# Immunizáció és durációillesztés Kötelezettség védelme kamatmozgások ellen jelenérték és duráció illesztésével, és miért számít a konvexitás és az újrasúlyozás. A „Duráció és konvexitás” című lecke azt mérte, mennyit mozdul egyetlen kötvény ára, ha megváltozik a hozama. Ez a lecke ebből a mérésből fedezést készít. Aki egy rögzített napon rögzített összeggel tartozik, olyan kötvényeket választhat, amelyek értéke együtt mozog a tartozás értékével, így a kamatlábak változása egyik oldalt sem sújtja jobban a másiknál. A jelölés ugyanaz, mint a „Kötvényárak és hozamok” című leckében: $F = 100$ névérték, éves szelvények, éves kamatozású hozamok, $D$ Macaulay-duráció és $C$ konvexitás. A hozamgörbe végig lapos, és párhuzamosan mozdul el. ## Egy rögzített kötelezettség Egy nyugdíjpénztárnak pontosan 7 év múlva $L = 1\,000\,000$ összeget kell kifizetnie. Lapos, $y = 5\%$-os hozam mellett ennek a **kötelezettségnek** a jelenértéke $$ PV_L = \frac{L}{(1+y)^{7}} = \frac{1\,000\,000}{1{,}05^{7}} \approx 710\,681. $$ A kötelezettség egyetlen, szelvény nélküli kifizetés, így a durációja a lejárata, $D_L = 7$, a konvexitása pedig $C_L = 7 \cdot 8/1{,}05^2 \approx 50{,}79$. A pénztár ma pontosan $PV_L$ értékű kötvényt tart. A kötvények értéke és $PV_L$ különbsége a **többlet**; a cél az, hogy ez kamatmozgáskor se legyen negatív. ## Árfolyamkockázat és újrabefektetési kockázat A hozamok emelkedése két dolgot tesz egy $H$ évig tartott kötvényportfólióval. A kötvények piaci értéke azonnal csökken (**árfolyamkockázat**), viszont minden $H$ előtt kapott szelvényt a magasabb kamaton lehet újra befektetni (az **újrabefektetési kockázat** itt a tulajdonos javára dolgozik). A hozamok csökkenése fordított hatású. A ma $P(y)$ értékű portfólió értéke a $H$ időpontban $V_H = P(y)\,(1+y)^{H}$, és ennek hozamérzékenysége $$ \frac{d \ln V_H}{dy} = \frac{P'(y)}{P(y)} + \frac{H}{1+y} = \frac{H - D}{1+y}, $$ ahol felhasználtuk az előző lecke $P'/P = -D/(1+y)$ összefüggését. Ha a tartási idő megegyezik a durációval, $H = D$, a két hatás elsőrendben kioltja egymást: egy kis párhuzamos eltolódás nem változtat a horizontbeli értéken. ## A jelenérték és a duráció illesztése Ebből adódik az **immunizáció** receptje. Olyan eszközöket kell választani, amelyekre $$ PV_A = PV_L \qquad \text{és} \qquad D_A = D_L, $$ ahol $D_A$ a kötvények durációinak értékkel súlyozott átlaga. Két kötvénnyel, egy $D_S$ durációjú rövid és egy $D_{Lg}$ durációjú hosszú kötvénnyel, a pénz $w$ hányadát a rövid, $1 - w$ hányadát a hosszú kötvénybe tesszük. A $w\,D_S + (1-w)\,D_{Lg} = D_L$ feltételből $$ w = \frac{D_{Lg} - D_L}{D_{Lg} - D_S}. $$ > Immunizáció: a kötelezettséggel azonos jelenértékű és azonos durációjú eszközöket kell tartani. Ekkor egy kis párhuzamos hozameltolódás mindkét értéket ugyanannyival változtatja. ## Számpélda Vegyünk egy kétéves és egy tizenkét éves, egyaránt 5%-os szelvényű kötvényt; $y = 5\%$ mellett mindkettő névértéken forog. A durációk $D_S \approx 1{,}952$ és $D_{Lg} \approx 9{,}306$, így $$ w = \frac{9{,}306 - 7}{9{,}306 - 1{,}952} \approx 0{,}3136. $$ A pénztár 222 888 értékben vesz a kétéves és 487 793 értékben a tizenkét éves kötvényből, összesen 710 681 értékben, és az eszközök durációja pontosan 7. Most toljuk el az összes hozamot ugyanannyival, és árazzunk újra mindent: - $\Delta y = -1\%$: az eszközök és a kötelezettség is nagyjából 49 200-zal nő; a többlet $+747$. - $\Delta y = +1\%$: mindkettő nagyjából 45 600-zal csökken; a többlet $+642$. - $\Delta y = \pm 3\%$: a többlet $+7\,861$, illetve $+4\,985$. Vessük össze a két fedezetlen változattal. Ha minden a kétéves kötvényben van, 1%-os hozamcsökkenés 35 832-es hiányt okoz, mert a kötvény alig drágul, a kötelezettség viszont erősen nő. Ha minden a tizenkét éves kötvényben van, 1%-os emelkedés után 13 958 a hiány. Ugyanez a két kötvény más kötelezettséget is immunizálhat. Legyen 500 000 esedékes 5 év múlva, továbbra is 5%-os lapos hozamgörbe mellett. ### Kidolgozott példa: Ötéves kötelezettség immunizálása a 2 és a 12 éves kötvénnyel 1. A kötelezettség jelenértéke. $$PV_L = \frac{500\,000}{1{,}05^{5}}$$ → **391763** 2. A 2 éves kötvénybe fektetett hányad, $D_S \approx 1{,}952$ és $D_{Lg} \approx 9{,}306$ mellett. $$w = \frac{D_{Lg} - D_L}{D_{Lg} - D_S}$$ → **0.5856** 3. A 2 éves kötvénybe fektetett összeg. $$w \cdot PV_L$$ → **229411** 4. A 12 éves kötvénybe fektetett összeg. $$(1 - w) \cdot PV_L$$ → **162352** Rövidebb kötelezettséghez több rövid kötvény kell: a pénz 59%-a a korábbi 31% helyett. ## Miért marad pozitív a többlet A durációillesztés eltünteti a többlet elsőrendű tagját. A másodrendű tag a konvexitások különbségéből adódik: $$ \Delta S \approx \tfrac{1}{2}\,(C_A - C_L)\,PV_L\,(\Delta y)^2. $$ Egy rövid és egy hosszú kötvényből álló **súlyzóportfólió** a pénzáramait a kötelezettség időpontja köré teríti, ezért nagyobb a konvexitása, mint egyetlen hetedik évi kifizetésé: itt $C_A \approx 70{,}27$, szemben a $C_L \approx 50{,}79$-cel. A képlet 1%-os elmozdulásra mindkét irányban nagyjából 692-es többletet ad, közel a pontos 747-hez és 642-höz. Amíg $C_A \ge C_L$, minden kis párhuzamos eltolódás nemnegatív többletet hagy. A védelem azonban csak ennyit ér: ha a rövid és a hosszú hozamok eltérően mozognak, a súlyzó veszíthet. ## Újrasúlyozás Az immunizált pozíció magától nem marad immunizált. Ha a hozamok nem változnak, minden duráció évente egy évvel rövidül, és az illesztés megmarad. Ha viszont a hozamok elmozdulnak, a két kötvény durációja eltérő mértékben változik, a kötelezettségé pedig nem: 1%-os emelkedés után az eszközök durációja 6,796, 1%-os csökkenés után 7,205, miközben $D_L = 7$ mindkét esetben. A pénztárnak újra ki kell számolnia $w$-t, és vissza kell kereskednie a célhoz; a gyakorlatban ezt időszakonként teszi, nem folyamatosan. Az ábrán a portfólió a kezdetben rögzített névértékeket tartja. Húzd a sokk jelölőjét a sávon, vagy használd a nyílbillentyűket, és told el az összes hozamot legfeljebb 300 bázisponttal bármelyik irányba. A két sáv az eszközök és a