# A Glosten–Milgrom-modell

Bayes-i market maker informált és zajkereskedők között: jegyzések mint feltételes várható értékek, spread az informáltak arányából, tanulás kötésről kötésre.

A „Kedvezőtlen kiválasztás és informált kereskedés” lecke megmutatta, hogy a market maker (árjegyző), vagyis a folyamatosan vételi és eladási árat jegyző kereskedő pénzt veszít azokon, akik többet tudnak, mint amennyit a jegyzés tükröz, és hogy a spreadnek elég szélesnek kell lennie e veszteségek fedezéséhez. Ez a lecke a legegyszerűbb modellt építi fel, amelyben ez az állítás nem kijelentés, hanem levezetés: ez a Glosten–Milgrom-modell. A „Feltételes várható érték és martingálok” leckéből a feltételes várható értéket és a martingáltulajdonságot használja. A jegyzések feltételes várható értékek, a market maker hiedelme martingál, a spread, a tanulás és a tanulás sebessége pedig egyaránt a Bayes-tételből következik.

## A modell felépítése

Az eszköz értéke $V$, ami vagy $0$, vagy $1$, és csak a végén derül ki. Mindenki ugyanabból az előzetes hiedelemből indul: $\mu_0 = P(V = 1)$. A kereskedők egyesével érkeznek, és mindegyik egy egységet kötnek a market maker-rel, aki **bid** árat $b$ (amit a market maker fizet) és **ask** árat $a$ (amit a market maker kér) jegyez. Minden más eseménytől függetlenül egy kereskedő:

- $\pi$ valószínűséggel informált: ismeri $V$-t, és vesz, ha $V = 1$, illetve elad, ha $V = 0$;
- $1-\pi$ valószínűséggel zajkereskedő: $\tfrac12$–$\tfrac12$ valószínűséggel vesz vagy elad, bármennyi is $V$.

A market maker kockázatsemleges, és más market maker-ekkel versenyez, ezért a jegyzéseit úgy állítja be, hogy minden kötésen nulla legyen a várható nyeresége. Ismeri $\pi$-t és az aktuális $\mu$ hiedelmet, de az informált kereskedőt nem tudja megkülönböztetni a zajkereskedőtől: csak a kötés irányát látja.

## A jegyzések mint feltételes várható értékek

Nézzük az ask árat. Amikor egy kereskedő $a$ áron vesz, a market maker $a$-t kap, és egy $V$ értékű eszközzel tartozik, tehát a kötés nyeresége $a - V$. Ha azt követeljük, hogy a várható nyereség nulla legyen, feltéve hogy vétel történt (eladásra ugyanígy), akkor

$$
a = E[V \mid \text{vétel}], \qquad b = E[V \mid \text{eladás}].
$$

Mivel $V$ értéke $0$ vagy $1$, a feltételes várható értéke megegyezik annak feltételes valószínűségével, hogy $V = 1$, ezt pedig a Bayes-tétel adja. Először a vétel valószínűsége az egyes állapotokban. Ha $V = 1$, az informált kereskedő biztosan vesz, a zajkereskedő az esetek felében; ha $V = 0$, csak a zajkereskedők vesznek:

$$
P(\text{vétel} \mid V=1) = \pi + \frac{1-\pi}{2} = \frac{1+\pi}{2}, \qquad P(\text{vétel} \mid V=0) = \frac{1-\pi}{2}.
$$

Az eladás a tükörképe: $P(\text{eladás} \mid V=1) = (1-\pi)/2$ és $P(\text{eladás} \mid V=0) = (1+\pi)/2$. A $\mu$ előzetes hiedelemmel a Bayes-tétel ezt adja:

$$
a = \frac{\mu\,(1+\pi)}{\mu\,(1+\pi) + (1-\mu)\,(1-\pi)}, \qquad b = \frac{\mu\,(1-\pi)}{\mu\,(1-\pi) + (1-\mu)\,(1+\pi)}.
$$

Vétel valószínűbb, ha az eszköz értéke 1, ezért a vétel növeli a hiedelmet, és $a > \mu$; az eladás csökkenti, és $b < \mu$. Az ask az előzetes hiedelem fölött, a bid alatta van.

