# Kedvezőtlen kiválasztás és informált kereskedés

Miért kerül pénzbe az üzlet azzal, aki többet tud, a markout mint ennek mértéke, a toxikus megbízásáramlás, és hogyan tágítják a spreadet az informáltak.

A market maker (árjegyző) a spreadet olyan ügyfelektől keresi meg, akikről semmit sem tud. A „Market makerek és a likviditás” lecke megmutatta, mekkora egy oda-vissza kötés bevétele, ha a mid ár nem mozdul, „A sorban elfoglalt hely és a teljesülés valószínűsége” pedig azt, hogy egy várakozó megbízás gyakran épp az ár ellene irányuló mozgása előtt teljesül. Ez a lecke megmagyarázza, miért: néhány ügyfél azért kereskedik, mert tudja, merre megy az ár. A kárt markouttal méri, levezeti, mibe kerül egy ilyen ügyfél, és megmutatja, hogyan tolja ez a költség kifelé a legjobb spreadet.

## Informált és nem informált ügyfelek

A **zajkereskedő** olyan okból kereskedik, ami nem függ a következő ármozgástól: befekteti a fizetését, készpénzt teremt, egy alap portfólióját igazítja vagy egy másik pozíciót fedez. Rövid távon az ilyen kötés után a mid ár ugyanolyan eséllyel emelkedik, mint amilyennel esik. Az **informált kereskedő** azért kereskedik, mert ármozgást vár: az emelkedés előtt vesz, az esés előtt elad.

A market maker jegyzései annak a könyvnek a legjobb bidje és askja, amelyet „A limitáras ajánlati könyv” ír le, és bárki rájuk üthet. A maker a kötés pillanatában nem tudja megkülönböztetni a két ügyféltípust. Az informált vevőnek az askon ad el, az ár ezután emelkedik, és a maker rövid pozícióban marad valamiben, ami többet ér annál, amennyit kapott érte. Ez a **kedvezőtlen kiválasztás**: a maker kötései nem véletlen minták, mert azok akarnak a leginkább vele kötni, akik nyereséget várnak.

## Markout

A **markout** utólag méri ezt. Vegyünk egy teljesülést a $t$ időpontban és egy $h$ horizontot. Legyen $\varepsilon = +1$, ha a maker vett, és $\varepsilon = -1$, ha eladott, $m$ pedig a mid ár. A markout a teljesülés utáni mid ármozgás a maker oldaláról előjelezve:

$$
M_h = \varepsilon\,(m_{t+h} - m_t).
$$

A pozitív markout azt jelenti, hogy az ár a maker javára mozdult. A $t+h$ időpont mid árához értékelve egy darab, az $m_t - \delta$ biden vett egység a makernek $\delta + M_h$-t ér: a megszerzett fél spreadet plusz a markoutot. Zajteljesülések után az átlagos markout nulla, így a maker megtartja a $\delta$ fél spreadet. Informált teljesülések után az átlagos markout negatív, és elviszi a $\delta$ egy részét vagy egészét.

## A market maker bevételének modellje

A maker szimmetrikusan jegyez, a bid $m - \delta$, az ask $m + \delta$, ahol a $\delta$ fél spread centben van. Az ügyfelek másodpercenként $\lambda$ ütemben érkeznek, és közülük $\pi$ arányban informáltak.

- A zajügyfél egyenlő eséllyel vesz vagy ad el, és a midtől $\delta$ távolságra lévő árat $e^{-k\delta}$ valószínűséggel fogadja el: minél szélesebb a jegyzés, annál kevesebben élnek vele. A maker kötésenként $\delta$-t keres, így egy zajérkezés átlagosan $\delta\,e^{-k\delta}$-t ér.
- Az informált ügyfél ismeri az érték következő $h$ másodperc alatti $\Delta V$ változását. Ha a volatilitás $\sigma$ cent $\sqrt{\text{s}}$-onként, a $\Delta V$ normális eloszlású 0 várható értékkel és $s = \sigma\sqrt{h}$ szórással. Az askon vesz, ha $\Delta V > \delta$, és a biden ad el, ha $\Delta V < -\delta$; különben a spread elvinné a nyereségét, ezért kimarad.

