# Árhatás és optimális végrehajtás

Átmeneti és tartós árhatás, a négyzetgyök-szabály, egy nagy megbízás időbeli szétosztása, és az Almgren–Chriss-féle átváltás költség és kockázat között.

Egy nagy megbízás saját maga ellen mozgatja az árat: minél többet veszel, annál magasabb áron veszel, és minél többet adsz el, annál alacsonyabban. A lecke megkülönbözteti ennek a két módját, megadja a mozgás méretének tapasztalati ökölszabályát, és levezeti, hogyan érdemes egy megbízást az időben szétosztani. Két korábbi leckére épít: „A limitáras ajánlati könyv” megmutatja, hogyan megy végig egy piaci megbízás a várakozó megbízásokon, az „Informált kereskedés és Kyle lambdája” pedig azt, hogyan mozdítják az árat a kötések, mert információt hordoznak.

Az árakat a részvényár törtrészében, a mennyiségeket a megbízás méretének többszöröseként mérjük, így a $0{,}0025$ költség a megbízás értékének 25 bázispontját (bp) jelenti.

## Átmeneti és tartós árhatás

Az **átmeneti árhatás** az az ár, amelyet a gyors likviditásigényért fizetsz. A vételi piaci megbízás végigfogyasztja a könyv eladási oldalát, így az átlagára a kötés előtti jegyzés fölött van. Néhány pillanattal később új megbízások töltik fel a könyvet, és a jegyzés nagyjából visszatér. A költség valódi, de nem tartós.

A **tartós árhatás** a mozgásnak az a része, amely megmarad. Ha a piac tanul a kötésből, az árnak végleg el kell mozdulnia: ez éppen Kyle modelljének lineáris árreakciója, a $\lambda$. Valós adatokon mindkettő leolvasható a megbízás előtti, alatti és egy idővel utáni árakból: ami egy idő után eltűnt, az átmeneti volt, ami megmaradt, az tartós.

A tartós árhatás minden végrehajtási módnál ugyanakkora, mert csak az összes kereskedett mennyiségtől függ. Az átmeneti árhatás nem, és a végrehajtás éppen erről szól: lassú kereskedéssel kicsi marad.

## A négyzetgyök-szabály

A nagy részvénymegbízásokon végzett vizsgálatok szerint az árhatás nem a megbízás méretével arányos, hanem nagyjából a négyzetgyökével nő:

$$
\frac{\Delta P}{P} \approx Y\,\sigma \sqrt{\frac{Q}{V}}.
$$

Itt $\sigma$ a napi volatilitás, $Q$ a megbízás részvényszáma, $V$ az átlagos napi forgalom, $Y$ pedig egy 1 nagyságrendű állandó. Egy 2%-os napi volatilitású részvényen a napi forgalom 5%-át kitevő megbízás $Y = 1$ mellett nagyjából $2\% \times \sqrt{0{,}05} \approx 0{,}447\%$-ot, azaz 44,7 bp-ot mozdít.

A konkávitásnak következménye van: a megbízás megkétszerezése nem kétszerezi meg a részvényenkénti árhatást, csak $\sqrt 2$-szeresére növeli. A $Q$ részvény összköltsége $Q^{3/2}$ szerint nő, ez még mindig gyorsabb a lineárisnál, ezért egy nagy megbízás több napra vagy órára szétosztása csökkenti a részvényenkénti költséget.

## Egy megbízás szétosztása

A szabály azt mondja meg, mennyibe kerül a megbízás egyszerre végrehajtva; az Almgren–Chriss-modell azt, hogyan érdemes elosztani. Egy kereskedőnek $X$ részvényt kell eladnia a $T$ időtávon belül (lent egy kereskedési nap). Az időt $N$ darab $\tau = T/N$ hosszú szakaszra vágjuk, az időpontok $t_j = j\tau$. Legyen $x_j$ a $t_j$ időpontban még birtokolt részvények száma, így $x_0 = X$ és $x_N = 0$, és legyen $n_j = x_{j-1} - x_j$ a $j$-edik szakaszban eladott mennyiség.