kötelezettség jelenértékét mutatja, a kijelzők a többletet és a két durációt. Alatta a kis grafikon a többletet ábrázolja a sokk függvényében; a már bejárt szakaszok kiemelve látszanak. Durációillesztett portfóliónál a görbe lapos U alakú, és sosem megy nulla alá. Válts a „Csak a rövid kötvény” vagy a „Csak a hosszú kötvény” beállításra, és ugyanaz a húzás az egyik oldalon hiányt nyit. *[Interaktív ábra: immunization shock](https://quantsandbox.dev/hu/guide/fixed-income/immunization)* ## Összefoglalás - Egy rögzített kötelezettség szelvény nélküli kifizetés: a durációja a lejárata. - A durációval egyenlő horizonton az árfolyamkockázat és az újrabefektetési kockázat elsőrendben kioltja egymást. - Az immunizáció a jelenértéket és a durációt illeszti; két kötvénnyel a súly a $w\,D_S + (1-w)\,D_{Lg} = D_L$ egyenletből adódik. - Ha az eszközök konvexitása legalább akkora, mint a kötelezettségé, a kis párhuzamos eltolódások nemnegatív többletet hagynak; a nem párhuzamos mozgások ellen nem véd. - A hozamok mozgásával a durációk elcsúsznak, ezért a pozíciót újra kell súlyozni. > A következő lecke, az „Azonnali kamatok, forward kamatok és a hozamgörbe”, elhagyja a lapos görbét, és lejáratonként eltérő hozamokat enged meg; éppen ez az, ami ellen a párhuzamos eltolódásra épülő immunizáció nem véd. [Hasonlítsd össze kötvények durációját és konvexitását a Duráció és konvexitás laborban](https://quantsandbox.dev/hu/duration-convexity) ## Interaktív laborok - [Kötvény durációja és konvexitása: közelítések](https://quantsandbox.dev/hu/duration-convexity) - [Kötvényárazó kalkulátor és ár–hozam görbe](https://quantsandbox.dev/hu/bond-pricing) ## Gyakorló kérdések ### 1. Egy kötelezettség durációja 7. Egy 2-es durációjú rövid és egy 10-es durációjú hosszú kötvénnyel immunizálod. A pénz hányad részét fekteted a rövid kötvénybe? A választ százalékban add meg. **Válasz:** 37.5% A $w\,D_S + (1 - w)\,D_{Lg} = D_L$ feltételből $w = (10 - 7)/(10 - 2) = 0{,}375$. Minél közelebb van a kötelezettség durációja a hosszú kötvényéhez, annál kevesebb kerül a rövidbe. ### 2. Egy durációra illesztett súlyzóportfólió konvexitása nagyobb a kötelezettségénél ($C_A > C_L$). A hozamok kicsit, párhuzamosan elmozdulnak. Mi történik a többlettel? - a) Kissé pozitív lesz, akár emelkednek, akár csökkennek a hozamok. - b) Pontosan nulla marad, mert a durációk egyeznek. - c) Hozamcsökkenéskor pozitív, hozamemelkedéskor negatív lesz. - d) Mindkét irányban negatív lesz. **Válasz:** a) Kissé pozitív lesz, akár emelkednek, akár csökkennek a hozamok. A durációillesztés eltünteti az elsőrendű tagot; ami marad, az $\tfrac{1}{2}(C_A - C_L)\,PV_L\,(\Delta y)^2$, ez $C_A > C_L$ esetén $\Delta y$ bármely előjelére pozitív. --- Forrás: https://quantsandbox.dev/hu/guide/fixed-income/immunization Előző lecke: [Duráció és konvexitás](https://quantsandbox.dev/hu/guide/fixed-income/duration-convexity) Következő lecke: [Azonnali kamatok, forward kamatok és a hozamgörbe](https://quantsandbox.dev/hu/guide/fixed-income/yield-curve)