# A Fama–French-faktormodellek

Méret, érték, jövedelmezőség, befektetés és momentum: többfaktoros regresszió, faktorbéták, az alfa értelmezése és hogy miért tűnik el a CAPM-alfa a faktorok mellett.

A „CAPM, béta és az értékpapír-piaci egyenes” lecke szerint egyetlen szám, a piaci béta, megmagyarázza minden eszköz várható hozamát, a „Faktormodellek és szisztematikus kockázat” pedig megmutatta, hogyan bontja egy közös faktor a kockázatot szisztematikus és egyedi részre. Ez a lecke azt nézi meg, mi történik, ha a piac önmagában nem elég. Felépíti a Fama–French-faktorokat rendezett portfóliókból, lefuttatja a rájuk épülő regressziókat, és megmutatja, hogyan olvasd a kapott faktorbétákat, az alfát és az R²-et.

## Méret- és értékanomália a CAPM-ben

A CAPM-et egy részvényen vagy portfólión úgy teszteled, hogy a havi többlethozamát, $R_i - R_f$-et, a piac többlethozamára, $R_M - R_f$-re regresszálod:

$$
R_{i,t} - R_{f,t} = \alpha_i + \beta_i\,(R_{M,t} - R_{f,t}) + \varepsilon_{i,t}.
$$

Ha a CAPM érvényes, az $\alpha_i$ tengelymetszet nulla: a piaci béta a teljes átlagos hozamot megmagyarázza. Az 1960-as évektől kezdődő amerikai adatokban két portfóliócsoport ezt megsérti. A kis vállalatok portfóliói többet hoztak, mint amennyit a bétájuk indokol, és ugyanígy az értékrészvényeké, vagyis a magas könyv szerinti és piaci érték arányú cégeké. A növekedési részvények, alacsony aránnyal, kevesebbet hoztak. Ezeket a pozitív és negatív alfákat nevezik méret- és értékanomáliának. Fama és French (1993) válasza az volt, hogy magának a méretnek és az értéknek a hozamát vették fel további faktorként.

## Faktorok építése rendezett portfóliókból

A faktor itt egy long–short portfólió hozama. Minden júniusban rendezd az összes részvényt piaci kapitalizáció szerint kicsikre és nagyokra, és külön könyv szerinti/piaci érték szerint növekedési (alsó 30%), semleges és érték (felső 30%) csoportokra. A metszetek hat, piaci értékkel súlyozott portfóliót adnak. Ezekből két faktor születik:

$$
\text{SMB} = \tfrac{1}{3}(\text{SV} + \text{SN} + \text{SG}) - \tfrac{1}{3}(\text{BV} + \text{BN} + \text{BG}),
$$

$$
\text{HML} = \tfrac{1}{2}(\text{SV} + \text{BV}) - \tfrac{1}{2}(\text{SG} + \text{BG}).
$$

Az SMB (small minus big) a kis cégeket veszi és a nagyokat adja el, rögzített értékösszetétel mellett; a HML (high minus low) az értékrészvényeket veszi és a növekedésieket adja el, rögzített méretösszetétel mellett. Mivel mindkettő két portfólió különbsége, elméletben semmibe sem kerül a tartása, és az átlagos hozama egységnyi kitettségre jutó prémium. A piaci faktor, az MKT, $R_M - R_f$.

A 2015-ös ötfaktoros modell két további, ugyanígy épített faktort ad hozzá. Az RMW (robust minus weak) a magas működési jövedelmezőségű cégekben long, az alacsonyban short. A CMA (conservative minus aggressive) a lassan, óvatosan beruházó cégekben long, a sokat beruházókban short. Carhart (1997) a momentumot tette hozzá: az UMD (up minus down) az előző év nyerteseiben long, a veszteseiben short, és gyakran bármelyik modellhez hozzáveszik.