A kötések között az ár véletlen bolyongást követ, négyzetgyök-naponként $\sigma$ volatilitással, és mindkét árhatás lineáris. $n_j$ eladása végleg $\gamma\,n_j$-vel viszi lejjebb az árat (tartós árhatás), maga a kötés pedig $\eta\,n_j/\tau$-val a kötés előtti ár alatt teljesül (átmeneti árhatás, amely a kereskedési ütemtől, $n_j/\tau$-tól függ). A részvényenkénti fix díjat kihagyjuk, mert minden ütemezésnél ugyanannyi.

## Várható költség és kockázat

A felszámolás költsége a pozíció kezdeti értéke mínusz a befolyt pénz. A két árhatás két tagot ad, a véletlen ármozgások pedig egy véletlen tagot. A tartós árhatás minden, a $j$-edik kötés után még birtokolt részvényen $\gamma\,n_j$-be kerül, az átmeneti árhatás pedig $\eta\,n_j^2/\tau$-ba. Mivel $x_{j-1}^2 - x_j^2 = 2x_j n_j + n_j^2$, a $j$ szerinti összegzés $\sum_j x_j n_j = \tfrac12\left(X^2 - \sum_j n_j^2\right)$-t ad, így a várható költség

$$
E = \tfrac12\,\gamma X^2 + \frac{\tilde\eta}{\tau}\sum_{j=1}^{N} n_j^2, \qquad \tilde\eta = \eta - \tfrac12\,\gamma\tau.
$$

Az első tag nem függ az ütemezéstől. A második akkor a legkisebb, ha a négyzetek kicsik, vagyis a kötések egyformák: a lassú, egyenletes eladás minimalizálja az átmeneti árhatást. A költség véletlen része abból jön, hogy az ár mozog, amíg részvényeket birtokolsz: a $j$-edik szakaszban az $x_j$ pozíció $\sigma^2\tau$ szórásnégyzetű árváltozásnak van kitéve, tehát

$$
V = \sigma^2\,\tau \sum_{j=1}^{N} x_j^2.
$$

A szórásnégyzet akkor a legkisebb, ha korán eladsz, mert akkor kicsik az $x_j$ állományok. A két cél ellentétes irányba húz: a költség egyenletes ütemezést kér, a kockázat gyorsat. Ez ugyanolyan konfliktus, mint a hozam és a kockázat között a „Kockázatkerülés és az optimális teljes portfólió” leckében.

## Az optimális ütemezés

A kockázatkerülő kereskedő az $E + \lambda_{\text{kock}}V$ kifejezést minimalizálja, ahol $\lambda_{\text{kock}}$ a kockázatkerülés. (Ez nem Kyle $\lambda$-ja, az árreakció a megbízási folyamra; az alsó index választja szét őket.) Ha minden belső $x_j$ szerinti deriváltat nullával teszünk egyenlővé, azt kapjuk, hogy

$$
\frac{2\tilde\eta}{\tau}\left(x_{j-1} - 2x_j + x_{j+1}\right) = 2\lambda_{\text{kock}}\sigma^2\tau\,x_j \;\Longrightarrow\; x_{j-1} - 2x_j + x_{j+1} = \tilde\kappa^2\tau^2\,x_j, \qquad \tilde\kappa^2 = \frac{\lambda_{\text{kock}}\sigma^2}{\tilde\eta}.
$$

Az $x_j \propto e^{\pm\kappa t_j}$ próbafüggvény ezt $2\cosh(\kappa\tau) - 2 = \tilde\kappa^2\tau^2$-re alakítja. Az $x_0 = X$ és $x_N = 0$ peremfeltételekkel a megoldás

$$
x_j = X\,\frac{\sinh\big(\kappa\,(T - t_j)\big)}{\sinh(\kappa T)}, \qquad \cosh(\kappa\tau) = 1 + \tfrac12\,\tilde\kappa^2\tau^2.
$$