## A spread

$\mu = \tfrac12$ esetén $\mu$ és $1-\mu$ kiesik, és

$$
a = \frac{1+\pi}{2}, \qquad b = \frac{1-\pi}{2}, \qquad a - b = \pi.
$$

A spread megegyezik az informált kereskedők arányával. Ha senki sem informált, $\pi = 0$, a kötés semmit sem árul el $V$-ről, ezért mindkét jegyzés az előzetes hiedelemmel, vagyis az $E[V]$ valódi értékkel egyenlő, a spread pedig nulla. A $\pi$ növekedésével a spread nő, és $\pi = 1$ esetén minden kötés felfedi $V$-t, így a jegyzések 0 és 1: a teljes tartomány. A spread nem a fáradozás díja. Pontosan annyi, amennyi a market maker-t nullszaldósra hozza a nála többet tudó kereskedőkkel szemben.

## Tanulás a kötésekből

Vétel után a market maker hiedelme $P(V=1 \mid \text{vétel})$, ami a konstrukció szerint az ask. A vétel tehát $\mu$-t $a$-ra, az eladás $b$-re mozgatja, és a következő jegyzések az új hiedelemből számolódnak. A market maker-nek csak ezt az egy számot kell megjegyeznie.

Esélyekben a Bayes-tétel szorzás. A vétel az $\mu/(1-\mu)$ esélyt megszorozza a $P(\text{vétel}\mid V=1)/P(\text{vétel}\mid V=0) = (1+\pi)/(1-\pi)$ valószínűségi hányadossal, az eladás ugyanezzel osztja. $B$ vétel és $S$ eladás után, bármilyen sorrendben,

$$
\frac{\mu_t}{1-\mu_t} = \frac{\mu_0}{1-\mu_0}\left(\frac{1+\pi}{1-\pi}\right)^{B-S}.
$$

Csak a vételek és eladások különbsége számít. $\pi = 0{,}2$ esetén a szorzó $1{,}5$, és egy vételt követő eladás pontosan oda viszi vissza a hiedelmet, ahonnan indult.

A hiedelem a market maker szemszögéből martingál is. Legyen $q = P(\text{vétel}) = \mu\,\tfrac{1+\pi}{2} + (1-\mu)\,\tfrac{1-\pi}{2}$. Az $a$ nevezője $2q$, így $q\,a = \mu\,(1+\pi)/2$, és ugyanígy $(1-q)\,b = \mu\,(1-\pi)/2$. A kettőt összeadva

$$
q\,a + (1-q)\,b = \frac{\mu\,(1+\pi)}{2} + \frac{\mu\,(1-\pi)}{2} = \mu.
$$

A várható következő hiedelem megegyezik a jelenlegivel, tehát $\mu_t = E[V \mid \text{eddigi kötések}]$ martingál, ahogy a „Feltételes várható érték és martingálok” leckében. A jegyzések sosem sodródnak előre megjósolható irányba; csak akkor mozdulnak, ha egy kötés meglepi a market maker-t. A korlátos martingál konvergál, és mivel az informált kötések az igazság felé tolnak, a hiedelem $V$-hez tart: az ár a megbízásáramláson keresztül fedezi fel az értéket.

