# A limitáras ajánlati könyv Limitáras és piaci megbízások, ár–idő prioritás, mélység, hogyan halad végig a piaci megbízás a könyvön, és a mid árhoz mért csúszás. A „Market makerek és a likviditás” bemutatta, mit csinál egy market maker (árjegyző): bid és ask árat jegyez, és a spreadet keresi azzal, hogy mindig kész kereskedni. Ez a lecke felépíti a gépezetet, amelyben ezek a jegyzések élnek, a **limitáras ajánlati könyvet**. Meghatározza a két megbízástípust, megmutatja, hogyan épül fel a könyv és kinek a megbízása teljesül előbb, majd egy nagy piaci megbízást követ végig a könyvön, hogy kiderüljön, mennyibe kerül nagy méretet kereskedni. Az árak USD/részvényben értendők, a **tick** a legkisebb megengedett árlépés, itt 0,01. A méretek részvényben vannak megadva. ## Megbízások A **limitáras megbízásnak** három része van: oldal (vétel vagy eladás), ár és méret. Azt mondja: legfeljebb ekkora mennyiséget, ezen az áron vagy jobbon. A 99,99-es vételi limit minden 99,99 vagy annál alacsonyabb árat elfogad. Ha a másik oldalon senki sem hajlandó ezen az áron kereskedni, a megbízás **a könyvben marad** és vár. A várakozó megbízások adják a likviditást. A **piaci megbízásnak** van oldala és mérete, de ára nincs. Azonnal a szemközti oldal legjobb várakozó megbízásaival köt, az áraiktól függetlenül. A piaci vétel a várakozó eladásokat viszi el, a piaci eladás a várakozó vételeket. Likviditást elvesz, nem nyújt. Az a limitáras megbízás, amelynek ára már eléri a másik oldalt, például 100,05-ös vétel, miközben a legjobb eladás 100,01, **azonnal teljesíthető**. A teljesíthető rész azonnal köt a várakozó megbízások árain, a maradék pedig a limitáron vár. A várakozó megbízás bármikor **visszavonható**, ekkor kötés nélkül kikerül a könyvből. ## Az ajánlati könyv A könyv az összes várakozó limitáras megbízást tartalmazza. A vételi megbízások a **bidek**, az eladásiak az **askok**. A bidek a legmagasabb ártól lefelé, az askok a legalacsonyabbtól felfelé vannak rendezve, így a két oldal legjobb árai középen néznek egymással szembe. A **legjobb bid** $b$ a legmagasabb vételi ár, a **legjobb ask** $a$ a legalacsonyabb eladási ár. Együtt ők a **touch**. A **spread** $a - b$, a **mid ár** pedig a kettő átlaga: $$ m = \frac{a + b}{2}. $$ Minden árhoz a könyv egy **szintet** tart nyilván, az ott várakozó megbízások sorát. A szint **mélysége** a megbízásai méretének összege, a **halmozott mélység** pedig az adott szint és a nála jobb szintek mélységének összege az adott oldalon. Az alábbi példákban a legjobb bid 99,99, a legjobb ask 100,01, tehát a mid 100,00 és a spread két tick. ## Ár–idő prioritás Amikor piaci megbízás érkezik, a könyvnek szabály kell arra, melyik várakozó megbízás köt először. Szinte minden tőzsde **ár–idő prioritást** alkalmaz: a jobb árú megbízás köt előbb (bidnél a magasabb, asknál az alacsonyabb), azonos áron pedig az, amelyik korábban érkezett. Egy szint így érkezési sorrendű (FIFO) sor. A szabály mindkét fele a likviditásnyújtót jutalmazza. A jobb ár a könyv elejére viszi a megbízást, a korábbi érkezés pedig a sor elejére. Az ár szerinti szabály egymás felé húzza a jegyzéseket és szűkíti a spreadet, az idő szerinti a gyorsaságot díjazza, és ezért lesz egy későbbi, sorokról szóló leckében a helyezés a sorban értékes dolog. A megbízás visszavonása és újbóli beadása, még azonos áron is, a sor végére küldi. ## Végighaladás a könyvön Egy $Q$ méretű piaci vétel először a legjobb ask szint egészét viszi el. Ha ez nem elég, a következő ask szintre lép, és így tovább, amíg mind a $Q$ részvényt meg nem vette. A