# Kockázatkerülés és az optimális teljes portfólió Várható érték–variancia hasznosság, közömbösségi görbék, a kockázatkerülési együttható és a tőkeallokációs egyenes legjobb pontja. A „Hatékony front és tőkepiaci egyenes” című lecke egyetlen egyenessel zárult: minden befektetőnek ugyanazt a P kockázatos portfóliót érdemes tartania, és ezt kell kevernie a kockázatmentes eszközzel. Azt viszont nem mondta meg, mennyit tartson P-ből. Ez a befektetőn múlik, nem a piacon. Ez a lecke egyetlen számmal, a kockázatkerülési együtthatóval írja le a befektető kockázathoz való viszonyát, és ennek segítségével megkeresi az egyenes legjobb pontját. ## A nyitva maradt döntés Tegyük a tőke $y$ hányadát P-be, $1 - y$ hányadát pedig az $r_f$ hozamú kockázatmentes eszközbe. Az előző leckéhez hasonlóan az így kapott **teljes portfólióra** $$ \mu = r_f + y\,(\mu_P - r_f), \qquad \sigma = y\,\sigma_P. $$ Minden $y$ érték a tőkeallokációs egyenes egy pontja. Egy óvatos befektető kis $y$-t választ, egy merész nagyot, az $y > 1$ pedig azt jelenti, hogy $r_f$ kamatra hitelt vesz fel, és a saját tőkéjénél többet fektet P-be. A pontok összevetéséhez olyan szabály kell, amely mérlegeli a várható hozamot a kockázattal szemben. ## Várható érték–variancia hasznosság A szokásos szabály minden portfóliónak egy pontszámot ad, a **hasznosságát**: $$ U = \mu - \tfrac{1}{2} A\,\sigma^2, $$ ahol a hozamokat tizedes törtként írjuk. Az $A$ **kockázatkerülési együttható** azt mutatja, mennyire bünteti a befektető a varianciát. $A > 0$ esetén a befektető kockázatkerülő: két azonos $\mu$-jű portfólió közül a kisebb $\sigma$-jú kap nagyobb pontszámot. $A = 0$ esetén csak a várható hozam számít (kockázatsemlegesség). A valódi befektetői viselkedést nagyjából 2 és 6 közötti értékek írják le. Példa: a kockázatos portfólióra $\mu_P = 11\%$ és $\sigma_P = 20\%$. Egy $A = 4$ együtthatójú befektető számára $$ U_P = 0{,}11 - \tfrac{1}{2}\times 4 \times 0{,}20^2 = 0{,}11 - 0{,}08 = 0{,}03. $$ ## Biztos egyenérték Egy kockázatmentes befektetésre $\sigma = 0$, így a hasznossága egyszerűen a hozama. Bármely portfólió hasznossága tehát hozamként is olvasható: ez a **biztos egyenérték**, az a biztos hozam, amelyet a befektető pontosan annyira tart vonzónak, mint a kockázatos portfóliót. A példában a befektető P-t egy biztos 3%-kal egyenértékűnek tartja. Ha a kockázatmentes kamat $r_f = 3\%$, akkor ennek a befektetőnek mindegy, hogy csak P-t vagy csak kincstárjegyet tart. ## Közömbösségi görbék Az azonos $U$ hasznosságú portfóliókra $$ \mu = U + \tfrac{1}{2} A\,\sigma^2. $$ A $(\sigma, \mu)$ síkon ez egy felfelé görbülő parabola, egy **közömbösségi görbe**: a befektetőnek mindegy, melyik pontját tartja. Minden további kockázati egységért több várható hozammal kell fizetni, és ez az ár $\sigma$-val együtt nő. A feljebb fekvő görbék nagyobb hasznosságot jelentenek. Nagyobb $A$ mellett a görbék meredekebbek, mert a kockázatkerülőbb befektető ugyanakkora kockázatért több