# Pozíciók kombinálása A kifizetések összeadódnak: spreadek, straddle, strangle, butterfly és szintetikus forward. Ez a lecke a „Határidős ügyletek, call és put opciók” lecke szerződéseiből portfóliókat épít. Egyetlen új tényre van szükség: a kifizetések összeadódnak, minden más ebből következik. A keret változatlan: osztalékot nem fizető részvényre szóló európai opciók, amelyek mind ugyanabban a $T$ időpontban járnak le. ## A kifizetések összeadódnak A **portfólió** egyszerre tartott pozíciók listája. Tegyük fel, hogy $n_1$ darabot tart egy $X_1 = f_1(S_T)$ kifizetésű szerződésből, $n_2$ darabot egy $X_2 = f_2(S_T)$ kifizetésűből, és így tovább. A pozitív $n_i$ hosszú, a negatív rövid pozíciót jelent. Lejáratkor minden szerződés a többitől függetlenül fizet, így a portfólió kifizetése $$ X = n_1 f_1(S_T) + n_2 f_2(S_T) + \dots + n_k f_k(S_T). $$ Grafikusan: minden láb kifizetését felrajzoljuk $S_T$ függvényében, és a vonalakat függőlegesen összeadjuk. Minden call és put kifizetése két, a kötési árban összekapcsolódó egyenes szakaszból áll, ezért az összegük is egyenes szakaszokból áll, és a portfólióban szereplő minden kötési árnál törése lehet. Az opciókon és magán a részvényen (kifizetése $S_T$) kívül egy **zérókuponos kötvényt** is használunk, amely $T$-ben 1-et fizet. Kifizetése a konstans 1, mai ára az $e^{-rT}$ diszkontfaktor. $K$ darab kötvény biztosan $K$-t fizet. ## A portfólió kifizetése és nyeresége A lecke ábrája csak kifizetéseket mutat. A nyereséghez le kell vonni a portfólió felépítésének költségét. Ha a lábak ma összesen $V_0$-ba kerülnek (kifizetett díjak mínusz kapott díjak), akkor a lejáratkori nyereség $$ \text{nyereség} = X - V_0\,e^{rT}. $$ A nagy kifizetésű portfólió nem feltétlenül jó üzlet: egy jól működő piacon a nagyobb kifizetés ma többe kerül. Az alábbi példák kerekített díjakkal számolnak, és elhagyják a kis $e^{rT}$ szorzót. ## Spreadek A **bull call spread** vesz egy alacsony $K_1$ kötési árú callt, és elad egy magasabb $K_2$ kötési árú callt: $$ X = (S_T - K_1)^+ - (S_T - K_2)^+ = \begin{cases} 0, & S_T \le K_1,\\ S_T - K_1, & K_1 < S_T < K_2,\\ K_2 - K_1, & S_T \ge K_2. \end{cases} $$ Az eladott call lemond a $K_2$ fölötti nyereségről, cserébe a díja csökkenti a költséget. Példa $K_1 = 95$ és $K_2 = 105$ mellett: ha a 95-ös call 8-ba, a 105-ös 3-ba kerül, a spread ára 5. A kifizetés legfeljebb 10, így a nyereség $-5$ és $+5$ között mozog, a fedezeti pont pedig $S_T = 100$. A **bear put spread** ennek tükörképe: veszünk egy magasabb, $K_2$ kötési árú putot, és eladunk egy alacsonyabb, $K_1$ kötési árút. Ha a részvény $K_1$ alatt zár, $K_2 - K_1$-et fizet, $K_2$ fölött semmit. ## Straddle és strangle A **straddle** egy callt és egy putot vesz ugyanazzal a $K$ kötési árral: $$ X = (S_T - K)^+ + (K - S_T)^+ = |S_T - K|. $$ A kifizetés V alakú, csúcsa $K$-ban van: a pozíció bármely irányú nagy elmozdulásból profitál, tehát a mozgásra fogad, nem az irányra. $K = 100$, 6-os call és 4-es put mellett a straddle 10-be kerül, így csak akkor nyereséges, ha $S_T < 90$ vagy $S_T > 110$. A **strangle** egy $K_1$ kötési árú putot és egy magasabb, $K_2$ kötési árú callt vesz. A kifizetés a két kötési ár között nulla, azokon kívül lineárisan nő. Olcsóbb a straddle-nél, mert nagyobb elmozdulás kell ahhoz, hogy bármit fizessen. ## Butterfly Egy egyenlő közű $K_1 < K_2 < K_3$ kötési árakkal felépített **butterfly** vesz egy $K_1$-es callt, elad két $K_2$-es callt, és vesz egy $K_3$-as callt: $$ X = (S_T - K_1)^+ - 2\,(S_T - K_2)^+ + (S_T - K_3)^+. $$ Olvassuk