# Informált kereskedés és Kyle lambdája

A zajkereskedők közé rejtőző bennfentes, a teljes megbízásáramlásból árazó market maker, a λ árhatás-együttható, és miért kereskedik a bennfentes fokozatosan.

„A Glosten–Milgrom-modell” leckében egy informált kereskedő megérkezik, vesz vagy elad egy egységet, majd távozik; a market maker (árjegyző) minden kötés irányából tanul. A „Kedvezőtlen kiválasztás és informált kereskedés” lecke megmérte, mennyibe kerülnek az ilyen ügyfelek a makernek. Ebben a leckében az informált kereskedő dönthet arról, mennyit kereskedjen. Egyetlen bennfentes ismeri az eszköz értékét, a megbízásait a zajkereskedők közé rejti, a market maker pedig a látott teljes megbízásáramlást árazza. Az Albert Kyle-tól (1985) származó modell adja a $\lambda$ árhatás-együtthatót, a piaci mikrostruktúra legtöbbet használt számát.

## Egyetlen aukció

Egy eszköz van és egy kereskedési kör, amelyet **aukciónak** hívunk. A $V$ érték az aukció után válik nyilvánossá. Kereskedés előtt mindenki egyetért abban, hogy $V$ normális eloszlású $p_0$ várható értékkel és $\sigma_v^2$ szórásnégyzettel:

$$
V \sim N(p_0,\ \sigma_v^2).
$$

Háromféle szereplő találkozik az aukción.

- A **bennfentes** pontosan megtudja $V$-t, és $x$ darabos piaci megbízást ad (pozitív, ha vesz, negatív, ha elad).
- A **zajkereskedők** együttesen $u \sim N(0, \sigma_u^2)$ megbízást adnak $V$-től független okokból. $\sigma_u$ mértékegysége darab.
- A versenyző **market maker** csak az $y = x + u$ összeget, a **megbízásáramlást** látja, és egyetlen $p$ áron teljesíti.

A makerek közti verseny a várható profitjukat nullára szorítja, így az ár a látottak melletti várható érték:

$$
p = E[V \mid y].
$$

Ez a „Feltételes várható érték és martingálok” lecke feltételes várható értéke. A maker nem tudja szétválasztani $x$-et és $u$-t: egy nagy vételi áramlás jöhet egy bennfentestől, aki tudja, hogy az érték magas, de lehet egyszerűen egy nagy zajmegbízás is.

## A lineáris egyensúly

Az egyensúly egy kereskedési szabály a bennfentesnek és egy árazási szabály a makernek úgy, hogy mindkettő a legjobb válasz a másikra. Tegyük fel, hogy mindkettő lineáris:

$$
x = \beta\,(V - p_0), \qquad p = p_0 + \lambda\,y.
$$

**A bennfentes legjobb válasza.** Tekintsd adottnak az árazási szabályt. $p = p_0 + \lambda(x + u)$ és $E[u] = 0$ mellett a bennfentes várható profitja adott $V$ esetén

$$
E[(V - p)\,x \mid V] = \bigl(V - p_0 - \lambda x\bigr)\,x.
$$

Ez $x$-ben lefelé nyíló parabola. A $V - p_0 - 2\lambda x$ deriváltat nullával egyenlővé téve

$$
x = \frac{V - p_0}{2\lambda}, \qquad\text{tehát}\qquad \beta = \frac{1}{2\lambda}.
$$

Ha többet kereskedne, minden darabon maga ellen tolná az árat, ezért félúton megáll: a saját megbízása $\lambda x = (V - p_0)/2$-vel mozdítja a várható árat.