kompenzációt kér. ## Az optimális teljes portfólió A teljes portfóliót a hasznosságba helyettesítve csak $y$-tól függő függvényt kapunk: $$ U(y) = r_f + y\,(\mu_P - r_f) - \tfrac{1}{2} A\,\sigma_P^2\, y^2. $$ Ez $y$-ban lefelé nyíló parabola. Az $(\mu_P - r_f) - A\sigma_P^2\, y$ deriváltat nullával egyenlővé téve $$ y^{*} = \frac{\mu_P - r_f}{A\,\sigma_P^2}, \qquad U^{*} = r_f + \frac{\text{SR}_P^2}{2A}, $$ ahol $\text{SR}_P = (\mu_P - r_f)/\sigma_P$ a Sharpe-ráta. Geometriailag $y^*$ az a pont, ahol egy közömbösségi görbe éppen érinti a tőkeallokációs egyenest: a magasabb görbék elkerülik az egyenest, az alacsonyabbak két pontban metszik, és mindkét pont rosszabb. > A kockázatos portfólió optimális súlya $y^{*} = (\mu_P - r_f)/(A\sigma_P^2)$: arányos a többlethozamával, és fordítottan arányos a varianciájával és a befektető kockázatkerülésével. ## Számpélda Legyen $\mu_P = 11\%$, $\sigma_P = 20\%$, $r_f = 3\%$ és $A = 4$. Ekkor $$ y^{*} = \frac{0{,}08}{4 \times 0{,}04} = 0{,}5, \qquad \mu = 3\% + 0{,}5 \times 8\% = 7\%, \qquad \sigma = 0{,}5 \times 20\% = 10\%, $$ és $U^{*} = 0{,}07 - \tfrac{1}{2}\times 4 \times 0{,}01 = 5\%$. Csak kincstárjegyet vagy csak P-t tartva a biztos egyenérték egyaránt 3%, így a fele-fele keverék mindkét végpontnál egyértelműen jobb. Egy kockázatkerülőbb, $A = 8$ együtthatójú befektető $y^* = 0{,}25$-öt tart (várható hozam 5%, szórás 5%), egy $A = 2$ együtthatójú pedig pontosan P-t ($y^* = 1$). Egy második befektető más piacon van, $\mu_P = 10\%$, $\sigma_P = 25\%$ és $r_f = 2\%$, kockázatkerülése pedig $A = 3$. ### Kidolgozott példa: Optimális teljes portfólió egy második befektetőnek 1. Az optimális súly a kockázatos portfólióban. $$y^{*} = \frac{\mu_P - r_f}{A\,\sigma_P^2}$$ → **0.4267** 2. A teljes portfólió várható hozama. $$\mu = r_f + y^{*}(\mu_P - r_f)$$ → **5.413%** 3. A volatilitása. $$\sigma = y^{*}\sigma_P$$ → **10.67%** 4. A hasznossága a $\text{SR}_P = 0{,}32$ Sharpe-rátán keresztül. $$U^{*} = r_f + \frac{\text{SR}_P^2}{2A}$$ → **3.707%** ## Hitelfelvétel Az optimális súly akkor nagyobb egynél, ha $A < (\mu_P - r_f)/\sigma_P^2$, itt ha $A < 2$. $A = 1{,}6$ mellett a befektető $y^* = 0{,}08/(1{,}6 \times 0{,}04) = 1{,}25$-öt szeretne: a saját tőkéje negyedét kölcsönveszi $r_f$ kamatra, és 125%-ot fektet P-be, 13%-os várható hozammal és 25%-os szórással. A gyakorlatban a befektetők drágábban vesznek fel hitelt, mint amennyiért kölcsönadnak, ezért az egyenes P után lefelé törik, és az optimális hitelfelvétel kisebb. Az ábra a példa tőkeallokációs egyenesét mutatja. Húzd a pontot az egyenes mentén $y$ kiválasztásához; a ponton átmenő görbe az a közömbösségi görbe, amelyen éppen vagy, a szaggatott görbe pedig az optimumhoz tartozik. Indulj P-ből, ahol a két görbe messze van egymástól, és húzd a kockázatmentes vég felé: a hasznosság nő, amíg a pont rá nem ugrik az optimumra $y = 0{,}5$-nél, utána ismét csökken. Válts $A$-t, és figyeld meg, hogy az optimum elmozdul, az