# A bid–ask spread mérése és felbontása

Jegyzett, effektív és realizált spread, a Roll-becslés pusztán a kötési árakból, és a felbontás kedvezőtlen kiválasztásra és a többire.

„A limitáras ajánlati könyv” a spreadet a legjobb ask és a legjobb bid különbségeként definiálta, „A Glosten–Milgrom-modell” pedig megmutatta, miért kell a market makernek (árjegyzőnek, aki folyamatosan vételi és eladási jegyzést tart a könyvben) elég szélesre szabnia, hogy fedezze a jobban informált kereskedőkkel szembeni veszteségeit. A kutatók és a felügyeletek azonban gyakran csak a kötési árak listáját látják, a mögöttük álló jegyzések nélkül. Ez a lecke megmutatja, mennyi nyerhető vissza a spreadből pusztán a kötési árakból, miért torzított ez a becslés informált kereskedés mellett, és hogyan bontható a spread arra, amiért fizetnek érte.

Végig centben számolunk; $m_t$ a hatékony ár (az eszköz értéke mindazt figyelembe véve, amit a piac a $t$-edik kötésig megtudott), $S$ a teljes bid–ask spread, $Q_t$ pedig a $t$-edik kötés iránya: $Q_t = +1$, ha vevő kezdeményezte az ask áron, és $Q_t = -1$, ha eladó a bid áron.

## Háromféle spread

A jegyzett spread a legjobb ask ($a$) és a legjobb bid ($b$) különbsége egy adott pillanatban. Azt mutatja, mennyibe kerülne egy oda-vissza kötés annak, aki egyszerre vesz és elad egy darabot.

Az effektív spread azt méri, mennyibe került egy tényleges kötés. Ha a $p_t$ áron létrejött kötés pillanatában a jegyzések középára $m$, akkor

$$
\text{effektív spread} = 2\,|p_t - m|.
$$

Egy egycentes fél spread mellett az ask áron vett kötés effektív spreadje két cent, ugyanannyi, mint a jegyzett spread; a jegyzéseken belül létrejött kötésé kisebb.

A realizált spread azt kérdezi, mennyit tart meg ebből a market maker, miután az árnak volt ideje reagálni. Egy $h$ időtávval (például öt perccel) a kötési árat a táv végén érvényes középárral veti össze:

$$
\text{realizált spread} = 2\,Q_t\,(p_t - m_{t+h}).
$$

Ha a középár a kötés irányába mozdul, ahogy informált vételek után szokott, a realizált spread kisebb az effektívnél. A különbség a kötés árhatása, a spreadnek az a része, amely a jobban informált kereskedőknél marad. Ez a lecke a táv megválasztását a definíciónál hagyja, és az effektív spreaddel, illetve csak kötési árakkal dolgozik.

## Bid–ask pattogás

Tegyük fel először, hogy a kötések nem hordoznak információt. A hatékony ár véletlen bolyongás, $m_t = m_{t-1} + \varepsilon_t$, független, $\sigma^2$ szórásnégyzetű $\varepsilon_t$ sokkokkal, és minden kötés az előtte érvényes ár saját oldali jegyzésén jön létre:

$$
p_t = m_{t-1} + \tfrac{S}{2}\,Q_t.
$$

Az irányok függetlenek, a vétel és az eladás egyformán valószínű. A kötési ár akkor is a bid és az ask között ugrál, ha $m_t$ alig mozdul: a vétel magasan íródik, a következő kötés az esetek felében eladás, és alacsonyan íródik. Ez a bid–ask pattogás. Egy áremelkedést így jellemzően esés követ, az egymást követő árváltozások negatívan korrelálnak.

## A Roll-becslés

Írjuk fel két kötés közti árváltozást $p_t$ és $p_{t-1}$ kifejezésének különbségeként:

$$
\Delta p_t = p_t - p_{t-1} = \varepsilon_{t-1} + \tfrac{S}{2}\,(Q_t - Q_{t-1}).
$$

Vegyük a kovarianciáját az előző változással, $\Delta p_{t-1} = \varepsilon_{t-2} + \tfrac{S}{2}(Q_{t-1} - Q_{t-2})$-vel. Az $\varepsilon$ sokkok egymástól és minden mástól függetlenek, ahogy az irányok is. A két változás egyetlen közös tagja $Q_{t-1}$, amely az elsőben mínusz, a másodikban plusz előjellel szerepel. $\text{Var}(Q) = 1$ mellett:

$$
\text{cov}(\Delta p_t, \Delta p_{t-1}) = \tfrac{S}{2} \cdot \tfrac{S}{2} \cdot \text{cov}(-Q_{t-1}, Q_{t-1}) = -\frac{S^2}{4}.
$$

A spreadre megoldva kapjuk a Roll-becslést, amelyhez a kötési árak sorozatán kívül semmi sem kell:

$$
S = 2\sqrt{-\text{cov}(\Delta p_t, \Delta p_{t-1})}.
$$

Mintában a kovarianciát becsüljük, és a zaj miatt pozitív is lehet. Ekkor a négyzetgyöknek nincs valós értéke: a Roll-becslés erre a mintára nem értelmezett. Ez leggyakrabban rövid vagy volatilis mintákban fordul elő, és már önmagában jelzi, hogy a becslésben nem lehet megbízni.

