# A sorban elfoglalt hely és a teljesülés valószínűsége Érkezési sorrend egy árszinten, egy limitáras megbízás várakozása és teljesülési esélye, az áthelyezés ára, és miért épp ármozgás előtt jön a teljesülés. A limitáras megbízás csak akkor keres spreadet, ha valaki kereskedik vele szemben. „A limitáras ajánlati könyv” leckéje megmutatta, hogy az egy áron várakozó megbízások az érkezésük sorrendjében teljesülnek. Ez a lecke azt vizsgálja, mit jelent ez a szabály egyetlen várakozó megbízás számára: mennyit vár, mekkora eséllyel teljesül adott időn belül, és mibe kerül az áthelyezése. A válaszok döntik el, hogy egy market maker (árjegyző, aki vételi és eladási jegyzést tart a könyvben) ténylegesen megkapja-e a jegyzett spreadet. A továbbiakban egy $q$ részvényes vételi limitáras megbízás áll a legjobb bid-en, és előtte $A$ részvény áll a sorban. Az időt percben, a méretet részvényben mérjük. ## A sor egy áron Az ár–idő prioritás szerint az azonos áron álló megbízások az érkezésük sorrendjében teljesülnek (first in, first out). Az új megbízás a sor végére kerül. A te megbízásod addig nem kerül sorra, amíg minden előtted álló részvény vagy teljesült, vagy törlődött. A részvények számítanak, nem a megbízások: az előtted álló 1260 részvény 1260 részvény, akár három, akár harminc megbízásban áll. Legyen a legjobb bid 99,97, előtted $A = 1{,}260$ részvénnyel, a te megbízásod pedig $q = 400$. Addig semmi sem történik, amíg $A$ nullára nem csökken, utána a megbízás fokozatosan teljesül, ahogy újabb eladási volumen érkezik. ## Mi visz előre a sorban Az előtted álló részvények számát csak két dolog csökkenti: 1. A bid-re érkező piaci eladási megbízások. A legjobb bid sorának elejével teljesülnek, így mindegyik a saját méretével csökkenti $A$-t. A piaci vételi megbízások az ask-on kötnek, a te sorodat nem érintik. 2. Az előtted állók törlései. Aki meggondolja magát, kiveszi a részvényeit, és mindenki mögötte előrébb lép. A 99,97-re újonnan érkező megbízások mögéd kerülnek, a mögötted lévők törlése pedig nem számít, ezért egyik sem változtat $A$-n. ## Várakozási idő Tegyük fel, hogy az eladási volumen állandó, percenként $v$ részvény ütközik a bid-del, és az előtted állók törlései percenként $c$ részvényt visznek ki. Ekkor az előtted álló sor lineárisan csökken: $$ A(t) = A - (v + c)\,t. $$ Az első részvényed akkor teljesülhet, amikor $A(t)$ eléri a nullát. $t$-re megoldva kapjuk a várakozási időt: $$ W \approx \frac{A}{v + c}. $$ Ha $A = 1{,}260$, $v = 300$ és $c = 100$, az együttes ütem percenként 400 részvény, tehát $W \approx 3{,}15$ perc. A valódi forgalom nem állandó: a piaci megbízások véletlen időpontokban és véletlen méretben érkeznek. A képlet továbbra is a tipikus várakozást adja, de az egyes várakozások szóródnak körülötte. A $t_0 = A/(v+c)$ idő alatt kivitt volumen szórása $\sigma\sqrt{t_0}$, ahol $\sigma^2 = \lambda E[S^2]$ az eladási volumen percenkénti varianciája (a következő szakaszban definiáljuk). A részvényben mért mennyiséget a $v + c$ sebességgel osztva percre váltjuk át: $$ \text{sd}(W) \approx \frac{\sigma\sqrt{A}}{(v+c)^{3/2}}. $$ A példában $\sigma \approx 245$, így a szórás körülbelül 1,1 perc: a 3,15 percre várt megbízás könnyen várhat két percet vagy ötöt is. ## Teljesülési valószínűség Ha az átlagos várakozásból valószínűséget akarunk kapni, magát az eladási volument kell modellezni. A piaci eladási megbízások véletlen időpontokban, percenként $\lambda$ ütemben érkeznek, mindegyiknek független véletlen mérete van: $S$, átlaga $\mu_s$, második momentuma $E[S^2]$. Egy $h$ perces horizonton a megbízások $N$ száma Poisson-eloszlású $\lambda h$ várható értékkel, az összvolumen pedig a véletlen összeg $$ V = S_1 + S_2 + \cdots + S_N. $$ A várható érték $E[V] = E[N]\,\mu_s$-ból adódik. A varianciához a méretek varianciáját és a darabszám varianciáját kell összeadni: $$ E[V] = \lambda h\,\mu_s, \qquad \text{Var}(V) = E[N]\,\text{Var}(S) + \text{Var}(N)\,\mu_s^2 = \lambda h\,\big(E[S^2] - \mu_s^2\big) + \lambda h\,\mu_s^2 = \lambda h\,E[S^2]. $$ Ez ugyanaz a szerkezet, mint a „Véletlen bolyongás és Brown-mozgás” leckében: független lépések összege, amelynek átlaga a $h$ idővel, szórása pedig $\sqrt{h}$-val nő. Az előtted állók törlései további $c\,h$ részvényt visznek ki. A megbízásod első részvénye akkor teljesül, ha a volumen és a törlések együtt elérik $A + 1$ részvényt. Sok megbízás esetén a $V$ összeg közel normális, és a $\Phi$ standard normális eloszlásfüggvénnyel $$ P(\text{teljesül}) \approx 1 - \Phi\!\left(\frac{A + 1 - \lambda h\,\mu_s - c\,h}{\sqrt{\lambda h\,E[S^2]}}\right). $$ Exponenciális méreteknél $E[S^2] = 2\mu_s^2$. Az átlagosan 100 részvényes, percenként háromszor érkező megbízások percenként 300 részvény eladási volument adnak, $\lambda E[S^2] = 60{,}000$, azaz 245 részvény szórást. > A várakozás körülbelül $A/(v+c)$, a teljesülési valószínűség pedig $1 - \Phi(z)$, ahol $z$ azt mutatja, hány szórásnyi eladási volumen választ el a sor elejétől. A normális közelítés durva, ha percenként csak kevés megbízás érkezik. ### Kidolgozott példa: Várakozás és a teljesülés esélye 1. Az eladási volumen és a törlések együtt ennyi részvényt visznek ki percenként. $$v + c = 300 + 100$$ → **400** 2. Az előtted álló 1260 részvény várható várakozása percben. $$W = 1260 / 400$$ → **3.15** 3. Két perc után 800 részvény eltűnt, ennyi marad előtted. $$A = 1260 - 2 \cdot 400$$ → **460** 4. A következő percben az eladási megbízások (percenként 3, átlagosan 100 részvényesek) és a törlések átlagosan ennyi részvényt visznek ki. $$\lambda h\,\mu_s + c\,h = 3 \cdot 100 + 100$$ → **400** 5. Az eladási volumen szórása, ahol $E[S^2] = 2 \cdot 100^2 = 20{,}000$. $$\sqrt{\lambda h\,E[S^2]} = \sqrt{3 \cdot 20000}$$ → **244.95** 6. A sor elejéig hátralévő távolság szórásegységben. $$z = \frac{460 + 1 - 400}{244{,}95}$$ → **0.249** 7. Annak valószínűsége, hogy a megbízás a percen belül teljesülni kezd. $$P(\text{teljesül}) = 1 - \Phi(0{,}249)$$ → **0.4017** Percenként csak három megbízásnál az összeg ferde, és a normális közelítés durva: ugyanennek a sornak a sokszori szimulálása nagyjából egyharmados teljesülési esélyt ad a 40% helyett. Sok megbízás esetén a közelítés pontos. Az ábra a sort 100 részvényes blokkokként rajzolja ki, a te megbízásod kiemelve, a sor eleje jobbra, és az egyperces teljesülési valószínűséget az előtted álló részvények számának függvényében ábrázolja. Indulj az alapértékekkel: 1260 részvény előtted, 3,15 perc várható várakozás, és mindössze 0,02% az egyperces teljesülési esély. Az 1 perc szimulálása gombbal nézheted, ahogy a véletlen eladási volumen és a törlések elfogyasztják a sor elejét; nyomd meg újra, amíg a megbízásod teljesülni nem kezd. Aztán emeld az eladási volument percenként 600-ra, vagy húzd a kiinduló pozíciót 400-ra, és figyeld a görbét és a kijelzőket. *[Interaktív ábra: queue fill](https://quantsandbox.dev/hu/guide/microstructure/queue-position)* ## A prioritás elvesztése A prioritást csak várakozással lehet építeni. Az ár módosítása azt jelenti, hogy