egyenes viszont a helyén marad. *[Interaktív ábra: utility indifference](https://quantsandbox.dev/hu/guide/portfolio/risk-aversion)* ## A két döntés szétválása Az eredmény két részre bontja a befektetési problémát. Hogy melyik kockázatos portfóliót tartsuk, csak a piacon múlik (várható hozamok, szórások, korrelációk): minden várható érték–variancia alapon döntő befektető az érintési portfóliót választja. Hogy mennyit tartsunk belőle, csak a befektető $A$ együtthatóján múlik. Ez a **két alap tétele**: bármely optimális portfólió ugyanannak a két alapnak, a kockázatmentes eszköznek és P-nek a keveréke. ## Összefoglalás - Az $U = \mu - \tfrac{1}{2}A\sigma^2$ várható érték–variancia hasznosság pontozza a portfóliókat; $A$ a kockázatkerülés mértéke. - Egy portfólió hasznossága a biztos egyenértéke: az a biztos hozam, amelyet a befektető ugyanannyira vonzónak tart. - A $\mu = U + \tfrac{1}{2}A\sigma^2$ közömbösségi görbék parabolák, nagyobb $A$ mellett meredekebbek. - A legjobb teljes portfólió $y^* = (\mu_P - r_f)/(A\sigma_P^2)$ súlyt tart P-ben; $y^* > 1$ hitelfelvételt jelent. - Mindenki ugyanazt a kockázatos portfóliót tartja; csak az ez és a kockázatmentes eszköz közötti arány különbözik. > A következő lecke, a „CAPM, béta és az értékpapír-piaci egyenes”, azt vizsgálja, mi történik az árakkal, ha minden befektető ugyanazt a kockázatos portfóliót tartja. [Keverj egy kockázatos eszközt a kockázatmentes kamattal, és mozogj a tőkeallokációs egyenesen a Kockázat és hozam laborban](https://quantsandbox.dev/hu/risk-return) ## Interaktív laborok - [Tőkeallokációs egyenes és Sharpe-mutató](https://quantsandbox.dev/hu/risk-return) - [Hatékony határ és Markowitz-optimalizálás](https://quantsandbox.dev/hu/efficient-frontier) ## Gyakorló kérdések ### 1. Egy portfólióra $\mu = 9\%$ és $\sigma = 15\%$. Mekkora a biztos egyenértéke egy $A = 4$ kockázatkerülésű befektető számára? A választ százalékban add meg. **Válasz:** 4.5% $U = 0{,}09 - \tfrac{1}{2}\times 4 \times 0{,}15^2 = 0{,}09 - 0{,}045 = 4{,}5\%$: a befektető a portfóliót egy biztos 4,5%-os hozammal tartja egyenértékűnek. ### 2. Egy befektető optimális súlya a kockázatos portfólióban $y^{*} = 0{,}6$. A kockázatkerülése megduplázódik, a piac változatlan. Mekkora az új optimális súly? - a) 0,3: $y^{*}$ fordítottan arányos $A$-val - b) 0,15: a kockázat négyzetesen szerepel - c) 0,6: az érintési portfólió nem változik - d) 1,2: egy óvatosabb befektetőnek nagyobb hozam kell **Válasz:** a) 0,3: $y^{*}$ fordítottan arányos $A$-val $y^{*} = (\mu_P - r_f)/(A\sigma_P^2)$ arányos $1/A$-val, így $A$ duplázása felezi. Maga a kockázatos portfólió nem változik, csak a tartott mennyiség. --- Forrás: https://quantsandbox.dev/hu/guide/portfolio/risk-aversion Előző lecke: [Hatékony front és tőkepiaci egyenes](https://quantsandbox.dev/hu/guide/portfolio/efficient-frontier) Következő lecke: [CAPM, béta és az értékpapír-piaci egyenes](https://quantsandbox.dev/hu/guide/portfolio/capm)