/2}\,dx = 2 - 2\sqrt{0{,}01}$$ → **1.8** 4. Az összegük: $$\int_0^1 f_{10}\,d\lambda = 0{,}1 + 1{,}8$$ → **1.9** 5. A határérték monoton konvergenciával, mivel $\int_0^1 f_n\,d\lambda = 2 - 1/n$: $$\lim_n (2 - 1/n)$$ → **2** 6. Az $f_{10}$ tüske, 10 magas a $(0; 0{,}1]$ intervallumon: $$\int_0^1 10 \cdot \mathbf{1}_{(0;\,0{,}1]}\,d\lambda$$ → **1** 7. Pontonkénti határértéke mindenhol 0, így: $$\int_0^1 \lim_n f_n\,d\lambda$$ → **0** ## Nemnegatív függvények sorai A sor a részletösszegeinek határértéke, nemnegatív függvények részletösszegei pedig növekednek. A monoton konvergenciát ezekre alkalmazva megkapjuk a sor tagonkénti integrálásának szabályát: ha minden $k$-ra $g_k \ge 0$, akkor $$ \int \sum_{k=1}^{\infty} g_k \, d\mu = \sum_{k=1}^{\infty} \int g_k \, d\mu, $$ ahol mindkét oldal lehet végtelen is. Az $s_n = g_1 + \cdots + g_n$ részletösszegekre a linearitás miatt $\int s_n = \sum_{k \le n} \int g_k$, és $s_n \uparrow \sum_k g_k$, így az $n \to \infty$ határátmenet mindkét oldalon éppen a monoton konvergencia. A $[0, 1)$-en érvényes $\sum_{k \ge 0} x^k = 1/(1 - x)$ mértani sorra ez azt mondja, hogy $\int_0^1 \frac{dx}{1-x} = \sum_{k \ge 0} \frac{1}{k+1} = \infty$: az $1/(1-x)$ alatti terület éppen azért végtelen, mert a harmonikus sor divergens. Véges eredményhez másik sor kell. A $[0, 1)$ intervallumon $$ -\frac{\ln(1 - x)}{x} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{k-1}}{k}, $$ és minden tag nemnegatív. Mivel $\int_0^1 \frac{x^{k-1}}{k} \, dx = \frac{1}{k^2}$, a szabály szerint $\int_0^1 -\frac{\ln(1-x)}{x} \, dx = \sum_k \frac{1}{k^2}$. Az összeg a klasszikus $\pi^2/6 \approx 1{,}6449$ érték, a részletösszegek pedig lassan kúsznak felé: $1$, $1{,}25$, $1{,}361$, $1{,}424$, tíz tag után $1{,}550$. A bal oldal numerikus integrálása is $1{,}6449$-et ad, vagyis a tétel egy kézzel kényelmetlen integrált ismerős összeggé alakított. ### Kidolgozott példa: Sor tagonkénti integrálása 1. Az első tag integrálja, $k = 1$: $$\int_0^1 x^{0}\,dx = 1/1^2$$ → **1** 2. Részletösszeg két taggal: $$1 + 1/4$$ → **1.25** 3. Részletösszeg három taggal: $$1 + 1/4 + 1/9$$ → **1.3611** 4. Részletösszeg négy taggal: $$1 + 1/4 + 1/9 + 1/16$$ → **1.4236** 5. Részletösszeg tíz taggal: $$\sum_{k=1}^{10} 1/k^2$$ → **1.5498** 6. Részletösszeg ezer taggal: $$\sum_{k=1}^{1000} 1/k^2$$ → **1.6439** 7. A határérték, amely a bal oldal integrálja is: $$\pi^2/6$$ → **1.6449** Ugyanez a szabály a számláló mérték különleges esetében már ismerős. „A Lebesgue-integrál” szerint egy $a: \mathbb{N} \to [0, \infty)$ függvény integrálja a számláló mérték szerint az $\sum_k a_k$ összeg, így nemnegatív $a_{n,k}$ számok táblázatára a szabály azt mondja, hogy ha előbb a sorokat adjuk össze, és utána az oszlopokat, ugyanazt a végösszeget kapjuk, mintha az oszlopokkal kezdenénk. A nemnegativitás nem hagyható el. Vegyük azt a táblázatot, amelyben $a_{n,n} = 1$, $a_{n,n+1} = -1$, minden más elem pedig $0$. Minden sor összege $1 - 1 = 0$, így a sorokkal kezdve $0$-t kapunk. Az első oszlop összege $1$, minden további oszlopé $-1 + 1 = 0$, így az oszlopokkal kezdve $1$-et kapunk. A két sorrend azért tér el, mert a táblázat elemei mindkét előjelűek, és az abszolút értékeik összege végtelen. Hogy vegyes előjelnél mi pótolja a nemnegativitást, azt a dominált konvergenciáról szóló szakasz mondja el. ## A