## A három- és az ötfaktoros regresszió

A Fama–French-regressziók idősoros regressziók, alaponként vagy portfóliónként egy-egy, a faktorhozamokkal mint magyarázó változókkal. A háromfaktoros modell (FF3):

$$
R_{i,t} - R_{f,t} = \alpha_i + b_i\,\text{MKT}_t + s_i\,\text{SMB}_t + h_i\,\text{HML}_t + \varepsilon_{i,t},
$$

az ötfaktoros modell (FF5) pedig hozzáadja az $r_i\,\text{RMW}_t + c_i\,\text{CMA}_t$ tagokat. Várható értéket véve és $E[\varepsilon] = 0$-t használva megkapod a modell előrejelzését az átlagos többlethozamra:

$$
E[R_i - R_f] = \alpha_i + b_i\,E[\text{MKT}] + s_i\,E[\text{SMB}] + h_i\,E[\text{HML}].
$$

A modell akkor érvényes, ha $\alpha_i = 0$: ekkor az átlagos hozam egyszerűen az egyes faktorbéták és a hozzájuk tartozó prémiumok szorzatainak összege, ahogy a CAPM egyenesénél egy béta szorozta egy prémiumot.

## A faktorbéták értelmezése

Minden faktorbéta érzékenység, a többi faktor rögzítése mellett. A $b_i$ közel van a CAPM-bétához, de általában nem egyenlő vele, mert az SMB és a HML most átveszi az együttmozgás egy részét. A pozitív $s_i$ azt jelenti, hogy az alap kis vállalatokként viselkedik, a negatív nagy vállalatokként; a pozitív $h_i$ értékorientációt, a negatív növekedési orientációt jelez. Egy 0{,}5-ös SMB-béta azt mondja, hogy ha egy hónapban a kis cégek 1%-kal verik a nagyokat, az alap jellemzően 0{,}5%-kal többet nyer annál, amit a piaci kitettsége önmagában adna. Az ötfaktoros modellben a pozitív $r_i$ jövedelmező cégekre, a pozitív $c_i$ óvatosan beruházó cégekre utal.

## Az alfa és a t-értéke

Az alfa az az átlagos hozam, amit a faktorok nem magyaráznak meg. Véges mintából becsülöd, ezért standard hibája van, és az a kérdés, hogy a zajnál jobban eltér-e a nullától. A szokásos próba a t-érték

$$
t_\alpha = \frac{\hat\alpha}{\text{SE}(\hat\alpha)},
$$

és $|t_\alpha| > 2$ a durva küszöb, amely felett az alfa 5%-os szinten szignifikáns. A standard hiba a hónapok $T$ számával $1/\sqrt{T}$ ütemben csökken, így egy adott alfa hosszabb mintában könnyebben kimutatható.

Miért zsugorodik az alfa, ha faktorokat adsz hozzá? Tegyük fel, hogy a valódi modell az FF3, de te CAPM-et illesztesz. A kihagyott $s_i\,\text{SMB} + h_i\,\text{HML}$ tagok ekkor a reziduumban ülnek, és az átlaguk a tengelymetszetbe kerül:

$$
\alpha_i^{\text{CAPM}} \approx \alpha_i + s_i\,E[\text{SMB}] + h_i\,E[\text{HML}].
$$

Egy kis és értékrészvényekbe fektető alap ezért pozitív CAPM-alfát mutat akkor is, ha a kezelője semmilyen különleges képességgel nem rendelkezik: egyszerűen begyűjti a méret- és az értékprémiumot. Amint ezek a faktorok bekerülnek a regresszióba, az alfának ez a része átvándorol a faktorbétákba. (A közelítés elhanyagolja a piac és a kihagyott faktorok korrelációját, ami a bétát is kicsit elmozdítja.)

