# Készletkockázat és a jegyzések eltolása Hogyan lesz a market maker pozíciójából eredmény, miért nő a kockázat a pozícióval és az idővel, és hogyan húzza nullára a készletet a jegyzések eltolása. A market maker (árjegyző) minden körútnál megkeresi a spreadet, de a körút két fele között pozíciót tart, az ár pedig közben mozog. A „Market makerek és a likviditás” egyetlen ilyen körutat mutatott; ez a lecke azt kérdezi, mi történik, ha sok körút fedi egymást, és a pozíció az egyik oldalra gyűlik. Felhasználja a „Véletlen bolyongás és Brown-mozgás” gondolatát, hogy az árváltozások véletlen bolyongásként viselkednek, megméri a pozíció kockázatát, és megmutatja a market maker fő eszközét ennek kezelésére: mindkét jegyzés eltolását. ## A készlet eredménye A market maker **készlete** $q$ a tartott részvények száma: hosszú pozíciónál pozitív, rövidnél negatív. Ha a középár $\Delta m$-mel változik, miközben a pozíció változatlan, az eredmény $$ \text{P\&L} = q\,\Delta m. $$ Tegyük fel, hogy a középár olyan véletlen bolyongást követ, amelynek szórása $\sigma$ $\sqrt{\text{másodperc}}$-onként. $\tau$ másodperc alatt $\Delta m$ várható értéke 0, szórása $\sigma\sqrt{\tau}$, így a pozíció eredményének várható értéke 0, szórása pedig $$ \text{sd}(q\,\Delta m) = |q|\,\sigma\sqrt{\tau}, \qquad \text{Var} = q^2\sigma^2\tau. $$ A kockázat a pozíció méretével arányosan, a tartási idő négyzetgyökével nő. A pozíció megkétszerezése megkétszerezi a szórást és megnégyszerezi a varianciát. A kockázatért várhatóan nem jár díj, hiszen a várható érték nulla, ezért az a célszerű, hogy a market maker annyit tartson belőle, amennyit a spreadbevétel indokol. ## Hogyan épül fel a készlet A készlet csak akkor változik, ha egy ügyfél kereskedik a market makerrel. A vételi áron történő teljesülés egy lottal (itt 100 részvény) növeli, az eladási áron történő eggyel csökkenti. Hogy melyik oldal teljesül legközelebb, az véletlen, ezért a középár körül szimmetrikus jegyzések mellett is elmozdul a pozíció. Tegyük fel, hogy mindkét oldal $\lambda$ ütemben teljesül másodpercenként. $T$ másodperc alatt kb. $2\lambda T$ teljesülés van, mindegyik egyenlő eséllyel $+1$ vagy $-1$ lot, így a pozíció $T$ másodperc után véletlen bolyongás $2\lambda T$ lot$^2$ varianciával. Tipikus mérete $\sqrt{T}$-vel nő, pontosan úgy, mint az ár. A középártól $\delta$ távolságra lévő jegyzés teljesülési üteme $\lambda(\delta) = A\,e^{-k\delta}$: minél közelebb van a jegyzés, annál gyakrabban találják el. $A = 0{,}25$ másodpercenként, $k = 30$ USD-onként és $\delta = 0{,}02$ USD mellett mindkét oldal $0{,}25\,e^{-0{,}6} \approx 0{,}137$ ütemben teljesül másodpercenként, nagyjából hétmásodpercenként egyszer. Az ilyen market maker egy perc végére gyakran több lot pozícióval találja magát, amelyet nem ő választott. ## A jegyzések eltolása A market maker befolyásolhatja, melyik oldalt találják el. Ha hosszú pozícióban van, azt szeretné, hogy előbb egy eladás jöjjön, mint egy vétel. Ezt úgy éri el, hogy **mindkét** jegyzést lejjebb viszi: az eladási ár olcsóbb lesz, ezért gyakrabban találják el, a vételi ár kevésbé vonzó, ezért ritkábban. Ezt hívjuk a jegyzések **eltolásának**. Legyen $\ell = q/100$ a készlet lotokban, $\theta$ pedig az