### Kidolgozott példa: Egy jegyzési kör π = 0,2 és 0,5-ös előzetes hiedelem mellett

1. Vétel, ha $V=1$: az informált kereskedők mindig vesznek, a zajkereskedők az esetek felében.
   $$P(\text{vétel}\mid V=1) = \pi + \tfrac{1-\pi}{2}$$ → **0.6**
2. Vétel, ha $V=0$: csak a zajkereskedők vesznek.
   $$P(\text{vétel}\mid V=0) = \tfrac{1-\pi}{2}$$ → **0.4**
3. Az ask a vétel utáni hiedelem.
   $$a = \dfrac{0{,}5\cdot 0{,}6}{0{,}5\cdot 0{,}6 + 0{,}5\cdot 0{,}4}$$ → **0.6**
4. A bid az eladás utáni hiedelem, így a spread $\pi$.
   $$b = \dfrac{0{,}5\cdot 0{,}4}{0{,}5\cdot 0{,}4 + 0{,}5\cdot 0{,}6}, \quad a - b$$ → **0.2**
5. Vétel érkezik, és a hiedelem a régi askra ugrik.
   $$\mu_1 = a$$ → **0.6**
6. Az új hiedelem mellett annak valószínűsége, hogy a következő kötés vétel.
   $$q = 0{,}6\cdot 0{,}6 + 0{,}4\cdot 0{,}4$$ → **0.52**
7. Az új ask magasabb: a vétel most nagyobb eséllyel jön informált kereskedőtől.
   $$a_1 = \dfrac{0{,}6\cdot 0{,}6}{0{,}52}$$ → **0.6923**
8. Az új bid ismét a régi előzetes hiedelem: az eladás visszavonja a vételt.
   $$b_1 = \dfrac{0{,}6\cdot 0{,}4}{0{,}6\cdot 0{,}4 + 0{,}4\cdot 0{,}6}$$ → **0.5**
9. Martingálellenőrzés: a várható következő hiedelem megegyezik a jelenlegivel.
   $$q\,a_1 + (1-q)\,b_1 = 0{,}52\cdot 0{,}6923 + 0{,}48\cdot 0{,}5$$ → **0.6**

## Egy negyvenkötéses példa

Az ábra a modellből húz 40 kötést. A piros vonal az ask, a zöld a bid, a szaggatott a $\mu$ hiedelem; a pontozott vízszintes vonal a valódi $V$ értéket jelöli. A diagram alatti csempék a kötések: B a vétel, S az eladás. Egy csempére kattintva megfordítod az adott kötést, és minden későbbi jegyzés megváltozik, a korábbiak viszont maradnak. Az alapbeállításnál ($\pi = 20\%$, $V = 1$) a hiedelem 40 kötés után 0,692, a spread 0,171. A hiedelem 30 kötés után érte el először a 90%-ot, aztán visszaesett, mert egy zajeladás-sorozat felülmúlta az informált vételeket. Állítsd most $\pi$-t 50%-ra: a spread 0,5-ről indul, és a hiedelem négy kötés után eléri a 90%-ot. Ha $\pi$ 0%, a három vonal 0,5-re omlik össze, mert nincs mit tanulni.

*[Interaktív ábra: gm learning](https://quantsandbox.dev/hu/guide/microstructure/glosten-milgrom)*

## A tanulás sebessége

Minden kötés $\pm\ln\frac{1+\pi}{1-\pi}$-vel mozdítja el a $V=1$ log-esélyét. Ha $V=1$, a mozgás $(1+\pi)/2$ valószínűséggel felfelé, $(1-\pi)/2$ valószínűséggel lefelé irányul, így a kötésenkénti várható nyereség

$$
\frac{1+\pi}{2}\ln\frac{1+\pi}{1-\pi} - \frac{1-\pi}{2}\ln\frac{1+\pi}{1-\pi} = \pi\,\ln\frac{1+\pi}{1-\pi}.
$$

Kis $\pi$-re $\ln\frac{1+\pi}{1-\pi} = 2\pi + \tfrac23\pi^3 + \cdots$, tehát a nyereség nagyjából $2\pi^2$. Egy kötés információtartalma az informált arány négyzetével nő: a $\pi$ megduplázása nagyjából négyszer gyorsabb tanulást ad. A 90% eléréséhez a log-esélynek 0-ról $\ln 9 \approx 2{,}197$-re kell mozdulnia, ami átlagosan nagyjából $2{,}197/(0{,}2\ln 1{,}5) \approx 27$ kötés $\pi = 0{,}2$ mellett, és körülbelül 6,5 kötés $\pi = 0{,}4$ mellett. Egyetlen sorozat, mint az ábrán látható, ezen átlagok körül szóródik.