törlöd a megbízást, és új megbízást adsz fel a másik szinten, ahol a sor végére kerülsz. A méret növelése általában ugyanezt eredményezi, mert a hozzáadott részvények nem előzhetik meg a náluk előbb érkezetteket. A törlés és ugyanazon az áron való újraadás is a sor végére küld. Tegyük fel, hogy a példában már két perce vársz, tehát 460 részvény áll előtted, és a hátralévő várakozás $460/400 = 1{,}15$ perc. Ha közben 500 részvény érkezett mögéd, és most törölsz, majd újra feladod a megbízást, 960 részvénnyel előtted kezdesz, és a várakozás $960/400 = 2{,}4$ perc. Ezért hagyják a market makerek békén a várakozó megbízásaikat, hacsak a piac nem ad okot az áthelyezésre. ## Milyen teljesüléseket kapsz A bid-ed csak akkor teljesül, ha az eladók áttörnek az árszinten, a sor végén álló megbízás pedig csak azután, hogy az előtte álló teljes volumen elfogyott. A teljesüléseid tehát nem véletlen minták a piaci helyzetekből. A sor elején álló megbízások csendes kereskedésben teljesülnek; a sor végén állók akkor, amikor erős és kitartó az eladás, vagyis amikor az ár a teljesülés után is nagyobb eséllyel esik tovább. A sorbeli hely ezért döntés arról is, milyen gyakran és milyen körülmények között kötsz. ## Összefoglalás - Az azonos áron álló megbízások first in, first out sorrendben teljesülnek; a tiéd csak akkor kerül sorra, ha mind az $A$ előtted álló részvény teljesült vagy törlődött. - Előre csak a bid-re érkező piaci eladások és az előtted állók törlései visznek, így a várható várakozás körülbelül $A/(v + c)$. - Az eladási volumen egy horizonton összetett Poisson-összeg $\lambda h\,\mu_s$ várható értékkel és $\lambda h\,E[S^2]$ varianciával, ebből $P(\text{teljesül}) \approx 1 - \Phi(z)$. - A törlés és az újra feladás a sor végére küld, ezért egy megbízás áthelyezése az addig kivárt időbe kerül. - A sor végén álló megbízások gyakran erős eladás idején teljesülnek, ezért az ár utána gyakran tovább esik. [Nyisd meg a Limit Order Book labort](https://quantsandbox.dev/hu/order-book) ## Interaktív laborok - [Ajánlati könyv szimulátor: csúszás és sor](https://quantsandbox.dev/hu/order-book) ## Gyakorló kérdések ### 1. Két vételi limitáras megbízás áll 99,97-en. Melyik teljesül előbb, amikor piaci eladási megbízás érkezik? - a) Amelyik előbb érkezett - b) A nagyobbik - c) Arányosan osztoznak az eladáson - d) A market makeré **Válasz:** a) Amelyik előbb érkezett Az ár–idő prioritás az azonos áron álló megbízásokat az érkezés sorrendjében szolgálja ki. A méret és a megbízó személye nem számít. ### 2. A megbízásod előtt 900 részvény áll. Az eladási volumen percenként 250 részvénnyel ütközik a bid-del, az előtted állók törlései percenként 50 részvényt visznek ki. Mennyi a várható várakozás percben? **Válasz:** 3 Az együttes ütem $250 + 50 = 300$ részvény percenként, tehát $W \approx 900/300 = 3$ perc. ### 3. Törölsz egy várakozó vételi megbízást, majd ugyanazon az áron újra feladod. Hol áll az új megbízás a sorban? - a) A sor végén - b) A régi helyén - c) A sor elején, mert ez a legújabb - d) A sor közepén **Válasz:** a) A sor végén A prioritás az eredeti megbízáshoz tartozik. Az újra feladott megbízás új megbízás, és az adott ár sorának végére kerül. --- Forrás: https://quantsandbox.dev/hu/guide/microstructure/queue-position Előző lecke: [A limitáras ajánlati könyv](https://quantsandbox.dev/hu/guide/microstructure/limit-order-book) Következő lecke: [Kedvezőtlen kiválasztás és informált kereskedés](https://quantsandbox.dev/hu/guide/microstructure/adverse-selection)