meredekségenként. $K_1$ alatt egyik opció sem fizet. $K_1$ és $K_2$ között csak az első call fizet, a meredekség $+1$. $K_2$ és $K_3$ között a meredekség $1 - 2 = -1$. $K_3$ fölött $1 - 2 + 1 = 0$, és a kifizetés visszatér nullára. Az eredmény egy sátor, amelynek csúcsa $K_2$-ben van, magassága $K_2 - K_1$. A 90, 100, 110 kötési áraknál a csúcs 10 az $S_T = 100$ pontban, $S_T = 95$-nél pedig a kifizetés 5. A butterfly csak akkor fizet, ha a részvény a középső kötési ár közelében zár, vagyis arra fogad, hogy az ár nem mozdul el sokat: a straddle ellentéte. ## A szintetikus határidős ügylet Vegyünk egy callt és adjunk el egy putot, mindkettőt $K$ kötési árral. Bármely $S_T$ mellett a két opció közül pontosan egy fizet: $$ (S_T - K)^+ - (K - S_T)^+ = S_T - K. $$ Ha $S_T > K$, a call $S_T - K$-t fizet, a put értéktelen; ha $S_T < K$, a call értéktelen, az eladott put pedig $-(K - S_T) = S_T - K$-t fizet. Az összeg mindkét esetben egy $K$ szállítási árú hosszú határidős ügylet kifizetése. Ezt nevezzük **szintetikus határidős ügyletnek**; erre épül a „Put–call paritás” lecke. Az ábra minden láb kifizetését vékony szaggatott vonallal, az összeget vastag vonallal mutatja. Válaszd ki egymás után az előre beállított stratégiákat, és ellenőrizd, hogy a vastag vonal a szaggatottak függőleges összege. A szintetikus határidős ügyletnél a két láb törése kioltja egymást, és az összeg egyetlen egyenes. *[Interaktív ábra: strategy](https://quantsandbox.dev/hu/guide/derivatives/strategies)* ## Tetszőleges szakaszonként lineáris kifizetés előállítása A példák általános szabályra utalnak. Vegyünk egy egyenes szakaszokból álló $f(S_T)$ kifizetést, amelynek $K_1 < K_2 < \dots < K_m$ pontokban van törése. Legyen $f(0)$ az értéke nullában, $a_0$ a meredeksége közvetlenül nulla után, $c_i$ pedig a meredekség változása $K_i$-ben (utána mínusz előtte). Ekkor $$ f(S_T) = f(0) + a_0\,S_T + \sum_{i=1}^{m} c_i\,(S_T - K_i)^+. $$ Minden tag egy forgalmazott termék: $f(0)$ darab zérókuponos kötvény, $a_0$ darab részvény és $c_i$ darab $K_i$ kötési árú call (a negatív szám rövid pozíciót jelent). A butterfly az $f(0) = 0$, $a_0 = 0$, $c = (1, -2, 1)$ eset. Putokra elvben nincs szükség, bár gyakran rövidebb receptet adnak. > Az egyenes szakaszokból álló kifizetés pontosan előállítható kötvényekből, a részvényből és callokból, töréspontonként egy call-pozícióval. A meredekség változásai megadják, hány callt kell tartani az egyes kötési árakon. ## Összefoglalás - A portfólió kifizetése a lábak kifizetéseinek összege; a vonalak függőleges összeadásával rajzolható meg. - A nyereség a teljes kifizetés mínusz a lábak $T$-re felkamatolt nettó költsége. - A spreadek korlátozzák a nyereséget és a veszteséget; a straddle és a strangle nagy elmozdulásért fizet; a butterfly akkor, ha az ár a középső kötési ár közelében marad. - Egy hosszú call és egy rövid put azonos kötési árral $S_T - K$-t fizet, mint egy határidős ügylet. - Bármely szakaszonként lineáris kifizetés felépíthető kötvényekből, a részvényből és callokból. [Rakj össze többlábú stratégiákat, és nézd meg a kifizetésüket és nyereségüket a Kifizetés laborban](https://quantsandbox.dev/hu/payoff) ## Interaktív laborok - [Opciós kifizetési diagram és stratégiaépítő](https://quantsandbox.dev/hu/payoff) --- Forrás: https://quantsandbox.dev/hu/guide/derivatives/strategies Előző lecke: [Határidős ügyletek, call és put opciók](https://quantsandbox.dev/hu/guide/derivatives/instruments) Következő lecke: [Arbitrázs és a határidős ár](https://quantsandbox.dev/hu/guide/derivatives/no-arbitrage)