# Optimális jegyzés: az Avellaneda–Stoikov-modell Exponenciális hasznosság, a mid ártól távolodva ritkuló teljesülések, rezervációs ár, optimális spread, és a kockázatkerülés és a hátralévő idő hatása. A „Készletkockázat és a jegyzések eltolása” lecke amellett érvelt, hogy a túl sok eszközt tartó market maker (árjegyző) mindkét jegyzését lejjebb teszi, és a spreadnek tükröznie kell a vállalt kockázatot. Ez a lecke egyetlen szabállyá fogja össze az érvelést. Avellaneda és Stoikov a „Kockázatkerülés és az optimális teljes portfólió” leckéből ismert hasznossági függvényből indul ki, és maximalizáltatja a market makerrel. Eredményül egy rezervációs árat kapunk, ez adja az eltolást, és egy spreadet, ez adja a szélességet. Az elsőt a nulláról levezetjük, a másodikat kimondjuk, és vázoljuk, honnan jön. ## Felépítés A mid ár a „Véletlen bolyongás és Brown-mozgás” leckében megismert Brown-mozgást követi drift nélkül: $dS_t = \sigma\,dW_t$. A market makernek $x$ készpénze és $q$ db eszköze van (negatív, ha short), és a $T$ horizontig kereskedik. A végén $x + qS_T$ az értéke, és ezt exponenciális hasznossággal értékeli: $$ U = -e^{-\gamma\,(x + q S_T)},\qquad \gamma > 0. $$ A $\gamma$ a market maker kockázatkerülése. A jegyzéseit a mid-től mért távolságként választja meg: a vételi jegyzés $S - \delta^b$, az eladási $S + \delta^a$. A $\delta$ távolságra lévő jegyzés teljesülési üteme időegységenként $\lambda(\delta) = A\,e^{-k\delta}$, ahogy a „Market makerek és a likviditás” leckében: minél közelebb van a jegyzés, annál gyakrabban köt. Nagyobb $k$ azt jelenti, hogy a teljesülések gyorsabban ritkulnak a távolsággal. ## A rezervációs ár Tegyük fel, hogy a market maker $T$-ig egyáltalán nem kereskedik. Ha $\tau = T - t$ a hátralévő idő, akkor $S_T = S + \sigma\sqrt{\tau}\,Z$ standard normális $Z$-vel, és mivel $E[e^{cZ}] = e^{c^2/2}$, $$ E\bigl[-e^{-\gamma(x + qS_T)}\bigr] = -e^{-\gamma(x + qS)}\;e^{\gamma^2 q^2\sigma^2\tau/2}. $$ Az utolsó tényező a pozíció szórásáért fizetett büntetés. Kérdezzük meg, mekkora $r^b$ ár mellett közömbös a market maker eggyel több eszköz megvételére. A vétel után a készpénz $x - r^b$, a készlet $q+1$, tehát az egyenlő hasznossághoz egyenlő kitevők kellenek: $$ -\gamma\,(x - r^b + (q+1)S) + \tfrac12\gamma^2 (q+1)^2\sigma^2\tau = -\gamma\,(x + qS) + \tfrac12\gamma^2 q^2\sigma^2\tau. $$ Mivel $(q+1)^2 - q^2 = 2q + 1$, ebből adódik az alábbi **közömbösségi vételi ár**. Ugyanígy egy eszköz eladására, $x + r^a$ készpénzzel és $q - 1$ készlettel, a **közömbösségi eladási ár** jön ki: $$ r^b = S - \frac{(1 + 2q)\,\gamma\sigma^2\tau}{2},\qquad r^a = S + \frac{(1 - 2q)\,\gamma\sigma^2\tau}{2}. $$ Az átlaguk a **rezervációs ár**: $$ r = S - q\,\gamma\,\sigma^2\,(T - t). $$ Készlet nélkül a rezervációs ár a mid. A long market maker ($q > 0$) a mid alatt értékeli az eszközt, mert minden további darab szórást ad egy amúgy is túl nagy pozícióhoz; a short market maker fölötte. Az eltolás arányos a készlettel, a kockázatkerüléssel, a varianciával és a hátralévő idővel. ## Az optimális spread A rezervációs ár megmondja, hol legyen a jegyzések középpontja. A spread külön döntés, mert most minden oldalon két dolgot kell mérlegelni: a mid-től távoli jegyzés teljesülésenként többet hoz, de ritkábban teljesül. A value function felírása és a dinamikus programozás a feladat Hamilton–Jacobi–Bellman-egyenletét adja. Ezt itt nem vezetjük le. Avellaneda és Stoikov megmutatják, hogy elsőrendben az optimális távolságok az eladási oldalon $\delta^a = r^a - S + \tfrac1\gamma\ln(1 + \gamma/k)$, a vételin ennek tükörképe, a teljes spread pedig $$ \delta^a + \delta^b = \gamma\,\sigma^2\,(T - t) + \frac{2}{\gamma}\ln\!