### Kidolgozott példa: Várható hozam és alfa egy FF3-illesztésből

1. Egy alap FF3-bétái b = 1,1, s = 0,4 és h = −0,3, azaz növekedési orientációjú. A prémiumok évente 6% az MKT-n, 2% az SMB-n és 3,5% a HML-en. A piac hozzájárulása, %-ban:
   $$1{,}1 \cdot 6$$ → **6.6**
2. A méret és az érték együttes hozzájárulása (a növekedési orientáció hozamba kerül):
   $$0{,}4 \cdot 2 - 0{,}3 \cdot 3{,}5$$ → **-0.25**
3. A modell tehát ennyi éves többlethozamot jelez előre, %-ban:
   $$6{,}6 - 0{,}25$$ → **6.35**
4. Az alap ténylegesen évi 8%-ot hozott a kockázatmentes hozam felett. Az FF3-alfája a különbség:
   $$8 - 6{,}35$$ → **1.65**
5. Ha az alfa standard hibája évi 1,1%, a t-érték 2 alatt van, így az alfa nem szignifikáns:
   $$1{,}65 / 1{,}1$$ → **1.5**

Az ábra 240 hónapnyi faktorhozamot szimulál, és egy alapot, amelynek valódi alfája nulla, piaci bétája 1, RMW-bétája 0{,}3, CMA-bétája 0, a méret- és értékbétáját pedig a csúszkák állítják. Indulj az alapbeállításból, $s = 0{,}5$ és $h = 0{,}4$, CAPM-mel: az illesztett alfa évi 4{,}00%, 2{,}08-os t-értékkel, ami látszólag szignifikáns tehetség, az R² pedig 0{,}746. Válts FF3-ra: az alfa 1{,}28%-ra esik (t = 1{,}04), az R² 0{,}899-re nő, a méret- és az értékoszlop pedig a valódi jele közelébe kerül. Válts FF5-re: a maradék alfa, ami a jövedelmezőségi prémium volt, 0{,}29%-ra csökken (t = 0{,}26), az R² eléri a 0{,}919-et, az RMW-oszlop pedig megtalálja a 0{,}3-as bétáját. Ezután állítsd mindkét kitettséget nullára, és nézd, ahogy a CAPM-alfa zsugorodik, vagy hosszabbítsd a mintát, és figyeld, ahogy az oszlopok beállnak.

*[Interaktív ábra: ff loadings](https://quantsandbox.dev/hu/guide/portfolio/fama-french-factors)*

## A megmagyarázott variancia

A regresszió R²-e az alap hozamvarianciájának az a része, amelyet a faktorok megmagyaráznak. Korrelálatlan reziduumok mellett a variancia így bomlik fel:

$$
\text{Var}(R_i) = \mathbf{b}_i^{\top}\,\Sigma_f\,\mathbf{b}_i + \sigma_{\varepsilon,i}^2,
$$

ahol $\mathbf{b}_i$ a faktorbéták vektora, $\Sigma_f$ pedig a faktorok kovarianciamátrixa. Ha a piac az egyetlen faktor, ez a faktormodellek leckéjének egyindexes felbontása, $\beta_i^2\sigma_M^2 + \sigma_\varepsilon^2$. Újabb faktorok varianciát mozgatnak a reziduumból a szisztematikus részbe, így az R² csak nőhet. A magas R² azt mondja, hogy az alap közel van faktorportfóliók keverékéhez; arról semmit, hogy az alfa nulla-e.

## Sok portfólió együttes tesztje

Egy modellt sok tesztportfólión együtt ítélünk meg, például 25, méret és könyv szerinti/piaci érték szerint rendezett portfólión. Mindegyikre lefuttatod az idősoros regressziót, és az összes tengelymetszetet nézed: egy jó modell után ezek kicsik és együttesen sem szignifikánsak. A Gibbons–Ross–Shanken- (GRS-) próba az alfák vektorát egyetlen F-statisztikává alakítja, az átlagos abszolút alfa pedig könnyen olvasható összefoglaló. Az FF3 a méret–érték portfóliók átlagos abszolút alfáját a CAPM-énél jóval kisebbre szorítja; az FF5 a jövedelmezőség és beruházás szerint rendezett portfóliókon még jobb, és a HML-t szinte feleslegessé teszi, mert az értékcégek jellemzően jövedelmezők és óvatosan ruháznak be.