## Egy informált ügyfélen várható veszteség

Tegyük fel, hogy az informált ügyfél az $m + \delta$ áron vesz, mert $\Delta V > \delta$. $h$ másodperc múlva az eladó maker vesztesége az, amennyivel az érték meghaladja a kapott árat, a spreadet levonva:

$$
\text{veszteség} = \Delta V - \delta \quad\text{ha } \Delta V > \delta, \text{ egyébként } 0.
$$

Várható értéke az $E[(\Delta V - \delta)^+]$ részleges várható érték. Írjuk $\Delta V = sZ$ alakban, ahol $Z$ standard normális, sűrűségfüggvénye $\varphi$, eloszlásfüggvénye $\Phi$, és legyen $a = \delta/s$:

$$
E[(\Delta V - \delta)^+] = s\int_a^\infty (z - a)\,\varphi(z)\,dz = s\left[\int_a^\infty z\,\varphi(z)\,dz - a\,(1 - \Phi(a))\right].
$$

Mivel $\varphi'(z) = -z\,\varphi(z)$, az első integrál értéke $\varphi(a)$. Ezért

$$
L(\delta) = E[(\Delta V - \delta)^+] = s\,\varphi(\delta/s) - \delta\,\bigl(1 - \Phi(\delta/s)\bigr).
$$

Szimmetria miatt az eladási oldal ugyanennyibe kerül, így egy informált érkezés a makernek várhatóan $2L(\delta)$-ba kerül. Nulla spreadnél $L(0) = s\,\varphi(0) = s/\sqrt{2\pi} \approx 0{,}399\,s$, és $L$ nullához tart, ha a $\delta$ az $s$ néhány többszöröse fölé nő.

## A bevételi ráta és a legjobb spread

A zajérkezések üteme $\lambda(1-\pi)$, az informált érkezéseké $\lambda\pi$, így a maker várható bevétele másodpercenként

$$
R(\delta) = \lambda\Bigl[(1-\pi)\,\delta\,e^{-k\delta} - 2\pi\,L(\delta)\Bigr].
$$

Informált ügyfelek nélkül $\pi = 0$ és $R(\delta) = \lambda\,\delta\,e^{-k\delta}$. A deriváltja $\lambda\,e^{-k\delta}(1 - k\delta)$, ami $\delta = 1/k$-nál nulla: ez a legjobb fél spread, ha mindenki zajkereskedő.

$\pi > 0$ esetén szükségünk van $L'(\delta)$-ra. Az $L$-t $a = \delta/s$ mellett deriválva $-a\varphi(a) - (1 - \Phi(a)) + a\varphi(a)$ adódik, tehát $L'(\delta) = -(1 - \Phi(\delta/s))$: ha a spreadet egy kicsit szélesítjük, a maker pont annak a valószínűségével spórol, hogy egy informált ügyfél még így is kötne az egyik oldalon. Az $R'(\delta) = 0$ feltételből az elsőrendű feltétel:

$$
(1-\pi)\,e^{-k\delta}\,(k\delta - 1) = 2\pi\,\bigl(1 - \Phi(\delta/s)\bigr).
$$

A jobb oldal pozitív, tehát a bal oldalnak is az kell legyen, ami $k\delta > 1$-et igényel: **a legjobb fél spread $1/k$ fölött van, és kifelé mozdul, ha a $\pi$ vagy az $s$ nő.** Van egy második hatás is. $\delta = 0$-nál a bevétel $-2\pi\lambda L(0) < 0$, vagyis spread nélkül a maker veszít. Az a legkisebb $\delta_0$ fél spread, amelyre $R(\delta_0) = 0$, a **nullszaldós spread**: a zajbevétel épp fedezi az informáltakon vesztett összeget. Alatta az átlagos érkezés pénzbe kerül a makernek, bármekkora is a forgalom.