\Bigl(1 + \frac{\gamma}{k}\Bigr). $$ Ez a cikk közelítése, nem pontos megoldás, de abban a tartományban pontos, ahol a modellt használják. Mindkét tagnak megvan a jelentése. - Az első tag, $\gamma\sigma^2(T-t)$, a készletkockázat ára: nő a kockázatkerüléssel, a varianciával és a pozíció tartásának hátralévő idejével, a horizonton pedig eltűnik. - A második tag, $\tfrac{2}{\gamma}\ln(1 + \gamma/k)$, a teljesülési ütemből jön. Ha $\gamma \to 0$, $2/k$-hoz tart, ami a kockázatsemleges market maker spreadje, aki egyszerűen a $2\delta A e^{-k\delta}$ bevételt maximalizálja: a „Kedvezőtlen kiválasztás és informált kereskedés” leckében szereplő $1/k$ féltávolság, amikor minden ügyfél zajkereskedő. ## A jegyzések A market maker a spreadet a rezervációs ár köré teszi, nem a mid köré: $$ b = r - \tfrac12(\delta^a + \delta^b),\qquad a = r + \tfrac12(\delta^a + \delta^b). $$ A long market maker mindkét jegyzése így lejjebb van, mint egy nulla készletűé: az eladási jegyzés olcsó, tehát valószínűleg teljesül, a vételi alacsony, tehát valószínűleg nem, ez az előző lecke eltolása, most már mértékkel. A horizont közeledtével, $T - t \to 0$, a rezervációs ár készletfüggő tagja és a spread első tagja is zsugorodik: a rezervációs ár visszatér a mid-hez, a spread pedig a teljesülési tagjához. ### Kidolgozott példa: Jegyzések a nap közepén 1. Legyen $\gamma = 0{,}1$, $\sigma = 2$, $k = 1{,}5$, a mid $S = 100$, $T - t = 0{,}5$ és a készlet $q = 6$ db. A készlet okozta eltolás: $$q\gamma\sigma^2(T-t) = 6 \cdot 0{,}1 \cdot 4 \cdot 0{,}5$$ → **1.2** 2. A rezervációs ár a mid mínusz az eltolás: $$r = 100 - 1{,}2$$ → **98.8** 3. A spread készletkockázati tagja: $$\gamma\sigma^2(T-t) = 0{,}1 \cdot 4 \cdot 0{,}5$$ → **0.2** 4. A spread teljesülési tagja: $$\tfrac{2}{0{,}1}\ln(1 + 0{,}1/1{,}5) = 20 \cdot 0{,}064539$$ → **1.2908** 5. A teljes spread az összegük: $$0{,}2 + 1{,}2908$$ → **1.4908** 6. A vételi jegyzés fél spreaddel van a rezervációs ár alatt: $$b = 98{,}8 - 0{,}7454$$ → **98.0546** 7. Az eladási jegyzés fél spreaddel fölötte van, jóval lejjebb a 100,75-nél, amit egy nulla készletű market maker jegyezne: $$a = 98{,}8 + 0{,}7454$$ → **99.5454** 8. A zárásnál, $T - t = 0$, a spread csak a teljesülési tag. $\gamma = 0{,}5$ mellett: $$\tfrac{2}{0{,}5}\ln(1 + 0{,}5/1{,}5)$$ → **1.1507** ## A kockázatkerülés hatása Kézenfekvő azt gondolni, hogy a kockázatkerülőbb market maker mindig szélesebben jegyez. A két tag mást mutat. A nap elején az első tag dominál, és nő $\gamma$-val. A zárás közelében eltűnik, és a második tag, $\tfrac{2}{\gamma}\ln(1+\gamma/k)$, $\gamma$-ban csökkenő. A fenti zárásnál $\gamma = 0{,}1$ spreadje 1,2908, $\gamma = 0{,}5$-é 1,1507: a kockázatkerülőbb szűkebb. Aki fél a készlettől, kereskedni akar, és a vége felé már nincs ideje, hogy kárt szenvedjen, ezért a mid közelében jegyez, hogy teljesüljön. Az ábra egy ároszlopon mutatja a jegyzéseket, és a teljes spreadet a hátralévő idő függvényében három $\gamma$-értékre. Állítsd a készletet 0-ra, és mozgasd a napi órát: a rezervációs ár a mid-en van, a jegyzések szimmetrikusak. Húzd a