Fatou-lemma Monotonitás nélkül a nemnegatív függvények még mindig teljesítenek egy egyenlőtlenséget. Kimondásához emlékezzünk a számsorozatok **alsó határértékére**: $\liminf_n a_n = \lim_{n} \inf_{k \ge n} a_k$, arra a szintre, amely fölött a sorozat egy ponttól kezdve marad, tetszőlegesen kis ráhagyással. Függvénysorozatra ezt pontonként alkalmazzuk. **Fatou-lemma:** ha $f_n \ge 0$ mérhetők, akkor $$ \int \liminf_{n} f_n \, d\mu \le \liminf_{n} \int f_n \, d\mu. $$ Szavakban: a határérték integrálja soha nem több, mint az integrálok határértéke. A bizonyítás a sorozat alsó burkolóira alkalmazza a monoton konvergenciát. 1. Legyen $g_n = \inf_{k \ge n} f_k$. Ez mérhető, mert a mérhető függvények zártak az infimumra („Mérhető függvények”), és $0 \le g_1 \le g_2 \le \cdots$ definíció szerint $\liminf_n f_n$-hez nő. 2. A monoton konvergencia szerint $\int g_n \uparrow \int \liminf_n f_n$. 3. Minden $k \ge n$ esetén $g_n \le f_k$, így $\int g_n \le \int f_k$, tehát $\int g_n \le \inf_{k \ge n} \int f_k$. 4. Engedd $n \to \infty$-hez. A bal oldal $\int \liminf_n f_n$-hez tart, a jobb oldal $\liminf_n \int f_n$-hez. A tüskére a lemma $0 \le 1$, és a különbség a belepréselt tömeg. Az egyenlőtlenség akkor is lehet szigorú, ha semmit sem préselünk össze és semmi sem szökik el. Legyen $f_n = \mathbf{1}_{[0, 1/2]}$ páratlan $n$-re és $f_n = \mathbf{1}_{[1/2, 1]}$ páros $n$-re. Az $\tfrac12$-től különböző minden pontban az értékek 1 és 0 között váltakoznak, így az alsó határérték 0, a bal oldal tehát 0, miközben minden $\int f_n = \tfrac12$. A tömeg útközben nem vész el; egyszerűen egyetlen pontban sem marad meg, és az alsó határérték csak azt látja, ami minden lépésben megmarad. A levágott függvényeknél és a hatványoknál a két oldal egyenlő: $2 = 2$ és $0 = 0$. A Fatou-lemma tanulsága egy irány: határátmenetben a tömeg eltűnhet, de nem keletkezhet. Ez az egyetlen állítás, amely minden nemnegatív függvénysorozatra további feltevés nélkül igaz, és ez a következő tétel motorja. ## Dominált konvergencia Az eddigi tételek mindegyike nemnegatív függvényeket kér. A következő bármilyen előjelet megenged, és egyetlen integrálható korlátot kér. **Dominált konvergencia tétele:** ha majdnem mindenütt $f_n \to f$, és van olyan egyetlen $g$ függvény, amelyre minden $n$-re $|f_n| \le g$ és $\int g \, d\mu < \infty$, akkor $f$ integrálható, és $$ \int f_n \, d\mu \to \int f \, d\mu. $$ A „majdnem mindenütt” itt a „A Lebesgue-mérték és a nullmértékű halmazok” jelentésében szerepel: azok a pontok, ahol a konvergencia nem teljesül, nullmértékű halmazt alkotnak, amelyet az integrál nem lát. A gondolat az, hogy egyetlen integrálható $g$ megakadályozza a tömeg összepréselődését vagy elszökését, mert nincs elég hely a $g$ alatt. A bizonyítás kétszer alkalmazza a Fatou-lemmát, a fenti alsó határértékkel és a tükörképével, $\limsup_n a_n = \lim_n \sup_{k \ge n} a_k$-val. 1. Mivel majdnem mindenütt $|f| \le g$, $f$ integrálható. Mind $g + f_n$, mind $g - f_n$ nemnegatív. 2. A Fatou-lemma a $g + f_n \to g + f$ sorozatra: $\int (g + f) \le \liminf \int (g + f_n) = \int g + \liminf \int f_n$. A véges $\int g$ kivonása után $\int f \le \liminf \int f_n$ marad. 3. A Fatou-lemma a $g - f_n \to g - f$ sorozatra: $\int g - \int f \le \int g - \limsup \int f_n$, tehát $\limsup \int f_n \le \int f$. 