## Az informált kereskedés torzítja a Roll-becslést

Most legyen minden fél spread $\alpha$ része információ. Egy vétel után a piac megtudja, hogy az eszköz valószínűleg többet ér, és a hatékony ár $\alpha\,S/2$-vel feljebb lép; eladás után lejjebb:

$$
m_t = m_{t-1} + \alpha\,\tfrac{S}{2}\,Q_t + \varepsilon_t.
$$

A kötések továbbra is $m_{t-1} \pm S/2$ áron jönnek létre, így az effektív spread továbbra is pontosan $S$. Az árváltozás viszont

$$
\Delta p_t = \tfrac{S}{2}\,Q_t - (1-\alpha)\,\tfrac{S}{2}\,Q_{t-1} + \varepsilon_{t-1},
$$

mert az előző kötés ugrásából csak az $(1-\alpha)S/2$ rész fordul vissza; az $\alpha S/2$ rész az árban marad. A kovarianciaszámítást megismételve a közös tag $Q_{t-1}$, $-(1-\alpha)S/2$ és $S/2$ együtthatóval:

$$
\text{cov}(\Delta p_t, \Delta p_{t-1}) = -(1-\alpha)\,\frac{S^2}{4}, \qquad 2\sqrt{-\text{cov}} = S\sqrt{1-\alpha}.
$$

A Roll-becslés tehát $S\sqrt{1-\alpha}$-hoz tart, a valódi spread alá, miközben az effektív spread nem változik. Minél informáltabb a megbízásáramlás, annál nagyobb része a spreadnek tartós árváltozás, nem pattogás, és annál kevesebbet lát belőle a Roll-becslés.

### Kidolgozott példa: Roll-becslés egy kovarianciából, és a torzítása

1. Az árváltozások mintabeli kovarianciája −0{,}0004 USD². Vegyük a kovariancia mínusz egyszeresének négyzetgyökét.
   $$\sqrt{0{,}0004}$$ → **0.02**
2. A Roll-féle spread ennek kétszerese, USD-ben.
   $$S = 2 \cdot 0{,}02$$ → **0.04**
3. Most egy 10 centes valódi spreadű piac, ahol $\alpha = 0{,}35$ része információ. Az átmeneti rész $1 - \alpha = 0{,}65$; ennek négyzetgyöke:
   $$\sqrt{0{,}65}$$ → **0.80623**
4. A Roll-becslés ennyi centhez tart.
   $$10\sqrt{0{,}65}$$ → **8.0623**
5. Az effektív spread továbbra is 10 cent, így a Roll-becslés ennyi centet téveszt el: ez az informált rész hatása.
   $$10 - 8{,}0623$$ → **1.9377**

## A spread felbontása

Ha minden kötés iránya ismert (a jegyzésekből vagy a kötések vételre és eladásra sorolásával), a két rész szétválasztható. Írjuk át az árváltozást $\Delta Q_t = Q_t - Q_{t-1}$ segítségével:

$$
\Delta p_t = \tfrac{S}{2}\,\Delta Q_t + \alpha\,\tfrac{S}{2}\,Q_{t-1} + \varepsilon_{t-1}.
$$

Ez a kétváltozós Huang–Stoll-regresszió: $\Delta p_t = \beta_1\,\Delta Q_t + \beta_2\,Q_{t-1} + e_t$. A legkisebb négyzetek módszere $\beta_1 = S/2$-t, a fél spreadet, és $\beta_2 = \alpha S/2$-t, a fél spread tartóssá váló részét becsüli. Hányadosuk a kedvezőtlen kiválasztás aránya:

$$
\hat\alpha = \frac{\beta_2}{\beta_1}.
$$

A fennmaradó $1 - \alpha$ rész a megbízáskezelést és a készlettartás kockázatát fizeti meg. Ez a modell a kettőt nem választja szét; gazdagabb, háromtagú változatai külön tagot vesznek fel arra, ahogy a market maker készlete a jegyzéseket módosítja.

