# Rendszerkockázat és fertőzés Bankközi kitettségek hálózata, csődláncolatok, tűzeladások és bankrohamok: hogyan nő egy kis sokk rendszerszintű válsággá, és mitől függ a hálózat törékenysége. „Kockáztatott érték (VaR) és várható veszteség (ES)” egyetlen portfólió farokveszteségeit mérte, a „Diverzifikáció és korreláció” pedig megmutatta, hogyan csökken a kockázat sok eszköz tartásával, ha azok nem együtt mozognak. Mindkettő adottnak veszi a piac többi részét. Pénzügyi válságban ez a feltevés összeomlik: a bankok egymással szemben és ugyanazokban az eszközökben tartanak követeléseket, így az egyik bukása megváltoztatja a többiek veszteségét. Ez a lecke egyetlen mérlegtől egy hálózatig építi fel ezt a kölcsönhatást, és megmutatja, hogyan nőhet egy bankot érő sokk rendszerszintű válsággá. ## A rendszerkockázat A rendszerkockázat annak a kockázata, hogy a veszteségek egy intézménytől sokra terjednek át, és a pénzügyi rendszer egésze leáll: a fizetések elakadnak, a hitelezés megszűnik, és egészséges cégeket is olyan veszteségek érnek, amelyeket közvetlenül nem vállaltak. Egyetlen bank kockázatától abban különbözik, hogy a veszteség nem különálló veszteségek összege. Egy bank önmagában lehet jól tőkésített, és mégis csődbe mehet, mert a partnerei csődbe mennek. A veszteségek egyik intézményről a másikra terjedését fertőzésnek hívjuk. Három csatornán halad: a bankok közötti közvetlen kitettségeken, a közösen tartott eszközök tűzeladásán és a rövid lejáratú finanszírozás elleni bankrohamon. ## Egy bank mérlege Egy bank eszközei a cégeknek és háztartásoknak nyújtott hitelek, az értékpapírok és a más bankoknak adott hitelek (bankközi eszközök). Forrásai a betétek, a kötvények és a más bankoktól felvett hitelek. A sajáttőke a kettő különbsége: $$ E = A - L. $$ A sajáttőke az a puffer, amely a veszteségeket elnyeli. Egy $\ell$ nagyságú eszközveszteség egy az egyben csökkenti, $E' = E - \ell$, miközben a források nem változnak. Ha a veszteség meghaladja a sajáttőkét, $\ell > E$, az eszközök már nem fedezik a forrásokat, és a bank csődbe megy. Az eszközök 6%-ának megfelelő sajáttőke mellett ehhez a mérleg alig több mint 6%-ának elvesztése is elég. A bankközi piac köti össze ezeket a mérlegeket. Ha az $i$ bank $X_{ij}$ összeget hitelezett a $j$ banknak, ez a hitel $i$ eszköze és $j$ forrása. Ha minden bankot csomópontként, minden hitelt pedig a hitelezőtől az adós felé mutató nyílként rajzolunk, megkapjuk a kitettségi hálózatot. ## Csődláncolatok Tegyük fel, hogy a $j$ bank csődbe megy. A hitelezői követelésüknek csak egy $R$ hányadát kapják vissza, ez a megtérülési ráta, így az $i$ hitelező vesztesége $$ \ell_i = X_{ij}\,(1 - R). $$ Ha ez a veszteség meghaladja a hitelező sajáttőkéjét, a hitelező is csődbe megy, és a következő körben a saját hitelezői szenvednek veszteséget. Ez a szekvenciális csődalgoritmus, amellyel Furfine a bankközi kitettségeket stressztesztelte: sokkolj egy bankot, nézd meg, melyik bank bukik el az első körben, terheld a veszteséget a hitelezőikre, keresd meg a következő bukásokat, és ismételd, amíg egy kör már nem hoz új csődöt. Ha $D_{t}$ a $t$-edik körig csődbe ment bankok halmaza, az $i$ bank a $t + 1$-edik körben megy csődbe, ha $$ \sum_{j \in D_t} X_{ij}\,(1 - R) > E_i. $$ Az Eisenberg–Noe-modell ezt úgy finomítja, hogy az összes kifizetést egyszerre határozza meg: minden bank annyit fizet, amennyit a neki befolyó összegekből tud, és a megtérülési ráta a számítás eredménye, nem rögzített. A mechanizmus megértéséhez elég a szekvenciális változat. ### Kidolgozott példa: Csődlánc négy bank között 1. Az A, B, C és D bank sajáttőkéje 5, 4, 3 és 10 (milliárdban). B 10-et hitelezett A-nak, C 8-at B-nek, D 6-ot C-nek és 4-et A-nak. A megtérülési ráta 40%. A 12-t