**A maker legjobb válasza.** Tekintsd adottnak a kereskedési szabályt. Ekkor $y = \beta(V - p_0) + u$ és $V$ együttesen normális, és együttesen normális változókra a feltételes várható érték a lineáris vetítés:

$$
E[V \mid y] = p_0 + \frac{\operatorname{Cov}(V, y)}{\operatorname{Var}(y)}\,y, \qquad \operatorname{Cov}(V, y) = \beta\sigma_v^2,\quad \operatorname{Var}(y) = \beta^2\sigma_v^2 + \sigma_u^2.
$$

A maker szabálya tehát valóban lineáris, és

$$
\lambda = \frac{\beta\,\sigma_v^2}{\beta^2\sigma_v^2 + \sigma_u^2}.
$$

**Megoldás.** Helyettesítsd be $\beta = 1/(2\lambda)$-t, azaz $\lambda = 1/(2\beta)$-t: $\ 1/(2\beta) = \beta\sigma_v^2/(\beta^2\sigma_v^2 + \sigma_u^2)$. Keresztbe szorozva $\beta^2\sigma_v^2 + \sigma_u^2 = 2\beta^2\sigma_v^2$, így $\beta^2\sigma_v^2 = \sigma_u^2$ és

$$
\beta = \frac{\sigma_u}{\sigma_v}, \qquad \lambda = \frac{\sigma_v}{2\sigma_u}.
$$

$\lambda$ mértékegysége dollár per darab: ennyit mozdul az ár egy darab nettó megbízásáramlásra. Akkor nagy, ha nagy a privát információ ($\sigma_v$), és akkor kicsi, ha sok a zaj, amelyben el lehet rejtőzni ($\sigma_u$).

## Az egyensúly tulajdonságai

**Az információ fele bekerül az árba.** Az ár szórásnégyzete $\lambda^2\operatorname{Var}(y) = \lambda^2 \cdot 2\sigma_u^2 = \sigma_v^2/2$, a $V$-re vonatkozó maradék bizonytalanság az aukció után pedig $\operatorname{Var}(V \mid y) = \sigma_v^2 - \sigma_v^2/2 = \sigma_v^2/2$. Az aukció a bennfentes információjának felét fedi fel.

**A bennfentes profitja nő a zajjal.** Adott $V$ mellett a várható profitja $(V - p_0)^2/(4\lambda)$. $V$-re átlagolva, $E[(V - p_0)^2] = \sigma_v^2$ felhasználásával:

$$
E[\pi_I] = \frac{\sigma_v^2}{4\lambda} = \frac{\sigma_u\,\sigma_v}{2}.
$$

Több zaj mellett a bennfentes nem lesz óvatlanabb; a zaj csökkenti $\lambda$-t, így a bennfentes többet kereskedik ($\beta$ nő) ugyanakkora, információegységre jutó árhatás mellett.

**A zajkereskedők fizetik meg.** A maker nullszaldós, így a bennfentes nyeresége a zajkereskedők vesztesége. Az ő várható profitjuk $E[(V - p)u] = -\lambda\sigma_u^2 = -\sigma_u\sigma_v/2$: darabonként $\lambda$-t fizetnek egy jellemzően $\sigma_u$ méretű pozíción.

### Kidolgozott példa: Egy aukció σᵥ = 4 és σᵤ = 1000 mellett

1. Legyen $p_0 = 100$, $\sigma_v = 4$ USD, $\sigma_u = 1000$ darab. A bennfentes kereskedési intenzitása, darab per USD félreárazásban:
   $$\beta = \sigma_u/\sigma_v = 1000/4$$ → **250**
2. A bennfentes megtudja, hogy $V = 104$, és vesz:
   $$x = \beta\,(V - p_0) = 250 \cdot 4$$ → **1000**
3. A maker árhatása USD per darabban:
   $$\lambda = \sigma_v/(2\sigma_u) = 4/2000$$ → **0.002**
4. A zaj átlaga nulla, így a várható ár a rés felét zárja be:
   $$E[p] = 100 + 0{,}002 \cdot 1000$$ → **102**
5. A bennfentes várható profitja ennél a $V$-nél, USD-ben:
   $$(104 - 102) \cdot 1000$$ → **2000**
6. $V$ összes lehetséges értékére átlagolva a várható profit:
   $$\sigma_u\sigma_v/2 = 1000 \cdot 4/2$$ → **2000**