megbízás **végighalad a könyvön**. Legyen a megbízás által elért $i$-edik szinten $q_i$ részvény $p_i$ áron, úgy, hogy $\sum_i q_i = Q$. Az **átlagára** ezen árak méret szerint súlyozott átlaga: $$ \bar p = \frac{\sum_i p_i\, q_i}{\sum_i q_i}. $$ A költség mércéje a **csúszás** (slippage), az átlagár és a megbízás elküldésekor érvényes mid ár különbsége. Vételnél pozitív, ha $\bar p$ a $m$ fölött van, és a mid ár **bázispontjaiban** (bp, egy század százalék) adjuk meg. Dollárban a megbízás teljes költsége a mid árhoz képest a részvényszám és az árkülönbség szorzata: $$ \text{csúszás} = \frac{\bar p - m}{m}\cdot 10^{4}\ \text{bp}, \qquad \text{költség} = Q\,(\bar p - m). $$ Piaci eladásnál az előjelek megfordulnak: a megbízás a mid alatti $\bar p$ árat kapja, a csúszás tehát $(m - \bar p)/m$. Még az egyetlen részvényes megbízás is fizet valamit. Ha a legjobb ask 100,01 és a mid 100,00, részvényenként 0,01-be, azaz 1 bp-be kerül. Ez a spread fele, az azonnaliság ára az előző leckéből. ### Kidolgozott példa: 1 600 részvényes piaci vétel 1. Az askok: 100,01 318 részvényre, 100,02 311-re, 100,03 518-ra és 100,04 453-ra. Az első három szintet teljesen elviszi a megbízás, a negyedik szint adja a megbízás hátralévő részét. $$1600 - 318 - 311 - 518 = 453$$ → **453** 2. A megbízás pontosan mind a négy szintet elfogyasztja. A kötés értéke a szintenkénti ár szorozva részvényszámmal összege, USD-ben. $$318\cdot 100{,}01 + 311\cdot 100{,}02 + 518\cdot 100{,}03 + 453\cdot 100{,}04$$ → **160043.06** 3. Osszuk el az 1 600 részvénnyel, így megkapjuk az átlagárat. $$\bar p = 160043{,}06 / 1600$$ → **100.0269** 4. A csúszás a 100,00-s mid árhoz képest, bázispontban. $$\frac{100{,}0269 - 100{,}00}{100{,}00}\cdot 10^{4}$$ → **2.69** 5. A költség a mid árhoz képest, USD-ben. $$1600\,(100{,}0269125 - 100{,}00)$$ → **43.06** ## Mélység és a méret költsége A megoldott példában ott a mintázat: minden további szint még egy ticknyivel drágább. Hogy lássuk, hogyan nő a költség a mérettel, vegyünk egy egyszerű könyvet, amelyben minden szinten ugyanakkora a $d$ mélység, és a legjobb ask $h$ tickkel van a mid fölött (itt $h = 1$). A $j = 1, 2, \dots$ szint ekkor $h + j - 1$ tickkel van a mid fölött. Egy $Q = k\,d$ részvényes vétel $k$ teljes szintet visz el. Átlagos távolsága a mid felett e $k$ távolság átlaga, és a $\sum_{j=1}^{k}(j-1) = k(k-1)/2$ számtani sor adja: $$ \bar p - m = \left(h + \frac{k-1}{2}\right)\text{tick}, \qquad k = \frac{Q}{d}. $$ A csúszás tehát a mérettel nagyjából lineárisan nő: van egy állandó $h$ rész a spreadből, és egy rész, amely minden további részvénnyel $1/(2d)$ ticknyit nő. $Q$-val szorozva megkapjuk a teljes költséget tickekben: $$ Q\,(\bar p - m) = Q\,h + \frac{Q^2}{2d} - \frac{Q}{2}\;\approx\;\frac{Q^2}{2d}\quad\text{nagy } Q \text{ esetén}. $$ A teljes költség a méret négyzetével nő. Egy megbízás megduplázása nagyjából megnégyszerezi a költségének azt a részét, amely a könyvön való végighaladásból jön, mert kétszer annyi szintet visz el, és minden részvénye átlagosan drágább is. A mély könyv, nagy $d$ mellett, ellaposítja ezt. A valódi könyvek a touchnál általában vékonyabbak, távolabb vastagabbak, így az első szintek a drágák, és a görbe végül ellaposodik; a négyzetes szabály közepes méretekre iránytű, nem törvény. Az ábra ezt a kísérletet futtatja egy oldalanként tíz szintű könyvön, az első négy szinten túl szintenként nagyjából 450 részvénnyel. Válassz piaci vételt vagy eladást, és húzd a méretet: a megbízás által elfogyasztott sorok kiemelve látszanak, mellettük a csúszás görbéje a méret függvényében, a kiválasztott méretnél jelölővel. Az alapértelmezett 1 600 részvénynél megkapod a megoldott példát: négy szint, 2,69 bp, 43,06 USD költség. 