készletet $-10$-re, és a jegyzések följebb tolódnak. Az alapértékeknél (készlet 6, a nap fele, $\gamma = 0{,}1$) a rezervációs ár 98,80, a spread 1,49, a vételi jegyzés 98,05, az eladási 99,55. A nap elején a spread $\gamma = 0{,}05$-nél 1,51, $\gamma = 0{,}2$-nél 2,05, $\gamma = 0{,}8$-nál 4,27. A zárásnál a sorrend megfordul: 1,31, 1,25 és 1,07. *[Interaktív ábra: as quotes](https://quantsandbox.dev/hu/guide/microstructure/avellaneda-stoikov)* ## Szimmetrikus és készletvezérelt stratégia Avellaneda és Stoikov összeveti a fenti készletvezérelt stratégiát egy szimmetrikussal, amely ugyanazt a spreadet mindig a mid köré teszi, a készletet figyelmen kívül hagyva. Szimulációikban a szimmetrikus market maker átlagosan valamivel többet keres, mert egyetlen teljesülésről sem mond le a pozíció kezelése miatt. De a készlete szabadon bolyong, így a végső nyeresége napról napra sokkal jobban ingadozik. A készletvezérelt stratégia egy kis nyereségről lemond a variancia nagy csökkenéséért, és ezt akarja egy ilyen hasznosságú, kockázatkerülő market maker. > A modell állandó $\sigma$-t, sima exponenciális teljesülési ütemet és informált ügyfelek hiányát tételezi fel. Az utolsó valódi egyszerűsítés: velük a teljesülési tagnak szélesebbnek kellene lennie, ahogy a „Kedvezőtlen kiválasztás és informált kereskedés” leckében. ## Összefoglalás - A market maker hasznossága exponenciális, a mid $\sigma$ volatilitású Brown-mozgás, a teljesülések üteme a mid-től mért $\delta$ távolságon $A e^{-k\delta}$. - A $r = S - q\gamma\sigma^2(T-t)$ rezervációs ár azon árak átlaga, amelyeken a market maker közömbös eggyel több eszköz vételére vagy eladására. - A teljes spread elsőrendben $\gamma\sigma^2(T-t) + \tfrac{2}{\gamma}\ln(1+\gamma/k)$: készletkockázati és teljesülési tag összege. - A jegyzések $r$ körül fél-fél spreadre vannak: a long market maker mindkettőt a mid alá viszi, és mindkét hatás a zárás felé elhalványul. - A nagyobb kockázatkerülés a nap elején szélesíti, a zárásnál szűkíti a spreadet, és a készletvezérelt stratégia az átlagos nyereség egy részét adja a jóval kisebb varianciáért. [Nyisd meg az Avellaneda–Stoikov labort](https://quantsandbox.dev/hu/avellaneda-stoikov) ## Interaktív laborok - [Avellaneda–Stoikov: optimális árjegyzés](https://quantsandbox.dev/hu/avellaneda-stoikov) ## Gyakorló kérdések ### 1. Egy market maker 4 db eszközben short ($q = -4$). A mid 50, $\gamma = 0{,}2$, $\sigma = 1$ és $T - t = 0{,}25$. Mekkora a rezervációs ára? **Válasz:** 50.2 $r = 50 - (-4)(0{,}2)(1)(0{,}25) = 50 + 0{,}2 = 50{,}2$. A short market maker vissza akar vásárolni, ezért a mid fölött értékeli az eszközt. ### 2. A zárásnál ($T - t \to 0$) hogyan viszonyul a kockázatkerülőbb market maker spreadje a kevésbé kockázatkerülőéhez? - a) Szűkebb a spread - b) Szélesebb a spread - c) Ugyanakkora a spread - d) Egyáltalán nem jegyez **Válasz:** a) Szűkebb a spread A zárásnál csak a $\tfrac{2}{\gamma}\ln(1+\gamma/k)$ tag marad, és ez $\gamma$ növekedésével csökken. A nap elején a készletkockázati tag miatt fordított a helyzet. --- Forrás: https://quantsandbox.dev/hu/guide/microstructure/avellaneda-stoikov Előző lecke: [Készletkockázat és a jegyzések eltolása](https://quantsandbox.dev/hu/guide/microstructure/inventory-risk) Következő lecke: [A market making eredményének felbontása](https://quantsandbox.dev/hu/guide/microstructure/market-making-pnl)