eltolás lotonként USD-ben. A vételi és az eladási ár ekkor a középártól $$ \delta_{\text{bid}} = \delta + \theta\ell, \qquad \delta_{\text{ask}} = \delta - \theta\ell $$ távolságra van. A jegyzések közepe $m - \theta\ell$, a $2\delta$ spread változatlan. A készlet várható változása másodpercenként a vételi és az eladási oldali teljesülési ütem különbsége: $$ \lambda_b - \lambda_a = A e^{-k\delta}\left(e^{-k\theta\ell} - e^{k\theta\ell}\right) = -2\lambda\,\sinh(k\theta\ell) \approx -2\lambda k\theta\,\ell, $$ ahol $\lambda = A e^{-k\delta}$, és a közelítés kis $k\theta\ell$-re érvényes. A sodródás $-\ell$-lel arányos: a hosszú pozíciót lefelé, a rövidet felfelé tolja. A készlet így már nem egyszerű véletlen bolyongás, hanem $\kappa = 2\lambda k\theta$ ütemben húzódik vissza nullához. A véletlen teljesülések és ez a visszahúzás egyensúlyából a hosszú távú variancia $1/(2k\theta)$ lot$^2$, amely nem függ $A$-tól, és $\theta$ növelésével csökken. ## Mibe kerül az eltolás Az eltolás csökkenti a kockázatot, de nem ingyenes. Ha a market maker hosszú pozícióban van, az eladási ára közelebb van a középárhoz, mint $\delta$, így minden eladott részvény kevesebbet hoz a teljes fél spreadnél. Ritkábban teljesül az az oldal is, amely a pozíciót növelné. Az átlagos spreadbevétel $\theta$ növelésével csökken, de a záró készlet és az eredmény szórása is csökken. Az ábra 200 szimulált percet futtat minden $\theta$-ra ugyanazokkal a véletlen számokkal, így a látott változásokat egyedül az eltolás okozza. Kezdd 0 eltolással. A záró készlet szórása kb. 372 részvény, az átlagos eredmény 36,01 USD, az eredmény szórása 39,62 USD. Húzd lefelé a jelölőt, vagy használd a csúszkát 0,20 centre 100 részvényenként: a készlet szórása 253 részvényre, az eredmény szórása 34,50 USD-re esik, az átlag pedig 33,59 USD-re csökken, kb. 7%-kal. 0,40 centnél a készlet szórása 202 részvény, az eredmény szórása 29,58 USD, de az átlag már csak 30,39 USD. Hogy mennyit érdemes eltolni, az attól függ, mennyire kerüli a kockázatot a market maker; erre a következő leckék adnak pontos választ. *[Interaktív ábra: inventory skew](https://quantsandbox.dev/hu/guide/microstructure/inventory-risk)* ## Fedezés az eltolás helyett A készlettől meg lehet szabadulni úgy is, hogy a market maker eladja azt. **Átlépheti a spreadet**, vagyis eladhatja a tartott mennyiséget a vételi áron, és megfizeti a fél spreadet meg az esetleges díjat. Vagy kereskedhet egy korrelált eszközzel, például határidős ügylettel vagy tőzsdén kereskedett alappal, és a részvényeket megtartja; ez a „Delta és fedezés” gondolata, opció helyett részvénypozícióra alkalmazva. A spread átlépése biztos és azonnali, de minden részvényen pénzbe kerül. Az eltolás előre nem kerül semmibe, és lassan hat, ezért kis pozícióra és nyugodt piacra való. A fedezés nagy pozícióra, gyors piacra vagy olyan market makerre való, amely nem tud az ügyfelekre várni. ### Kidolgozott példa: Tartani vagy lezárni a pozíciót 1. Egy market maker 500 részvényt tart hosszan, $\sigma = 0{,}02$ USD $\sqrt{\text{másodperc}}$-onként. Az eredmény szórása 60 másodperc alatt, USD-ben: $$500 \times 0{,}02 \times \sqrt{60}$$ → **77.46** 2. Az egyoldali 95%-os veszteség 1,645 szórás, USD-ben: $$1{,}645 \times 77{,}46$$ → **127.42** 3. A lezárás 500 részvény eladását jelenti a vételi áron, ami a középár alatt van a 0,01 fél spreaddel és a 0,003 díjjal. A költség USD-ben: $$500 \times (0{,}01 + 0{,}003)$$ → **6.5** 4. Az elkerült 95%-os veszteség a lezárás költségével csökkentve, USD-ben: $$127{,}42 - 6{,}50$$ → **120.92** A 6,50 USD költség olcsó ár egy 127,42 USD-s szélsőséges veszteség kiküszöböléséért, ezért zárják le a market makerek a nagy pozíciókat ahelyett, hogy várnának. 50 részvényes pozíciónál ugyanez az ügylet keveset ad, és az eltolás elég. ## Összefoglalás - A $q$ készlet eredménye $q\,\Delta m$; az eredmény szórása $|q|\,\sigma\sqrt{\tau}$, így a kockázat a pozíció méretével és az idő négyzetgyökével nő. - Szimmetrikus jegyzéseknél a véletlen teljesülésektől a készlet véletlen bolyongássá válik, tipikus mérete az idő négyzetgyökével nő. - Ha hosszú pozíciónál mindkét jegyzést lotonként $\theta$-val lejjebb visszük, a készlet várható változása $-2\lambda\sinh(k\theta\ell)$, ami nullához húzza vissza a készletet. - Az eltolás csökkenti a készlet és az eredmény varianciáját, de lemond némi spreadbevételről; az ábra mindkét hatást mutatja. - A spread átlépése vagy egy korrelált eszközzel való kereskedés biztos költséggel szünteti meg a készletet, ami nagy pozíciónál megéri. > A következő lecke, az „Optimális jegyzés: az Avellaneda–Stoikov-modell”, a market maker kockázatkerüléséből határozza meg az eltolást, ahelyett hogy szabad paraméternek tekintené. [Nyisd meg a Market Making labort](https://quantsandbox.dev/hu/market-making) ## Interaktív laborok - [Árjegyzés szimulátor: spread és készlet](https://quantsandbox.dev/hu/market-making) ## Gyakorló kérdések ### 1. Egy market maker 1000 részvényt tart rövid pozícióban. A középár szórása $\sigma = 0{,}01$ USD $\sqrt{\text{másodperc}}$-onként. Mekkora a pozíció eredményének szórása 100 másodperc alatt, USD-ben? **Válasz:** 100 $|q|\,\sigma\sqrt{\tau} = 1000 \times 0{,}01 \times \sqrt{100} = 100$ USD. A pozíció előjele nem számít, csak a mérete. ### 2. A market maker hosszú pozícióban van, és csak a jegyzéseivel akarja csökkenteni a készletét. Mit tegyen? - a) Mindkét jegyzést lejjebb viszi - b) Mindkét jegyzést feljebb viszi - c) Csak az eladási árat szélesíti - d) Csak a vételi jegyzést vonja vissza **Válasz:** a) Mindkét jegyzést lejjebb viszi A lejjebb vitt eladási árat gyakrabban találják el, így többet ad el; a lejjebb vitt vételi árat ritkábban, így kevesebbet vesz. Mindkettő felvitele több vételt hozna. Az eladási ár szélesítése nehezíti az eladást, a vételi jegyzés visszavonása pedig az eladási árat változatlanul hagyja, tehát nem tolja aktívan lefelé a pozíciót. ### 3. Egy market maker 2000 részvényt tart hosszan. A fél spread 0,01 USD, a díj részvényenként 0,002 USD. Mennyibe kerül a pozíció lezárása a vételi áron, USD-ben? **Válasz:** 24 $2000 \times (0{,}01 + 0{,}002) = 24$ USD. --- Forrás: https://quantsandbox.dev/hu/guide/microstructure/inventory-risk Előző lecke: [Árhatás és optimális végrehajtás](https://quantsandbox.dev/hu/guide/microstructure/price-impact) Következő lecke: [Optimális jegyzés: az Avellaneda–Stoikov-modell](https://quantsandbox.dev/hu/guide/microstructure/avellaneda-stoikov)