## Amit a modell kihagy

Minden kötés egy egység, így a méret nem hordoz információt, és a market maker készlete sem játszik szerepet. Az informált kereskedő mechanikus: mindig $V$ felé kereskedik, és nem törődik azzal, mit tesz a kötése az árral. Egy stratégiai bennfentes az időben szétosztaná a megbízásait, és éppen ezt vizsgálja a Kyle-féle informált kereskedési modell. A market maker-nek ezenkívül ismernie kell $\pi$-t, amit a gyakorlatban becsülni kell. Két eredmény marad meg a gazdagabb modellekben is: a spread a kedvezőtlen kiválasztást kompenzálja, és az árak a megbízásáramláson keresztül tanulnak.

## Összefoglalás

- A versenyző, kockázatsemleges market maker az askot $E[V \mid \text{vétel}]$-re, a bidet $E[V \mid \text{eladás}]$-re állítja; a Bayes-tétel mindkettőt zárt alakban adja.
- $\tfrac12$ előzetes hiedelemnél a spread megegyezik az informált kereskedők $\pi$ arányával; ha senki sem informált, nulla.
- Egy kötés után a hiedelem arra a jegyzésre ugrik, amelyet eltaláltak. Martingál, csak a vételek és eladások különbségétől függ, és a valódi értékhez tart.
- A kötésenkénti várható log-esélynyereség $\pi\ln\frac{1+\pi}{1-\pi} \approx 2\pi^2$, ezért a $\pi$ megduplázása nagyjából négyszer gyorsabb tanulást ad.
- A modell elhanyagolja a méretet, a készletet és a stratégiai informált kereskedőt.

[Nyisd meg a Glosten–Milgrom labort](https://quantsandbox.dev/hu/glosten-milgrom)

## Interaktív laborok

- [Glosten–Milgrom-modell: spread és információ](https://quantsandbox.dev/hu/glosten-milgrom)

## Gyakorló kérdések

### 1. Az informált kereskedők aránya $\pi = 0{,}5$, a hiedelem $\mu = 0{,}5$. Mennyi az ask?

**Válasz:** 0.75

$a = \dfrac{0{,}5 \cdot 1{,}5}{0{,}5 \cdot 1{,}5 + 0{,}5 \cdot 0{,}5} = \dfrac{0{,}75}{1} = 0{,}75$. A $V=1$ állapotban a vétel az esetek háromnegyedében történik, a $V=0$ állapotban csak egynegyedében.

### 2. Legyen $\pi = 0$, vagyis senki sem informált. Mi történik a spreaddel?

- a) Nulla lesz
- b) Nem változik
- c) Megduplázódik
- d) Az előzetes hiedelemtől függ

**Válasz:** a) Nulla lesz

$\pi = 0$ esetén a vétel ugyanolyan valószínű $V=0$ mellett, mint $V=1$ mellett, így a Bayes-tétel nem módosítja a hiedelmet: minden előzetes hiedelemre $a = b = \mu$. A spread nulla, bármi is az előzetes hiedelem.

### 3. Az informált arány $\pi = 0{,}1$-ről $\pi = 0{,}3$-ra nő. Nagyjából hányszor gyorsabban tanul a hiedelem, ha a kötésenkénti nyereség $2\pi^2$?

**Válasz:** 9

A kötésenkénti nyereség $\pi^2$-tel arányos, és a $\pi$ háromszorozása $3^2 = 9$-szeresére növeli. A pontos $\pi\ln\frac{1+\pi}{1-\pi}$ értékekkel $0{,}1857/0{,}0201 \approx 9{,}25$.

---

Forrás: https://quantsandbox.dev/hu/guide/microstructure/glosten-milgrom

Előző lecke: [Kedvezőtlen kiválasztás és informált kereskedés](https://quantsandbox.dev/hu/guide/microstructure/adverse-selection)

Következő lecke: [A bid–ask spread mérése és felbontása](https://quantsandbox.dev/hu/guide/microstructure/spread-measurement)