100 részvény egyetlen szinten 1,00 bp-be kerül. Duplázd meg a méretet 3 200-ra, és nyolc szintet érintesz: a csúszás 4,50 bp-re, a költség 144,06 USD-re nő, a kétszeres részvényszámért több mint háromszoros áron. *[Interaktív ábra: book walk](https://quantsandbox.dev/hu/guide/microstructure/limit-order-book)* > A touchon végrehajtott piaci megbízás a spread felét fizeti, és minden további szint egy ticknyivel emeli az átlagárat. A költség a mid árhoz képest $Q(\bar p - m)$, ami egyenletes mélységű könyvben nagyjából $Q^2$-tel arányos. ## Összefoglalás - A limitáras megbízásnak oldala, ára és mérete van, és a könyvben vár, amíg nem köt vagy vissza nem vonják; a piaci megbízásnak nincs ára, és azonnal köt a szemközti oldallal. - A könyv a bideket a magasabbtól az alacsonyabbig, az askokat az alacsonyabbtól a magasabbig tartja, a touchnál a legjobb bid, a legjobb ask, a spread és a mid ($m = (a+b)/2$) áll. - Az ár–idő prioritás a jobb árat tölti ki előbb, azonos áron a korábbit, így minden szint érkezési sorrendű sor. - A piaci megbízás $\bar p = \sum p_i q_i / \sum q_i$ átlagáron halad végig a könyvön, a csúszás $(\bar p - m)/m$, a költség $Q(\bar p - m)$. - Egyenletes mélység mellett a csúszás nagyjából lineárisan, a teljes költség nagyjából $Q^2$-tel nő, tehát a méret drága. [Haladj végig a könyvön piaci megbízásokkal az Ajánlati könyv laborban](https://quantsandbox.dev/hu/order-book) ## Interaktív laborok - [Ajánlati könyv szimulátor: csúszás és sor](https://quantsandbox.dev/hu/order-book) ## Gyakorló kérdések ### 1. Két vételi megbízás alkotja a legjobb bidet, mindkettő 99,97-en: 500 részvény, beadva 09:30:01-kor, és 2 000 részvény, beadva 09:30:05-kor. 600 részvényes piaci eladás érkezik. Kinek a megbízása teljesül? - a) A 2 000-é teljesen, mert az a nagyobb megbízás - b) A 500-é teljesen, majd a 2 000-ből 100 - c) Mindkettőé a méretük arányában: 120 és 480 - d) Egyiké sem: a piaci eladás ehelyett a mid áron köt **Válasz:** b) A 500-é teljesen, majd a 2 000-ből 100 Azonos áron a korábbi megbízásnak van prioritása. Az 500 teljesen köt, a piaci eladás maradék 100 részvénye a másodikhoz kerül, amelyből 1 900 vár tovább. A méret nem számít, a könyv nem osztja szét arányosan a teljesüléseket, és a piaci megbízás a várakozó megbízások árán köt, nem a mid áron. ### 2. Az askok: 50,00 200 részvényre és 50,01 300 részvényre. 400 részvényes piaci vétel érkezik. Mennyi az átlagára USD-ben? **Válasz:** 50.005 A megbízás 200 részvényt vesz 50,00-n és a másik 200-at 50,01-en, így $\bar p = (50{,}00 \cdot 200 + 50{,}01 \cdot 200)/400 = 50{,}005$. ### 3. Egy könyvben minden szinten ugyanakkora a mélység. Egy Q méretű piaci vétel végighalad a könyvön, és a spreadet nem számítva C költséget okoz a mid árhoz képest. Nagyjából mennyibe kerül a 2Q méretű piaci vétel? - a) Nagyjából 2C - b) Nagyjából 3C - c) Nagyjából 4C - d) Nagyjából 8C **Válasz:** c) Nagyjából 4C Kétszer annyi szintet visz el, így a mid feletti átlagos távolság megduplázódik, és kétszer annyi részvényt vesz ezen a távolságon. A költség tickekben $Q^2/(2d)$, ami $2^2 = 4$-szeresére nő. --- Forrás: https://quantsandbox.dev/hu/guide/microstructure/limit-order-book Előző lecke: [Market makerek és a likviditás](https://quantsandbox.dev/hu/guide/microstructure/market-makers) Következő lecke: [A sorban elfoglalt hely és a teljesülés valószínűsége](https://quantsandbox.dev/hu/guide/microstructure/queue-position)