A $\kappa$ paraméter azt adja meg, milyen gyorsan fogy az állomány. Ha $\lambda_{\text{kock}} \to 0$, akkor $\kappa \to 0$, és a képlet az $x_j = X(T - t_j)/T$ egyenesbe megy át, az egyenletes ütemezésbe. Minél nagyobb a $\lambda_{\text{kock}}$ vagy a volatilitás, és minél kisebb az $\eta$ átmeneti árhatás, annál nagyobb a $\kappa$, és annál nagyobb részt adunk el a megbízásból az elején.

## A végrehajtás hatékony frontja

A $\lambda_{\text{kock}}$ minden értékéhez tartozik egy ütemezés, saját várható költséggel és $\sqrt V$ szórással. Ezeket ábrázolva a portfóliók hatékony frontjához hasonló görbét kapunk: a görbe egyetlen pontjánál sincs olyan ütemezés, amelynek költsége és kockázata is kisebb, a kereskedő pedig a kockázatkerüléséhez illő pontot választja. Az egyenletes ütemezés a legkisebb költségű és legnagyobb kockázatú vég; az egyszerre eladás a legnagyobb költségű, és az ármozgásoktól mentes vég.

Az ábra egy nap alatt, 20 szakaszban adja el a megbízást. A bal oldali grafikon azt mutatja, mennyi marad meg az egyes időpontokban a választott kockázatkerüléssel (folytonos vonal) és az egyenletes ütemezéssel (szaggatott vonal). A jobb oldali a front: húzd rajta a pontot, és változik a kockázatkerülés. Az alapértékeknél ($\lambda_{\text{kock}} = 100$, 2% napi volatilitás, $\eta = 20$ bp) a várható költség 49,3 bp, a szórás 59,3 bp, és a nap első negyedében a megbízás 67,5%-a elkel. Az egyenletes ütemezés költsége nagyjából 25 bp, a szórása 111 bp, vagyis a további 24 bp költség a kockázatot majdnem a felére csökkenti. Csökkentsd a kockázatkerülést, és az ütemezés kiegyenesedik, növeld a volatilitást, és újra görbül.

*[Interaktív ábra: execution frontier](https://quantsandbox.dev/hu/guide/microstructure/price-impact)*

## Egy részletes példa

Először az ökölszabály, aztán a lehető legkisebb ütemezés, amelyen látszik az átváltás. A játékpéldában $X = 2$ részvényt adunk el $N = 2$ darab, $\tau = 1$ hosszú szakaszban, $\sigma = 1$, $\tilde\eta = 1$ értékekkel és tartós árhatás nélkül.

### Kidolgozott példa: Négyzetgyök-árhatás és egy kétszakaszos ütemezés

1. A négyzetgyök-szabály egy 2% napi volatilitású részvényre és a napi forgalom 5%-át kitevő megbízásra, százalékban.
   $$2\% \times \sqrt{0{,}05}$$ → **0.447**
2. Eladunk 1-et, majd még 1-et: az állomány $x = (2, 1, 0)$, $n = (1, 1)$. A költség $\tilde\eta\sum n_j^2/\tau$.
   $$E = 1^2 + 1^2$$ → **2**
3. Az egyenletes ütemezés szórásnégyzete a kereskedés utáni állományokat számolja, $x_1 = 1$ és $x_2 = 0$.
   $$V = \sigma^2\tau\,(1^2 + 0^2)$$ → **1**
4. Eladunk 2-t, majd 0-t: az egész megbízás az első szakaszban megy el, $n = (2, 0)$, és a költség nagyobb.
   $$E = 2^2 + 0^2$$ → **4**
5. Az első szakasz után semmink sincs, így nincs ármozgási kockázat.
   $$V = 1\cdot 1\cdot(0^2 + 0^2)$$ → **0**
6. A két ütemezés akkor egyformán jó, ha $2 + \lambda_{\text{kock}}\cdot 1 = 4 + \lambda_{\text{kock}}\cdot 0$.
   $$\lambda_{\text{kock}} = 2$$ → **2**

A $\lambda_{\text{kock}} < 2$ kereskedő egyenletesen, a $\lambda_{\text{kock}} > 2$ egyszerre ad el. A sinh-képlet ugyanez a döntés sok szakaszra, ahol a legjobb válasz a kettő között van.