## A faktormodellek korlátai

A történeti adatok rendezéséből talált faktorokat fenyegeti az adatbányászat: ha elég sok jellemzőt tesztelsz, némelyik véletlenül is prémiumot mutat. Több száz jelölt faktort publikáltak már, ez az úgynevezett faktorállatkert, és sokuk mintán kívül vagy költségek után összezsugorodik vagy eltűnik. Azt sem dönti el a regresszió, hogy egy prémium a kockázat jutalma vagy félreárazás. A gyakorlatban a modellek leginkább viszonyítási alapként hasznosak: megmondják, egy alap hozamának mekkora része lett volna megvásárolható olcsó faktorportfóliókkal.

> Az alfa mindig egy modellhez képest értendő. A CAPM-alfa, az FF3-alfa és az FF5-alfa ugyanannál az alapnál különböző számok, és a kezelő tehetségét azokhoz a faktorokhoz kell mérni, amelyeket a befektető helyette tarthatott volna.

## Összefoglalás

- Az SMB, a HML, az RMW, a CMA és az UMD long–short portfóliók, amelyek méret, könyv szerinti/piaci érték, jövedelmezőség, beruházás és múltbeli hozam szerinti rendezésből épülnek.
- Az $R_i - R_f = \alpha + b\,\text{MKT} + s\,\text{SMB} + h\,\text{HML} (+ r\,\text{RMW} + c\,\text{CMA}) + \varepsilon$ idősoros regresszió faktorbétái megmutatják, mely stílusokra hasonlít egy alap.
- Nulla alfa mellett a várható többlethozam a faktorbéták és a faktorprémiumok szorzatainak összege; egy orientált alap CAPM-alfája nagyjából a kitettségei szorozva a kihagyott prémiumokkal.
- Az alfa akkor szignifikáns, ha $|t_\alpha| > 2$; az R² a variancia szisztematikus részét méri, és faktorok hozzáadásával nő.
- A modelleket sok portfólión együtt tesztelik (GRS, átlagos |α|), a publikált faktorok hosszú listája pedig óvatosságra int az adatbányászattal szemben.

[Nyisd meg a Fama–French-labort](https://quantsandbox.dev/hu/fama-french)

## Interaktív laborok

- [Fama–French faktormodell labor: méret, érték, momentum](https://quantsandbox.dev/hu/fama-french)

## Gyakorló kérdések

### 1. Egy alap faktorbétái b = 0,9, s = 0,6 és h = 0,5. A faktorprémiumok évente 7% az MKT-n, 2% az SMB-n és 3% a HML-en. Hány százalék éves többlethozamot jelez előre az FF3 nulla alfa mellett?

**Válasz:** 9

$0{,}9 \cdot 7 + 0{,}6 \cdot 2 + 0{,}5 \cdot 3 = 6{,}3 + 1{,}2 + 1{,}5 = 9{,}0\%$.

### 2. Egy alap CAPM-alfája évi 4%, t = 2,1. Az FF3-ban az alfája 0,3%, t = 0,3, az SMB- és HML-bétája pedig nagy és pozitív. Mi a legjobb értelmezés?

- a) A CAPM-alfája a méret- és értékkitettségből jött, nem tehetségből
- b) A kezelő tehetséges, és az FF3 ezt elrejti
- c) Az FF3 hibás, mert nőtt az R²
- d) Az alapnak nincs piaci kockázata

**Válasz:** a) A CAPM-alfája a méret- és értékkitettségből jött, nem tehetségből

A CAPM-alfa nagyjából $s\,E[\text{SMB}] + h\,E[\text{HML}]$ plusz az esetleges valódi alfa. Ha ezeket a prémiumokat beárazod, szinte semmi sem marad, vagyis a hozam olcsón megvásárolható faktorkitettségből jött.

---

Forrás: https://quantsandbox.dev/hu/guide/portfolio/fama-french-factors

Előző lecke: [Faktormodellek és szisztematikus kockázat](https://quantsandbox.dev/hu/guide/portfolio/factor-models)

Következő lecke: [Kockáztatott érték (VaR) és várható veszteség (ES)](https://quantsandbox.dev/hu/guide/portfolio/risk-measures)