## Több aukció

Most a bennfentes $N$ aukción kereskedhet, mindegyikben friss, független zajjal, a maker pedig végig egyetlen állandó $\lambda$-t használ (ezt az egyszerűsítést használja a labor). Jelölje $g = V - p$ az érték és az ár közti hátralévő rést, $m$ pedig a hátralévő aukciók számát, az aktuálist is beleértve.

Egy hátralévő aukciónál a feladat a fenti: a bennfentes $(g - \lambda x)x$-et maximalizálja, $x = g/(2\lambda)$-t vesz és $g^2/(4\lambda)$-t keres. Tegyük fel, hogy $m - 1$ hátralévő aukciónál a legjobb várható profit $c_{m-1}\,g^2/\lambda$ plusz egy $g$-től független tag, ahol $c_1 = 1/4$. $m$ hátralévő aukciónál egy $x$ megbízás most $(g - \lambda x)x$-et hoz, és $g - \lambda x - \lambda u$ rést hagy hátra. A zaj átlaga nulla, ezért csak konstanst ad hozzá, és a bennfentes ezt maximalizálja:

$$
(g - \lambda x)\,x + c_{m-1}\,\frac{(g - \lambda x)^2}{\lambda}.
$$

A derivált $g - 2\lambda x - 2c_{m-1}(g - \lambda x) = 0$, így $\lambda x = g\,(1 - 2c_{m-1})/(2 - 2c_{m-1})$. $c_{m-1} = (m-1)/(2m)$ mellett ez $g/(m+1)$, és visszahelyettesítve $c_m = m/(2(m+1))$, ami indukcióval igazolja a feltevést. Egyetlen állandó $\lambda$ mellett:

$$
\lambda\,x_m = \frac{V - p}{m + 1}.
$$

Minden megbízás a hátralévő rés $1/(m+1)$ részét zárja be: tíz hátralévő aukciónál $1/11$-ét, kettőnél a harmadát, az utolsóban a felét. A fokozatos kereskedés jobb, mint az egyszerre végrehajtott: a pozíció szétterítésével a bennfentes darabonként kisebb árhatást fizet, a közbeeső zaj pedig megakadályozza, hogy a maker túl sokat kikövetkeztessen. Kyle 1985-ös egyensúlya tovább megy, és megengedi, hogy $\lambda$ aukcióról aukcióra változzon, ahogy a maker tanul; a bennfentes ekkor úgy kereskedik, hogy az információ egyenletes ütemben kerüljön az árba. Ezt a változatot itt nem vezetjük le.

Az ábra tíz aukciót játszik le $\sigma_v = 4$, aukciónként 1000 darab zaj és $V - p_0 = +4$ mellett, így a nullszaldós állandó $\lambda$ 0,00106 USD per darab. Az alapterv az első aukción 1900 darabot vesz, nagyjából $(V - p_0)/(2\lambda)$-t, utána semmit. A rögzített zajon 4186 USD-t keres és a rés 47%-át zárja be, míg az optimális bennfentes ugyanezen a zajon 6403 USD-t keres. A halvány oszlopok a terved melletti optimális megbízást mutatják; az első 343 darab, $4/(11\lambda)$. Húzd az oszlopokat feléjük, és figyeld, ahogy a profitod megközelíti az optimumot. Válts a market maker nézetére: a maker csak a teljes megbízásáramlást látja, és aukciónként 1000 darab zaj mellett egy néhány száz darabos megbízást nehéz észrevenni.