4. Így $\int f \le \liminf \int f_n \le \limsup \int f_n \le \int f$, vagyis a határérték létezik, és $\int f$-fel egyenlő. Az $x^n$ hatványok $[0, 1]$-en az egyetlen $x = 1$ pont, egy nullmértékű halmaz kivételével 0-hoz tartanak, és mindegyik az integrálható 1 konstans alatt marad. A tétel szerint $\int_0^1 x^n \, dx = \tfrac{1}{n+1} \to 0$, amit a képlet is mutat, de most képlet nélkül kapjuk. A tétel akkor is működik, ha egyáltalán nincs képlet: az $(1 + x/n)^{-n}$ függvények 0 és 1 között vannak $[0, 1]$-en, és $e^{-x}$-hez tartanak, így az integráljaik $1 - e^{-1} \approx 0{,}6321$-hez tartanak; a pontos értékek $n = 10$-re $0{,}6399$, $n = 100$-ra $0{,}6329$, $n = 1{,}000$-re $0{,}6322$. Véges összes tömegű téren, konstans korláttal a tételt gyakran **korlátos konvergenciának** hívják. A tüskének nincs integrálható korlátja, és az ok megmutatja, miért kell egyetlen függvény minden $n$-re. Minden $g$, amely minden $f_n$ fölött van, legalább $\sup_n f_n$. Egy $x$ pontban az $n \le 1/x$ tüskék értéke $n$, így ez a szuprémum $\lfloor 1/x \rfloor$, az $1/x$ egész része, amely a 0 közelében úgy viselkedik, mint $1/x$. Az integrálja harmonikus sor. Az első $N$ tüske maximuma pontosan a $(0, 1/n]$ halmazon legalább $n$, amelynek hossza $1/n$, így „A Lebesgue-integrál” rétegtorta-formulája szerint az integrálja $\sum_{n=1}^{N} \tfrac1n$, ami $N = 10$-re $2{,}929$, $N = 100$-ra $5{,}187$, $N = 1{,}000$-re $7{,}485$, vég nélkül nő. Minden tüske külön-külön korlátos, $n$-nel; ami hiányzik, az egy olyan korlát, amely egyszerre szolgál minden $n$-et. ## Paramétertől függő integrálok Sok integrál paramétertől függ, $F(t) = \int f(x, t) \, d\mu(x)$, és gyakran kell, hogy $F$ folytonos vagy differenciálható legyen $t$-ben. Mindkét kérdés határértékkérdés. $F$ akkor folytonos $t$-ben, ha minden $t_n \to t$ sorozatra $F(t_n) \to F(t)$, ami egy határérték és egy integrál cseréje, így a dominált konvergencia alkalmazható. **Folytonosság.** Ha majdnem minden $x$-re a $t \mapsto f(x, t)$ függvény folytonos, és egy intervallumon minden $t$-re $|f(x, t)| \le g(x)$, ahol $\int g \, d\mu < \infty$, akkor $F$ folytonos ezen az intervallumon. A bizonyításhoz vegyünk egy $t_n \to t$ sorozatot: majdnem minden $x$-re $f(x, t_n) \to f(x, t)$, mindegyiket $g$ korlátozza, és a dominált konvergencia szerint $F(t_n) \to F(t)$. **Deriválás.** Ha $\partial f/\partial t$ létezik, és egy intervallumon minden $t$-re $|\partial f / \partial t (x, t)| \le g(x)$, ahol $g$ integrálható, akkor $F$ ott differenciálható, és $$ F'(t) = \int \frac{\partial f}{\partial t}(x, t) \, d\mu(x). $$ A bizonyítás a különbségi hányadosokat nézi. Egy $h_n \to 0$ sorozatra a $\big(f(x, t + h_n) - f(x, t)\big)/h_n$ hányados $\partial f/\partial t (x, t)$-hez tart, és a Lagrange-középértéktétel szerint egyenlő valamilyen $t$ és $t + h_n$ közötti $\xi$-vel vett $\partial f/\partial t (x, \xi)$-vel, így $g(x)$ korlátozza. A dominált konvergencia a pontonkénti határértéket integrálok határértékévé alakítja, a hányadosok integráljai pedig éppen a $\big(F(t + h_n) - F(t)\big)/h_n$ hányadosok. Példaként vegyük az $F(t) = \int_0^1 e^{tx} \, dx = \frac{e^t - 1}{t}$ függvényt, $F(0) = 1$-gyel. $t \in [-1, 1]$ esetén a $t$ szerinti derivált $x e^{tx}$, amely $[0, 1]$-en legfeljebb $e$, egy integrálható konstans. Tehát $F'(0) = \int_0^1 x \, dx = \tfrac12$. Közvetlen ellenőrzés egyezik: $F(0{,}001) = 1{,}0005002$ és $F(-0{,}001) = 0{,}9995002$, így a $0{,}002$ lépésközű különbségi hányados hét jegyre $0{,}5000000$, és az $F(t) = 1 + \tfrac{t}{2} + \tfrac{t^2}{6} + \cdots$ sor meredeksége a 0-ban $\tfrac12$. A tüske a szokásos figyelmeztetés. Legyen $f(x, t) = \tfrac1t \mathbf{1}_{(0, t]}(x)$, ha $t \in (0, 1]$, és $f(x, 0) = 0$. Ekkor minden $t > 0$ esetén $F(t) = 1$, de $F(0) = 0$, így $F$ ugrik a 0-ban, bár minden $x$-re $f(x, t) \to f(x, 0)$. Nincs olyan integrálható $g$, amely mindezeket a függvényeket korlátozná, és a folytonosság elbukik. ## A megfelelő tétel kiválasztása Minden tétel egy feltevést cserél egy következtetésre. Ha egy határértéket át kell vinni egy integrálon, a kérdéseket ebben a sorrendben tedd fel. - A függvények nemnegatívak és növekvők: a **monoton konvergencia** egyenlőséget ad, akkor is, ha az érték végtelen. Ez az eszköz nemnegatív tagú sorokhoz és korlátlan függvények integráljához. - A függvények nemnegatívak, de a monotonitásról és a korlátokról semmit sem tudunk: a **Fatou-lemma** egy egyenlőtlenséget ad, $\int \liminf f_n \le \liminf \int f_n$, ami gyakran éppen elég. - A függvények vegyes előjelűek, vagy nem monotonok: keress egyetlen integrálható $g$ függvényt az összes $|f_n|$ fölött. Ha van, a **dominált konvergencia** egyenlőséget ad; véges összes tömegű téren elég egy konstans korlát. - Egyik sem alkalmazható: a csere elbukhat. Keress olyan tömeget, amely egy zsugorodó halmazba préselődik, mint a tüskénél, vagy amely a végtelenbe szalad, mint a szökő púpnál. A pálya egy későbbi leckéje megnevezi azt a feltételt, amely mindkettőt pontosan kizárja. ## Összefoglalás - Az $f_n \to f$ pontonkénti konvergenciából nem következik $\int f_n \to \int f$: a tömeg összepréselődhet egy zsugorodó halmazba, mint a tüskénél, vagy elszaladhat a végtelenbe, mint a szökő púpnál. - Az egyenletes konvergencia véges összes tömegű téren elég, de messze túl erős: $[0, 1]$-en az $x^n$ nem egyenletesen konvergál, integráljai mégis a határérték integráljához tartanak. - Monoton konvergencia: növekvő nemnegatív függvényekre $\int f_n \uparrow \int f$, végtelen érték esetén is; ebből adódik a nemnegatív sorok tagonkénti integrálása, például $\sum 1/k^2 = \pi^2/6$. - Fatou-lemma: nemnegatív függvényekre $\int \liminf f_n \le \liminf \int f_n$; határátmenetben a tömeg elveszhet, de soha nem keletkezik. - Dominált konvergencia: ha majdnem mindenütt $f_n \to f$ és egyetlen integrálható $g$-re $|f_n| \le g$, akkor $\int f_n \to \int f$; a korlátnak egyszerre kell szolgálnia minden $n$-et, a tüskének pedig nincs ilyen. - Ugyanez a tétel teszi folytonossá az $F(t) = \int f(x, t) \, d\mu$ függvényt, és engedi a deriváltat az integrál alá vinni, ha $f$-nek vagy $\partial f/\partial t$-nek van integrálható korlátja. [Nyisd meg a konvergencia labort](https://quantsandbox.dev/hu/convergence) ## Interaktív laborok - [Konvergenciatételek: MCT, DCT és Fatou-lemma](https://quantsandbox.dev/hu/convergence) --- Forrás: https://quantsandbox.dev/hu/guide/probability/convergence-theorems Előző lecke: [A Lebesgue-integrál](https://quantsandbox.dev/hu/guide/probability/lebesgue-integration) Következő lecke: [Valószínűségi mezők és a Kolmogorov-axiómák](https://quantsandbox.dev/hu/guide/probability/probability-spaces-axioms)