### Kidolgozott példa: Bevétel 2¢ és 2,3¢ fél spreadnél

1. Legyen $\lambda = 4$ érkezés másodpercenként, $k = 0{,}5$ centenként, $\sigma = 1$¢ $\sqrt{\text{s}}$-onként, $h = 3$ s és $\pi = 0{,}2$. Az informált ügyfelek kilátásának szórása:
   $$s = \sigma\sqrt{h} = \sqrt{3}$$ → **1.7321**
2. Egy zajérkezés $\delta = 2$¢-nél átlagosan ennyit hoz:
   $$\delta\,e^{-k\delta} = 2\,e^{-1}$$ → **0.7358**
3. Egy informált érkezés az egyik oldal részleges várható értékébe kerül. $z = 2/\sqrt{3} = 1{,}1547$ mellett $\varphi(z) = 0{,}2048$ és $1 - \Phi(z) = 0{,}1241$:
   $$L(2) = 1.7321 \cdot 0.2048 - 2 \cdot 0.1241$$ → **0.1066**
4. Az egy érkezésre jutó nettó bevétel az első érték zajarányos része mínusz a második két oldala:
   $$0.8 \cdot 0.7358 - 2 \cdot 0.2 \cdot 0.1066$$ → **0.546**
5. Másodpercenként négy érkezéssel a bevételi ráta cent per másodpercben (131,04¢ percenként):
   $$R(2) = 4 \cdot 0.546$$ → **2.1839**
6. $\delta = 2{,}3$¢-re kifelé lépve $2{,}3\,e^{-1{,}15} = 0{,}7283$ és $L(2{,}3) = 0{,}0743$, így a bevételi ráta nő:
   $$R(2.3) = 4\,(0.8 \cdot 0.7283 - 0.4 \cdot 0.0743)$$ → **2.2116**
7. Informált ügyfelek nélkül ugyanez a $\delta = 2$¢ $4 \cdot 2e^{-1} = 2{,}9430$-t keresne, így az informált arány költsége:
   $$2.9430 - 2.1839$$ → **0.7591**

Informált ügyfelek nélkül a legjobb fél spread $1/k = 2$¢. 20% informált mellett kb. 2,29¢, tehát az informáltak a maker bevételének mintegy negyedébe kerülnek 2¢-nél, és a legjobb jegyzést is kifelé tolják.

Az ábra az $R(\delta)$ görbét rajzolja cent per percben. A szaggatott görbe ugyanez az áramlás informált ügyfelek nélkül; a folytonos az aktuális informált aránnyal készült. A függőleges vonalak a nullszaldós és a legjobb fél spreadet jelölik. Az alapértékeknél (20% informált, volatilitás 1) a szaggatott görbe 2¢-nél éri el a csúcsát, a folytonos 2,29¢-nél, 132,7¢ per perccel, a nullszaldós érték pedig 0,32¢. A fogantyú 2¢-es kezdőhelyén a maker 141,3¢-et keres a zajügyfeleken és 10,2¢-et veszít az informáltakon, nettó 131,0¢. Húzd végig a fogantyút a grafikonon, majd emeld az informált arányt 40%-ra: a legjobb fél spread 2,64¢-re, a nullszaldós 0,74¢-re mozdul. Állítsd a volatilitást 2-re 20% mellett: a legjobb fél spread 2,85¢, a nettó bevétel 2¢-nél 83,1¢-re csökken.

*[Interaktív ábra: toxic income](https://quantsandbox.dev/hu/guide/microstructure/adverse-selection)*

## Toxikus megbízásáramlás a gyakorlatban

A valódi makerek nem látják a $\pi$-t és az $s$-t, de ki tudják számolni a markout-görbéket: az $M_h$ átlagát a másodperc törtrészétől több percig terjedő horizontokra, ügyfél, piac, megbízásméret vagy stratégia szerint bontva. Azt az áramlást nevezik **toxikusnak**, amelynek markout-görbéje esik és negatív marad; az a jóindulatú, amelynek görbéje nulla közelében marad. A maker az utóbbinak szűkebben és nagyobb mennyiségben jegyez, az előbbinek szélesebben, vagy egyáltalán nem.