*[Interaktív ábra: kyle schedule](https://quantsandbox.dev/hu/guide/microstructure/kyle-model)*

## A lambda becslése

Adatokból $\lambda$-t úgy becsülik, hogy rövid intervallumokon az árváltozást az előjeles megbízásáramlásra regresszálják:

$$
\Delta p_t = \alpha + \lambda\,y_t + \varepsilon_t,
$$

ahol $y_t$ a $t$-edik intervallumban a vevő által kezdeményezett mínusz az eladó által kezdeményezett forgalom. A kötések előjelét az ár és a középár összevetése adja, mint a „Kedvezőtlen kiválasztás és informált kereskedés” leckében. A meredekség mértékegysége ár per darab. Részvények összehasonlításához gyakran átskálázzák: árváltozás bázispontban a napi forgalom 1%-ára, $\lambda \cdot 0{,}01\,\text{ADV}/p \cdot 10^4$.

> A regresszió minden okot megragad, amiért az ár követi a megbízásáramlást, a készlethatásokat is; Kyle modellje a teljes meredekséget az információnak tulajdonítja.

## Összefoglalás

- A $V$-t ismerő bennfentes $x = \beta(V - p_0)$-t kereskedik; a maker csak $y = x + u$-t látja, és $p = p_0 + \lambda y$ árat szab.
- Az egyaukciós egyensúlyban $\beta = \sigma_u/\sigma_v$ és $\lambda = \sigma_v/(2\sigma_u)$; a privát információ fele bekerül az árba.
- A bennfentes várhatóan $\sigma_u\sigma_v/2$-t keres, pontosan annyit, amennyit a zajkereskedők veszítenek; több zaj több bennfentes profitot jelent.
- Sok aukción egyetlen állandó $\lambda$ mellett a legjobb megbízás a hátralévő rés $1/(m+1)$ részét zárja be, így a fokozatos kereskedés jobb az egyszerre végrehajtottnál.
- $\lambda$-t az árváltozás előjeles megbízásáramlásra vett regressziójával becsülik, ár per darabban vagy bázispont per a forgalom 1%-ában.

[Nyisd meg a Kyle-modell labort](https://quantsandbox.dev/hu/kyle)

## Interaktív laborok

- [Kyle-modell: bennfentes kereskedés, árhatás](https://quantsandbox.dev/hu/kyle)

## Gyakorló kérdések

### 1. Egy egyaukciós Kyle-piacon $\sigma_v = 2$ USD, a zajkereskedés szórása $\sigma_u = 500$ darab. Mennyi $\lambda$ USD per darabban?

**Válasz:** 0.002

$\lambda = \sigma_v/(2\sigma_u) = 2/(2 \cdot 500) = 0{,}002$ USD per darab.

### 2. A zajkereskedés szórása megduplázódik, minden más változatlan. A bennfentes várható profitja…

- a) megduplázódik
- b) a felére csökken
- c) nem változik
- d) nullára esik

**Válasz:** a) megduplázódik

$E[\pi_I] = \sigma_u\sigma_v/2$ lineáris $\sigma_u$-ban. $\lambda$ a felére csökken, a bennfentes megbízása kétszeres lesz, és az ár továbbra is félúton jár $V$ felé.

### 3. Egyetlen állandó $\lambda = 0{,}002$ USD per darab mellett három aukció van hátra, a rés $V - p = 6$ USD. Hány darabot vesz a bennfentes ezen az aukción?

**Válasz:** 750

$m = 3$ mellett a megbízás a rés $1/(m+1) = 1/4$ részét zárja be: $\lambda x = 6/4 = 1{,}5$, így $x = 1{,}5/0{,}002 = 750$ darab.

---

Forrás: https://quantsandbox.dev/hu/guide/microstructure/kyle-model

Előző lecke: [A bid–ask spread mérése és felbontása](https://quantsandbox.dev/hu/guide/microstructure/spread-measurement)

Következő lecke: [Árhatás és optimális végrehajtás](https://quantsandbox.dev/hu/guide/microstructure/price-impact)