## Összefoglalás

- Az átmeneti árhatás a kötés után elhal, és a kereskedés gyorsaságától függ; a tartós árhatás megmarad, és csak az összes kereskedett mennyiségtől függ.
- Tapasztalatilag egy nagy megbízás árhatása nagyjából $Y\sigma\sqrt{Q/V}$, a megbízás méretének konkáv függvénye.
- Lineáris árhatásnál a várható költség $\tfrac12\gamma X^2 + (\tilde\eta/\tau)\sum n_j^2$, a szórásnégyzet $\sigma^2\tau\sum x_j^2$; az első egyenletes, a második gyors kereskedést kér.
- A költség plusz $\lambda_{\text{kock}}$-szor a szórásnégyzet minimalizálása az $x_j = X\sinh(\kappa(T - t_j))/\sinh(\kappa T)$ ütemezést adja: kockázatsemleges kereskedőnek egyenest, a kockázatkerülés vagy a volatilitás növekedésével pedig egyre inkább előre hozott eladást.
- Az ütemezések (kockázat, költség) párjai hatékony frontot alkotnak, mint a portfóliók esetében.

[Járd végig a könyvet piaci megbízásokkal az Ajánlati könyv laborban](https://quantsandbox.dev/hu/order-book)

## Interaktív laborok

- [Ajánlati könyv szimulátor: csúszás és sor](https://quantsandbox.dev/hu/order-book)

## Gyakorló kérdések

### 1. Egy részvény napi volatilitása 1,5%. A megbízás az átlagos napi forgalom 4%-a. $Y = 1$ mellett mekkora árhatást ad a négyzetgyök-szabály, százalékban?

**Válasz:** 0.3

$1{,}5\% \times \sqrt{0{,}04} = 1{,}5\% \times 0{,}2 = 0{,}3\%$.

### 2. Egy kockázatsemleges kereskedő ($\lambda_{\text{kock}} = 0$) lineáris árhatással szembesül. Hogyan érdemes szétosztania a megbízást?

- a) Egyenletesen a teljes időtávon
- b) Mindet az elején
- c) Mindet a végén
- d) Véletlen sorrendben

**Válasz:** a) Egyenletesen a teljes időtávon

Csak a költség számít, és adott összeg mellett $\sum n_j^2$ akkor a legkisebb, ha minden $n_j$ egyenlő. Ez az egyenletes ütemezés, amelyet gyakran TWAP-nak, időarányos átlagárnak neveznek.

### 3. A piac volatilisabb lesz, miközben az átmeneti árhatás ugyanakkora marad. Hogyan változik az optimális ütemezés?

- a) Többet adunk el korán
- b) Többet adunk el későn
- c) Egyenletessé válik
- d) Nem változik

**Válasz:** a) Többet adunk el korán

Nagyobb $\sigma$ növeli a $\tilde\kappa$-t, így az állomány gyorsabban fogy: a részvények tartásának kockázata most többet ér, mint a gyors eladás extra átmeneti árhatása.

---

Forrás: https://quantsandbox.dev/hu/guide/microstructure/price-impact

Előző lecke: [Informált kereskedés és Kyle lambdája](https://quantsandbox.dev/hu/guide/microstructure/kyle-model)

Következő lecke: [Készletkockázat és a jegyzések eltolása](https://quantsandbox.dev/hu/guide/microstructure/inventory-risk)