Ezért szegmentálják az áramlást. A brókerek és a piacok elválasztják a kisbefektetői megbízásokat, amelyek ritkán hordoznak információt a következő másodpercekről, a gyors, professzionális megbízásoktól, és a maker az előbbiekre megengedhet magának szűk spreadet. A nagykereskedő makerek azért fizetnek a brókereknek a kisbefektetői megbízásáramlásért, mert annak markoutja nulla közeli. Az informált ügyfelek nem tűnnek el; az összes többi ügyfél által látott spreadbe vannak beárazva.

> A markout a $h$ horizonttól függ. Ha túl rövid, az információ még nem ért be az árba; ha túl hosszú, a független zaj elnyomja az átlagot. A desk a teljes görbét nézi, nem egyetlen számot.

## Összefoglalás

- A market maker a kötés pillanatában nem tudja megkülönböztetni az informált és a zajügyfeleket, ezért a teljesülései kedvezőtlenül kiválasztottak.
- Az $M_h = \varepsilon\,(m_{t+h} - m_t)$ markout a zajteljesüléseknél átlagosan nulla, az informált teljesüléseknél negatív.
- Egy informált érkezés $2L(\delta)$-ba kerül, ahol $L(\delta) = s\,\varphi(\delta/s) - \delta\,(1 - \Phi(\delta/s))$ és $s = \sigma\sqrt{h}$.
- A bevétel $R(\delta) = \lambda[(1-\pi)\,\delta e^{-k\delta} - 2\pi L(\delta)]$; a legjobb fél spread az informált arány növekedésével $1/k$ fölé mozdul, és a nullszaldós spread alatt a maker átlagosan veszít.

[Nyisd meg a market making labort](https://quantsandbox.dev/hu/market-making)

## Interaktív laborok

- [Árjegyzés szimulátor: spread és készlet](https://quantsandbox.dev/hu/market-making)

## Gyakorló kérdések

### 1. A maker vételeinek átlagos 10 másodperces markoutja −0,8¢. Mit jelent ez?

- a) A maker vétele után a mid ár hajlamos esni, vagyis az eladók tudtak valamit
- b) A maker részvényenként 0,8¢-et keres
- c) A spread 0,8¢
- d) A teljesülések túl lassúak voltak

**Válasz:** a) A maker vétele után a mid ár hajlamos esni, vagyis az eladók tudtak valamit

A vételek negatív markoutja azt jelenti, hogy 10 másodperccel később a mid ár alacsonyabb: a maker épp esés előtt vett. Az eladók, akik ezt rendszeresen megteszik, informáltak. A spreadről vagy a teljesülések sebességéről közvetlenül semmit sem mond.

### 2. Nulla spreadnél az informált ügyfél az érték normális eloszlású változását várja $s = 2{,}5$¢ szórással. Mekkora a maker várható vesztesége a vételi oldalán, centben?

**Válasz:** 0.9974

$\delta = 0$ esetén a veszteség $L(0) = s\,\varphi(0) = 2{,}5/\sqrt{2\pi} \approx 0{,}997$¢: az informált ügyfél elviszi a mozgás felfelé irányuló felét.

### 3. Minden ügyfél zajkereskedő, a teljesülés valószínűsége $e^{-k\delta}$, ahol $k = 0{,}4$ centenként. Melyik fél spread (centben) maximalizálja a maker bevételét?

**Válasz:** 2.5

$\pi = 0$ esetén a bevétel $\lambda\,\delta\,e^{-k\delta}$, amely $\delta = 1/k = 1/0{,}4 = 2{,}5$¢-nél maximális.

---

Forrás: https://quantsandbox.dev/hu/guide/microstructure/adverse-selection

Előző lecke: [A sorban elfoglalt hely és a teljesülés valószínűsége](https://quantsandbox.dev/hu/guide/microstructure/queue-position)

Következő lecke: [A Glosten–Milgrom-modell](https://quantsandbox.dev/hu/guide/microstructure/glosten-milgrom)