veszít a cégeknek adott hitelein, többet, mint az 5-ös sajáttőkéje, így az első körben csődbe megy. A második körben B elveszíti az A-val szembeni követelése $1 - R$ részét: $$10 \cdot (1 - 0{,}4)$$ → **6** 2. Ez több B 4-es sajáttőkéjénél, így B csődbe megy. D is veszít az A-val szembeni követelésén: $$4 \cdot 0{,}6$$ → **2.4** 3. D 7{,}6 sajáttőkével túlél. A harmadik körben C veszít a B-vel szembeni követelésén: $$8 \cdot 0{,}6$$ → **4.8** 4. C sajáttőkéje 3, így C csődbe megy. A negyedik körben D veszít a C-vel szembeni követelésén: $$6 \cdot 0{,}6$$ → **3.6** 5. D teljes vesztesége most $$2{,}4 + 3{,}6$$ → **6** 6. Ez a 10-es sajáttőkéje alatt marad, így a lánc megáll: egy bankot ért sokk után három bank ment csődbe. A megsemmisült sajáttőke 5 + 4 + 3 + 6 = 18 a rendszer 22-jéből, arányként: $$18 / 22$$ → **0.8182** A 12-es kezdeti veszteség egyedül A-t érte; a csődlánc a rendszer sajáttőkéjének 82%-át semmisítette meg. C sosem állt kapcsolatban A-val, mégis csődbe ment, mert olyan banknak hitelezett, amelyik igen. ## Tűzeladások A közvetlen kitettség nem az egyetlen kapcsolat. A bajba jutott bank eszközöket ad el, hogy készpénzhez jusson vagy csökkentse a mérlegét, és a nagy eladások lenyomják az árakat. Lineáris árhatás mellett $q$ mennyiség eladása után az ár $$ P = P_0\,(1 - \lambda\,q), $$ ahol $\lambda$ az eszköz illikviditását méri. Minden bank, amely tartja az eszközt, az új áron értékeli, így egy $h$ egységet tartó bank $h\,P_0\,\lambda\,q$ veszteséget szenved, pedig sosem kötött az eladóval. Ezek a veszteségek újabb eladásokat kényszeríthetnek ki, amelyek tovább nyomják az árat. A tűzeladások nem hiteleken, hanem közös állományokon terjesztik a veszteséget, ezért bukhatnak el együtt diverzifikáltnak látszó bankok, ha mind ugyanazokat az eszközöket tartják. ## Bankrohamok A bankok hosszú lejáratú hiteleket rövid lejáratú pénzből finanszíroznak: betétekből, repóügyletekből és rövid bankközi hitelekből. Ha a hitelezők attól tartanak, hogy egy bank gyenge, nem újítják meg ezt a finanszírozást. A banknak azonnal fizetnie kell, és mivel a hiteleit nem tudja gyorsan visszahívni, eszközöket kell eladnia, gyakran tűzeladási áron. A bankroham így olyan bankot is megbuktathat, amely előtte fizetőképes volt, az általa kiváltott tűzeladások pedig az eszköz többi tulajdonosára hárítják a veszteséget. ## A hálózat szerkezete Hogy meddig jut egy csődlánc, a hálózat alakjától függ. Ha minden bank sok adós között osztja szét a bankközi hitelezését, minden követelés kicsi, és egy adós bukása minden hitelezőnek csak keveset, a sajáttőkéjénél kevesebbet okoz. A veszteség megoszlik és elnyelődik. Ha minden bank csak egy-két másiknak hitelez, minden követelés nagy, és egyetlen bukás magában eltüntetheti egy hitelező sajáttőkéjét. Ebben az értelemben a több kapcsolat biztonságosabbá teszi a hálózatot. Ugyanezeknek a kapcsolatoknak van egy második hatása is. Ha a sokk elég nagy, vagy egyszerre több bankot ér, a sűrű hálózat minden bankhoz eljuttatja a veszteséget, és az egész rendszer együtt bukhat el. Gai és Kapadia, illetve Acemoglu, Ozdaglar és Tahbaz-Salehi ezt robusztus, mégis törékeny viselkedésnek nevezi: az erősen összekötött hálózat elnyeli a kis sokkokat, a nagyokat viszont mindenhová továbbítja. A koncentráció is számít. Az a bank, amelynek sokan hiteleztek, túl összekapcsolt ahhoz, hogy elbukjon, mert a csődje a méretétől függetlenül csődláncot indítana. Az ábra nyolc bankot helyez egy körre. Mindegyiknek 100 egységnyi eszköze van, ebből 20-at az utána következő bankoknak hitelez, a sajáttőkéje pedig az eszközök 6%-a. Indulj az alapbeállításból: két szomszédos hálózat, 50%-os sokk az A bank külső eszközein és nulla megtérülés. Minden követelés 10, több a 6-os sajáttőkénél, ezért