## Mintanagyság

A fenti becslések mind mintaátlagok, így a nagy számok törvénye miatt konvergálnak, „A nagy számok törvénye és a centrális határeloszlás-tétel” pedig azt is megmondja, milyen gyorsan: a hibájuk a kötések számával $1/\sqrt{n}$ ütemben csökken. A hatékony ár volatilitása zajt ad hozzá, de a spreadről nem hordoz információt, ugyanúgy, ahogy a volatilitás a „Hozamok és volatilitás” leckében nehezen becsülhetővé teszi az átlagos hozamot. Egy 120 kötéses nap durva választ ad, több ezer kötés stabilat.

Az ábra ezt a piacot szimulálja 120, 1000 vagy 10 000 kötéssel, felrajzolja az első 120 kötést rejtett hatékony árral, és minden árváltozást az előző függvényében ábrázol a legkisebb négyzetes egyenessel. Indulj az alapbeállításból: 10 centes spread, $\alpha = 0{,}35$ és kötésenként 2{,}5 cent hatékonyár-volatilitás. 120 kötésnél a Roll-becslés 9{,}66 cent, ami a véletlen folytán, nem a módszer érdeméből van közel a 10 centhez, a Huang–Stoll-féle $\hat\alpha$ pedig 27{,}9%. Válts 10 000 kötésre: a Roll-becslés 8{,}28 centre áll be, közel a 8{,}06 centes határértékhez és 17{,}2%-kal a valódi spread alatt, $\hat\alpha$ 34{,}6%-ra mozdul, az effektív spread pedig végig 10 cent. Ezután állítsd $\alpha$-t 0-ra, és figyeld, ahogy a rés bezárul, majd növeld a volatilitást, és nézd, mennyit ugrál a 120 kötéses becslés.

*[Interaktív ábra: roll bounce](https://quantsandbox.dev/hu/guide/microstructure/spread-measurement)*

> A Roll-becsléshez elég az ár, de csak a spread átmeneti részét látja. Az effektív spreadhez kellenek a jegyzések, és a teljes spreadet látja. A kettő közti rés az informált kereskedés mértéke.

## Összefoglalás

- A jegyzett spread $a - b$, egy kötés effektív spreadje $2|p_t - m|$, a realizált spread, $2Q_t(p_t - m_{t+h})$, pedig az, amit a market maker egy $h$ táv után megtart.
- A kötések a bid és az ask között pattognak, így az egymást követő árváltozások kovarianciája $-S^2/4$, és a Roll-becslés $S = 2\sqrt{-\text{cov}}$; pozitív mintabeli kovariancia esetén nem értelmezett.
- Ha minden fél spread $\alpha$ része információ, a kovariancia $-(1-\alpha)S^2/4$-re zsugorodik, és a Roll-becslés $S\sqrt{1-\alpha}$-hoz tart, miközben az effektív spread $S$ marad.
- Ismert kötési irányokkal a Huang–Stoll-regresszió a $\beta_1$ fél spreadet és a $\beta_2/\beta_1$ kedvezőtlenkiválasztás-arányt becsüli.
- A néhány száz kötésből számolt becslések zajosak; a hibájuk $1/\sqrt{n}$ ütemben csökken.

[Nyisd meg a spreadbecslés labort](https://quantsandbox.dev/hu/spread-estimation)

## Interaktív laborok

- [Spreadbecslés: Roll-mérték és effektív spread](https://quantsandbox.dev/hu/spread-estimation)

## Gyakorló kérdések

### 1. Az egymást követő árváltozások mintabeli kovarianciája −0{,}0009 (USD²-ben). Hány USD spreadet ad a Roll-becslés?

**Válasz:** 0.06

$S = 2\sqrt{0{,}0009} = 2 \cdot 0{,}03 = 0{,}06$ USD, azaz hat cent.

### 2. A kereskedők jobban informálttá válnak, így a spread információt jelentő α része nő. Mi történik a Roll-becsléssel?

- a) A valódi spread alá esik
- b) A valódi spread fölé emelkedik
- c) Torzítatlan marad
- d) Negatívvá válik

**Válasz:** a) A valódi spread alá esik

Minden ugrásnak csak az $(1-\alpha)$ átmeneti része fordul vissza, így a kovariancia $-(1-\alpha)S^2/4$-re zsugorodik, és a Roll-becslés $S\sqrt{1-\alpha}$-hoz tart.

---

Forrás: https://quantsandbox.dev/hu/guide/microstructure/spread-measurement

Előző lecke: [A Glosten–Milgrom-modell](https://quantsandbox.dev/hu/guide/microstructure/glosten-milgrom)

Következő lecke: [Informált kereskedés és Kyle lambdája](https://quantsandbox.dev/hu/guide/microstructure/kyle-model)