nyomd meg a Következő kör gombot, és figyeld, ahogy a csődök visszafelé terjednek a körön, amíg 5 csődkör után mind a 8 bank csődbe megy, és a rendszer sajáttőkéjének 100%-a elvész. Most válts a teljes hálózatra: minden követelés 2{,}86-ra csökken, csak A megy csődbe, a veszteség a sajáttőke 54{,}2%-a. A két szomszédos hálózatban emeld a megtérülési rátát 50%-ra, és a lánc A-nál megáll, 33{,}3%-os sajáttőke-veszteséggel. Ezután csökkentsd a sajáttőke-puffert, vagy válassz másik bankot a sokkhoz. *[Interaktív ábra: contagion cascade](https://quantsandbox.dev/hu/guide/portfolio/systemic-contagion)* ## A rendszerszintű jelentőség mérése A felügyeletek azt akarják tudni, melyik intézmény a legfontosabb a rendszer szempontjából, nem csak azt, melyik a legkockázatosabb önmagában. Közvetlen mérőszám az, amit az ábra is számol: mekkora veszteséget okoz a többieknek egy adott bank bukása. Két piaci alapú mérőszám is elterjedt. A CoVaR a pénzügyi rendszer kockáztatott értéke azzal a feltétellel, hogy egy adott intézmény bajban van; a normál időszakbeli értékétől vett különbsége, a ΔCoVaR, az intézmény hozzájárulása. Az SRISK az a tőke, amelyet egy cégnek egy súlyos piaci esés során be kellene vonnia ahhoz, hogy a sajáttőkéje az eszközei megfontolt hányada maradjon. > A puffer és a megtérülés ugyanaz ellen a sokszorozódás ellen dolgozik: nagyobb sajáttőke-pufferrel a bank elnyeli a hitelezői veszteséget, magasabb megtérülési rátával pedig a veszteség kisebb. Ezért céloz a fertőzésre a tőkeszabályozás és a központi elszámolás is. ## Összefoglalás - A rendszerkockázat annak a kockázata, hogy a veszteségek egy intézménytől sokra terjednek át; a fertőzés közvetlen kitettségeken, közös eszközök tűzeladásán és bankrohamokon keresztül halad. - Egy bank csődbe megy, ha a vesztesége meghaladja a sajáttőkéjét, $\ell > E$; egy csődbe ment bank hitelezője $X_{ij}(1 - R)$-t veszít. - A szekvenciális csődalgoritmus ezt körről körre ismétli, amíg nem bukik el új bank, és egyetlen bankot ért sokk a rendszer sajáttőkéjének nagy részét megsemmisítheti. - A sok partnerre szétosztott kitettség elnyeli a kis sokkokat, de a sűrű hálózat a nagy sokkokat mindenhová továbbítja: robusztus, mégis törékeny. - A rendszerszintű jelentőséget a bukás által másoknak okozott veszteség, illetve piaci mérőszámok, például a ΔCoVaR és az SRISK mérik. [Nyisd meg a rendszerkockázat labort](https://quantsandbox.dev/hu/systemic-risk) ## Interaktív laborok - [Rendszerkockázat: bankhálózat és fertőzés](https://quantsandbox.dev/hu/systemic-risk) ## Gyakorló kérdések ### 1. Egy bank 50 milliárdot hitelezett egy partnernek, amely csődbe megy, a megtérülési ráta 30%. Hány milliárd a vesztesége? **Válasz:** 35 A veszteség a kitettség szorozva eggyel mínusz a megtérülési rátával: $50 \cdot (1 - 0{,}3) = 35$ milliárd. ### 2. Minden bank ugyanakkora teljes bankközi hitelezést több adós között oszt szét. Mi történik egy kis sokk után egy bank bukásának kárával? - a) Csökken, mert minden hitelező kevesebbet veszít - b) Nő, mert több bank kitett - c) Nem változik, mert a teljes hitelezés ugyanaz - d) Csak a megtérülési rátától függ **Válasz:** a) Csökken, mert minden hitelező kevesebbet veszít Minden követelés kisebb, így minden hitelező $X_{ij}(1-R)$ vesztesége nagyobb eséllyel marad a sajáttőkéje alatt. Nagy sokknál más a helyzet: akkor a sűrű hálózat minden bankhoz eljuttatja a veszteséget. --- Forrás: https://quantsandbox.dev/hu/guide/portfolio/systemic-contagion Előző lecke: [Kockáztatott érték (VaR) és várható veszteség (ES)](https://quantsandbox.dev/hu/guide/portfolio/risk-measures) Következő lecke: [Portfóliókorlátok és a shortolás nélküli hatékony front](https://quantsandbox.dev/hu/guide/portfolio/portfolio-constraints)